4.1 Winkel und Kreise

Beispiel 1

1. \displaystyle 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad } = \frac{\pi}{6}\ \mbox{ rad }
2. \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radians } = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{rad}\,) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

Beispiel 2

1. Die Winkeln \displaystyle -55^\circ und \displaystyle 665^\circ repräsentieren denselben Punkt nachdem

   \displaystyle -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}

2. Die Winkeln \displaystyle \frac{3\pi}{7} und \displaystyle -\frac{11\pi}{7} repräsentieren denselben Punkt nachdem

   \displaystyle \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}

3. Die Winkeln \displaystyle 36^\circ und \displaystyle 216^\circ repräsentieren nicht denselben Punkt nachdem

   \displaystyle 36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Beispiel 3

Beispiel 4

1. Der Abstand zwischen \displaystyle (1,2) und \displaystyle (3,1) ist

   \displaystyle d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}

2. Der Abstand zwischen \displaystyle (-1,0) und \displaystyle (-2,-5) ist

   \displaystyle d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}

Beispiel 5

1. Laut Definition des Radianten, ist die Länge des Kreisbogens, der Winkel in Radianten multipliziert mit den Radius,

   \displaystyle 3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{units } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }

2. Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors
   
   Der Kreissektor nimmt den Anteil

   \displaystyle \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}

   der Fläche des Kreises auf. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors \displaystyle \frac{5}{36} von der ganzen Fläche des Kreises, welche \displaystyle \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi ist. Also ist die Fläche des Kreissektors

   \displaystyle \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }

Beispiel 6

Beispiel 7

1. Liegt der Punkt \displaystyle (1,2) auf dem Kreis \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?
   
   Wir kontrollieren ob \displaystyle x=1 und \displaystyle y=2 die Gleichung des Kreises Erfüllen

   \displaystyle \begin{align*} \mbox{Linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\ &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.} \end{align*}

   Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.

   

2. Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis der den Mittelpunkt \displaystyle (3,4) hat, und durch den Punkt \displaystyle (1,0) geht.
   
   Nachdem der Punkt \displaystyle (1,0) auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesen Punkt und dem Mittelpunkt \displaystyle (3,4), der Radius des Kreises sein. Also haben wir

   \displaystyle c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}

   Und die Gleichung des Kreises ist daher

   \displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

   

Beispiel 8

Bestimmen Sie den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.

Wir wollen die Gleichung des Kreises auf der Form

bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als \displaystyle (a,b) ablesen, und den Radius als \displaystyle r.

Wir benutzen zuerst quadratische Ergänzung für alle \displaystyle x-Terme auf der linken Seite

 \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(Wir haben nur die unterstrichenen Terme manipuliert)

Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung für alle \displaystyle y-Terme

 (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Die Linke Seite ist also

Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren erhalten wir

Also hat der Kreis den Mittelpunkt \displaystyle (1,-2), und den Radius \displaystyle \sqrt{4}= 2.