4.1 Winkel und Kreise

4.1 Winkel und Kreise

Version vom 17:01, 28. Mär. 2009

Winkeleinheiten

Abstand zwischen zwei Punkten

Kreise

Version vom 17:01, 28. Mär. 2009

Winkeleinheiten

Abstand zwischen zwei Punkten

Kreise

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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3. Wurzeln und Logarithmen

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Theorie

Übungen

Inhalt:

Verschiedene Winkelmaße (Grade und Radianten)
Das Gesetz des Pythagoras
Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten
Die Gleichung eines Kreises

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :

Winkeln Zwischen Graden und Radianten umwandeln.
Die Fläche und Länge eines Kreissektors berechnen.
Die Begriffe Kathete und Hypotenuse kennen.
Das Gesetz des Pythagoras kennen und beherrschen.
Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen.
Kreise zeichnen die durch die eine Gleichung definiert sind.
Die Begriffe Einheitskreis, Tangente, Radius, Diameter, Umkreis, Chorde, und Kreissektor kennen.
Geometrische Probleme mit Kreisen Lösen.

Es gibt viele verschiedene Winkeleinheiten, die in verschiedenen Gebieten verwendet werden. Die zwei häufigsten sind Grad und Radiant.

Grad. Wenn man einen Kreis in 360 gleich große Stücke aufteilt, hat ein Stück den Winkel. Man bezeichnet die Einheit Grad mit \displaystyle {}^\circ.

Radiant. Eine andere Winkeleinheit ist der Radiant. Der Radiant wird oft rad geschrieben. Ein Radiant wird definiert dadurch dass ein Kreis den Winkel \displaystyle 2\pi rad hat.

Ein Vollreis besteht aus \displaystyle 360^\circ oder \displaystyle 2\pi rad, und also ist

\displaystyle \begin{align*}

   &1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians }
            = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians,}\\
   &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ
            = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
 \end{align*}

Mit diesen Verhältnis kann man Winkeln zwischen den Einheiten Grad und Radiant umwandeln.

Beispiel 1

\displaystyle 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad } = \frac{\pi}{6}\ \mbox{ rad }
\displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radians } = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{rad}\,) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

Manchmal spricht man von Winkeln die negativ oder größer als \displaystyle 360 \, ^{\circ} sind. Dies bedeutet dass ein Punkt am Kreis durch mehreren Winkeln repräsentiert werden kann.

[Image]

Beispiel 2

Die Winkeln \displaystyle -55^\circ und \displaystyle 665^\circ repräsentieren denselben Punkt nachdem
\displaystyle
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}
Die Winkeln \displaystyle \frac{3\pi}{7} und \displaystyle -\frac{11\pi}{7} repräsentieren denselben Punkt nachdem
\displaystyle
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}
Die Winkeln \displaystyle 36^\circ und \displaystyle 216^\circ repräsentieren nicht denselben Punkt nachdem
\displaystyle
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Der Satz des Pythagoras ist einer der Berühmtesten Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras sagt dass wenn \displaystyle a und \displaystyle b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind, und \displaystyle c die Hypotenuse eines Dreiecks ist, dann ist

Satz des Pythagoras:

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 3

Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras:

\displaystyle c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25

und deshalb ist

\displaystyle c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}

[Image]

Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand zwischen zwei Punkten:

Der Abstand \displaystyle d zwischen den Punkten \displaystyle (x,y) und \displaystyle (a,b) ist

\displaystyle d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}

Die Gerade zwischen den beiden Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind.

[Image]

Die Katheten des Dreiecks sind die Unterschiede in der x- und y-Richtung für die Punkte, also \displaystyle |x-a| und \displaystyle |y-b|. Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir den Abstand zwischen den Punkten.

Beispiel 4

Der Abstand zwischen \displaystyle (1,2) und \displaystyle (3,1) ist

\displaystyle

 d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
   = \sqrt{(-2)^2 + 1^2}
   = \sqrt{ 4+1}
   = \sqrt{5}\,\mbox{.}

Der Abstand zwischen \displaystyle (-1,0) und \displaystyle (-2,-5) ist

\displaystyle

 d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
   = \sqrt{1^2 + 5^2}
   = \sqrt{1+25}
   = \sqrt{26}\,\mbox{.}

Ein Kreis besteht aus allen Punkten die auf den Abstand \displaystyle r von einen Punkt \displaystyle (a,b) liegen.

[Image]

Der Abstand \displaystyle r ist der Radius des Kreises, und der punkt \displaystyle (a,b) ist der Mittelpunkt des Kreises. Das Bild zeigt andere Wichtige Begriffe eines Kreises.

Beispiel 5

Ein Kreisbogen ist in der Figur eingezeichnet.

Bestimmen Sie die Länge des Kreisbogens

Der Winkel \displaystyle 50^\circ ist in Radianten

\displaystyle

 50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
          = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad }
          = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ rad. }

[Image]

Laut Definition des Radianten, ist die Länge des Kreisbogens, der Winkel in Radianten multipliziert mit den Radius,
\displaystyle
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{units } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }

Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors

Der Kreissektor nimmt den Anteil
\displaystyle
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
der Fläche des Kreises auf. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors \displaystyle \frac{5}{36} von der ganzen Fläche des Kreises, welche \displaystyle \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi ist. Also ist die Fläche des Kreissektors
\displaystyle
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }

Die Punkte \displaystyle (x,y) die auf den Kreis mit dem Mittelpunkt \displaystyle (a,b) und mit dem Radius \displaystyle r liegen, können durch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten beschrieben werden.

Die Gleichung eines Kreises:

\displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 6

\displaystyle (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (1,2) und dem Radius \displaystyle \sqrt{9} = 3.
\displaystyle x^2 + (y-1)^2 = 1\quad ist \displaystyle (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1 und ist also die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (0,1) und dem Radius \displaystyle \sqrt{1} = 1.
\displaystyle (x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad ist \displaystyle (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5 und also die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (-1,3) und dem Radius \displaystyle \sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236.

Beispiel 7

Liegt der Punkt \displaystyle (1,2) auf dem Kreis \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?

Wir kontrollieren ob \displaystyle x=1 und \displaystyle y=2 die Gleichung des Kreises Erfüllen
\displaystyle \begin{align*}
\mbox{Linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\ &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.} \end{align*}
Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.
Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis der den Mittelpunkt \displaystyle (3,4) hat, und durch den Punkt \displaystyle (1,0) geht.

Nachdem der Punkt \displaystyle (1,0) auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesen Punkt und dem Mittelpunkt \displaystyle (3,4), der Radius des Kreises sein. Also haben wir
\displaystyle
c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}
Und die Gleichung des Kreises ist daher

\displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

Beispiel 8

Bestimmen Sie den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.

Wir wollen die Gleichung des Kreises auf der Form

\displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2

bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als \displaystyle (a,b) ablesen, und den Radius als \displaystyle r.

Wir benutzen zuerst quadratische Ergänzung für alle \displaystyle x-Terme auf der linken Seite

\displaystyle

 \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(Wir haben nur die unterstrichenen Terme manipuliert)

Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung für alle \displaystyle y-Terme

\displaystyle

 (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Die Linke Seite ist also

\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2-4

Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren erhalten wir

\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}

Also hat der Kreis den Mittelpunkt \displaystyle (1,-2), und den Radius \displaystyle \sqrt{4}= 2.

[Image]

Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references:

Learn more about Pythagoras theorem in English Wikipedia

Arc of a circle

circumference

sector of a circle

segment of a circle