4.1 Winkel und Kreise

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können :
+
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :
*To convert between degrees, radians and revolutions.
*To convert between degrees, radians and revolutions.
*To calculate the area and circumference of sectors of a circle.
*To calculate the area and circumference of sectors of a circle.
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}}
}}
-
== Angle measures ==
+
== Winkeleinheiten ==
-
There are several different units for measuring angles, which are used in different contexts. The two most common within mathematics are degrees and radians.
+
Es gibt viele verschiedene Winkeleinheiten, die in verschiedenen Gebieten verwendet werden. Die zwei häufigsten sind Grad und Radiant.
-
*'''Degrees.''' If a complete revolution is divided into 360 parts, then each part is called 1 degree. Degrees are designated by <math>{}^\circ</math>.
+
*'''Grad.''' Wenn man einen Kreis in 360 gleich große Stücke aufteilt, hat ein Stück den Winkel. Man bezeichnet die Einheit Grad mit <math>{}^\circ</math>.
[[Image:Gradskiva - 57°.gif||center]]
[[Image:Gradskiva - 57°.gif||center]]
-
*'''Radians.''' Another way to measure an angle, is to use the length of the arc which subtends the angle in relation to the radius as a measure of the angle. This unit is called radian. A revolution is <math>2\pi</math> radians as the circumference of a circle is <math>2\pi r</math>, where <math>r</math> is the radius of the circle.
+
*'''Radiant.''' Eine andere Winkeleinheit ist der Radiant. Der Radiant wird oft ''rad'' geschrieben. Ein Radiant wird definiert dadurch dass ein Kreis den Winkel <math>2\pi</math> rad hat.
[[Image:Gradskiva - Radianer.gif||center]]
[[Image:Gradskiva - Radianer.gif||center]]
-
A complete revolution is <math>360^\circ</math> or <math>2\pi</math> radians which means
+
Ein Vollreis besteht aus <math>360^\circ</math> oder <math>2\pi</math> rad, und also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians }
&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians }
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= \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
= \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
These conversion relations can be used to convert between degrees and radians.
+
Mit diesen Verhältnis kann man Winkeln zwischen den Einheiten Grad und Radiant umwandeln.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ
<li><math>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ
-
= 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians }
+
= 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad }
-
= \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radians }</math></li>
+
= \frac{\pi}{6}\ \mbox{ rad }</math></li>
<li><math>\frac{\pi}{8}\ \mbox { radians }
<li><math>\frac{\pi}{8}\ \mbox { radians }
-
= \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radians}\,)
+
= \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{rad}\,)
= \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
= \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
= 22{,}5^\circ</math></li>
= 22{,}5^\circ</math></li>
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</div>
</div>
-
In some contexts, it may be useful to talk about negative angles and angles greater than 360°. This means that the same direction can be designated by different angles that differ from each other by an integral number of revolutions.
+
Manchmal spricht man von Winkeln die negativ oder größer als <math>360 \, ^{\circ}</math> sind. Dies bedeutet dass ein Punkt am Kreis durch mehreren Winkeln repräsentiert werden kann.
<center>{{:4.1 - Bild - Die Winkeln 45°, -315° und 405°}}</center>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Winkeln 45°, -315° und 405°}}</center>
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> The angles <math>-55^\circ</math> and <math>665^\circ
+
<li> Die Winkeln <math>-55^\circ</math> und <math>665^\circ
-
</math> indicate the same direction because
+
</math> repräsentieren denselben Punkt nachdem
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li> The angles <math>\frac{3\pi}{7}</math> and <math>
+
<li> Die Winkeln <math>\frac{3\pi}{7}</math> und <math>
-
-\frac{11\pi}{7}</math> indicate the same direction because
+
-\frac{11\pi}{7}</math> repräsentieren denselben Punkt nachdem
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}</math>}}</li>
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li> The angles <math>36^\circ</math> and <math>
+
<li> Die Winkeln <math>36^\circ</math> und <math>
-
216^\circ</math> do not specify the same direction, but opposite directions since
+
216^\circ</math> repräsentieren nicht denselben Punkt nachdem
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
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-
== Formula for distance in the plane ==
+
== Abstand zwischen zwei Punkten ==
-
The theorem of Pythagoras is one of the most famous theorems in mathematics and says that in a right-angled triangle with the legs <math>a</math> and <math>b</math>, and the hypotenuse <math>c</math> then
+
Der Satz des Pythagoras ist einer der Berühmtesten Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras sagt dass wenn <math>a</math> und <math>b</math> die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind, und <math>c</math> die Hypotenuse eines Dreiecks ist, dann ist
<div class="regel">
<div class="regel">
{|width="100%"
{|width="100%"
-
|width="100%"|'''The Pythagorean theorem:'''
+
|width="100%"|'''Satz des Pythagoras:'''
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}</math>}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Satz des Pythagoras}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Satz des Pythagoras}}
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{| width="100%"
{| width="100%"
-
|width="100%"| The triangle on the right is
+
|width="100%"| Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras:
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25</math>}}
-
and therefore hypotenuse <math>c</math> is equal to
+
und deshalb ist
{{Abgesetzte Formel||<math>c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}</math>}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5}}
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</div>
</div>
-
The Pythagorean theorem can be used to calculate the distance between two points in a coordinate system.
+
Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Formula for distance:'''
+
'''Abstand zwischen zwei Punkten:'''
-
The distance <math>d</math> between two points with coordinates <math>(x,y)</math> and <math>(a,b)</math> is
+
Der Abstand <math>d</math> zwischen den Punkten <math>(x,y)</math> und <math>(a,b)</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
The line joining the points is the hypotenuse of a triangle whose legs are parallel to the coordinate axes.
+
Die Gerade zwischen den beiden Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind.
<center>{{:4.1 - Bild - Die Abstandsformel}}</center>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Abstandsformel}}</center>
-
The legs of the triangle have lengths equal to the difference in the ''x''- and ''y''-directions of the points, that is <math>|x-a|</math> and <math>|y-b|</math>. The Pythagorean theorem then gives the formula for the distance.
+
Die Katheten des Dreiecks sind die Unterschiede in der ''x''- und ''y''-Richtung für die Punkte, also <math>|x-a|</math> und <math>|y-b|</math>. Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir den Abstand zwischen den Punkten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 134: Zeile 134:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>The distance between <math>(1,2)</math> and <math>(3,1)</math> is
+
<li>Der Abstand zwischen <math>(1,2)</math> und <math>(3,1)</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
Zeile 141: Zeile 141:
= \sqrt{5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
= \sqrt{5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>The distance between <math>(-1,0)</math> and <math>(-2,-5)</math> is
+
<li>Der Abstand zwischen <math>(-1,0)</math> und <math>(-2,-5)</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
Zeile 151: Zeile 151:
-
== Circles ==
+
== Kreise ==
-
A circle consists of all the points that are at a given fixed distance <math>r</math> from a point <math>(a,b)</math>.
+
Ein Kreis besteht aus allen Punkten die auf den Abstand <math>r</math> von einen Punkt <math>(a,b)</math> liegen.
<center>{{:4.1 - Bild - Kreis}}</center>
<center>{{:4.1 - Bild - Kreis}}</center>
-
 
+
Der Abstand <math>r</math> ist der Radius des Kreises, und der punkt <math>(a,b)</math> ist der Mittelpunkt des Kreises. Das Bild zeigt andere Wichtige Begriffe eines Kreises.
-
The distance <math>r</math> is called the circle´s radius and the point <math>(a,b)</math> is its centre. The figure below shows the other important concepts.
+
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 200: Zeile 199:
{| width="100%"
{| width="100%"
-
||A sector of a circle is given in the figure on the right.
+
||Ein Kreisbogen ist in der Figur eingezeichnet.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Determine its arc length .
+
<li> Bestimmen Sie die Länge des Kreisbogens
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The central angle <math>50^\circ</math> is in radians
+
Der Winkel <math>50^\circ</math> ist in Radianten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
-
= 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians }
+
= 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad }
-
= \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radians. }</math>}}
+
= \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ rad. }</math>}}
</li>
</li>
</ol>
</ol>
Zeile 216: Zeile 215:
|}
|}
<ol style="list-style-type:none; padding-top:0; margin-top:0;">
<ol style="list-style-type:none; padding-top:0; margin-top:0;">
-
<li>The way radians have been defined means that the arc length is the radius multiplied by the angle measured in radians,
+
<li>Laut Definition des Radianten, ist die Länge des Kreisbogens, der Winkel in Radianten multipliziert mit den Radius,
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{units }
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{units }
-
= \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ units . }</math>}}</li>
+
= \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }</math>}}</li>
</ol>
</ol>
<ol type="a" start="2">
<ol type="a" start="2">
-
<li>Determine the area of the circle segment.
+
<li>Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The circle segment´s share of the entire circle is
+
Der Kreissektor nimmt den Anteil
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}</math>}}
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}</math>}}
-
and this means that its area is <math>\frac{5}{36}</math> parts of the circle area, which is <math>\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi</math>, i.e.
+
der Fläche des Kreises auf. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors <math>\frac{5}{36}</math> von der ganzen Fläche des Kreises, welche <math>\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi</math> ist. Also ist die Fläche des Kreissektors
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ units }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ units. }</math>}}</li>
+
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
A point <math>(x,y)</math> lies on the circle that has its centre at <math>(a,b)</math> and radius <math>r</math>, if its distance from the centre is equal to <math>r</math>. This condition can be formulated with the distance formula as
+
Die Punkte <math>(x,y)</math> die auf den Kreis mit dem Mittelpunkt <math>(a,b)</math> und mit dem Radius <math>r</math> liegen, können durch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten beschrieben werden.
<div class="regel">
<div class="regel">
{| width="100%"
{| width="100%"
-
||'''Circle equation: '''
+
||'''Die Gleichung eines Kreises: '''
{{Abgesetzte Formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}</math>}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Gleichung eines Kreises}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Gleichung eines Kreises}}
Zeile 249: Zeile 248:
|width="100%"|
|width="100%"|
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad</math> is the equation for a circle with its centre at <math>(1,2)</math> and radius <math>\sqrt{9} = 3</math>.</li>
+
<li><math>(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad</math> ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(1,2)</math> und dem Radius <math>\sqrt{9} = 3</math>.</li>
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 1)² + (y - 2)² = 9}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 1)² + (y - 2)² = 9}}
Zeile 255: Zeile 254:
|width="100%"|
|width="100%"|
<ol type="a" start=2>
<ol type="a" start=2>
-
<li><math>x^2 + (y-1)^2 = 1\quad</math> can be written as <math>(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1</math> and is the equation of a circle with its centre at <math>(0,1)</math> and having a radius <math>\sqrt{1} = 1</math>.</li>
+
<li><math>x^2 + (y-1)^2 = 1\quad</math> ist <math>(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1</math> und ist also die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(0,1)</math> und dem Radius <math>\sqrt{1} = 1</math>.</li>
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + (y - 1)² = 1}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + (y - 1)² = 1}}
Zeile 261: Zeile 260:
|width="100%"|
|width="100%"|
<ol type="a" start=3>
<ol type="a" start=3>
-
<li><math>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad</math> can be written as <math>(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5</math> and is the equation of a circle with its centre at <math>(-1,3)</math> and having a radius <math>\sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236</math>.</li>
+
<li><math>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad</math> ist <math>(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5</math> und also die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(-1,3)</math> und dem Radius <math>\sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236</math>.</li>
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x + 1)² + (y - 3)² = 5}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x + 1)² + (y - 3)² = 5}}
Zeile 271: Zeile 270:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Does the point <math>(1,2)</math> lie on the circle <math>(x-4)^2 +y^2=13</math>?
+
<li> Liegt der Punkt <math>(1,2)</math> auf dem Kreis <math>(x-4)^2 +y^2=13</math>?
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Inserting the coordinates of the point <math>x=1</math> and <math>y=2</math> in the circle equation, we have that
+
Wir kontrollieren ob <math>x=1</math> und <math>y=2</math> die Gleichung des Kreises Erfüllen
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\mbox{LHS } &= (1-4)^2+2^2\\
+
\mbox{Linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\
-
&= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{RHS}\,\mbox{.}
+
&= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
Since the point satisfies the circle equation it lies on the circle.
+
Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 4)² + y² = 13}}</center></li>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 4)² + y² = 13}}</center></li>
-
<li> Determine the equation for the circle that has its centre at <math>(3,4)</math> and goes through the point <math>(1,0)</math>.
+
<li> Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis der den Mittelpunkt <math>(3,4)</math> hat, und durch den Punkt <math>(1,0)</math> geht.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Since the point <math>(1,0)</math> lies on the circle, the radius of the circle must be equal to the distance of the point from <math>(1,0)</math> to the centre <math>(3,4)</math>. The distance formula gives that this distance is
+
Nachdem der Punkt <math>(1,0)</math> auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesen Punkt und dem Mittelpunkt <math>(3,4)</math>, der Radius des Kreises sein. Also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}</math>}}
c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}</math>}}
-
The circle equation is therefore
+
Und die Gleichung des Kreises ist daher
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}</math>}}
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 3)² + (y - 4)² = 20}}</center></li>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 3)² + (y - 4)² = 20}}</center></li>
Zeile 298: Zeile 297:
''' Beispiel 8'''
''' Beispiel 8'''
-
Determine the centre and radius of the circle with equation <math>\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0</math>.
+
Bestimmen Sie den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung <math>\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0</math>.
-
Let us try to write the equation of the circle in the form
+
Wir wollen die Gleichung des Kreises auf der Form
{{Abgesetzte Formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2</math>}}
-
because then we can directly read from this that the midpoint is <math>(a,b)</math> and the radius is <math>r</math>.
+
bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als <math>(a,b)</math> ablesen, und den Radius als <math>r</math>.
-
Start by completing the square for the terms containing <math>x</math> on the left-hand side
+
Wir benutzen zuerst quadratische Ergänzung für alle <math>x</math>-Terme auf der linken Seite
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
= \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1</math>}}
= \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1</math>}}
-
(the underlined terms shows the terms involved).
+
(Wir haben nur die unterstrichenen Terme manipuliert)
-
Complete the square for the terms containing <math>y</math>
+
Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung für alle <math>y</math>-Terme
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}</math>}}
= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
Die Linke Seite ist also
-
The left-hand side is equal to
+
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2-4 </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2-4 </math>}}
-
and moving over the 4 to to the right-hand side we get the equation
+
Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}</math>}}
-
We can interpret this as follows: The centre is at <math>(1,-2)</math> and the radius is <math>\sqrt{4}= 2</math>.
+
Also hat der Kreis den Mittelpunkt <math>(1,-2)</math>, und den Radius <math>\sqrt{4}= 2</math>.
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0}}</center>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0}}</center>
Zeile 331: Zeile 329:
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Tipps fürs lernen'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
+
Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
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Version vom 16:47, 28. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Various angle measures (degrees, radians and revolutions)
  • The Pythagorean theorem
  • Formula for distance in the plane
  • Equation of a circle

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :

  • To convert between degrees, radians and revolutions.
  • To calculate the area and circumference of sectors of a circle.
  • The concepts of right-angled triangles including its legs and hypotenuse.
  • To formulate and use the Pythagorean theorem.
  • To calculate the distance between two points in the plane.
  • To sketch circles by completing the square in their equations.
  • The concepts of unit circle, tangent, radius, diameter, circumference, chord and arc.
  • To solve geometric problems that contain circles.

Winkeleinheiten

Es gibt viele verschiedene Winkeleinheiten, die in verschiedenen Gebieten verwendet werden. Die zwei häufigsten sind Grad und Radiant.

  • Grad. Wenn man einen Kreis in 360 gleich große Stücke aufteilt, hat ein Stück den Winkel. Man bezeichnet die Einheit Grad mit \displaystyle {}^\circ.
  • Radiant. Eine andere Winkeleinheit ist der Radiant. Der Radiant wird oft rad geschrieben. Ein Radiant wird definiert dadurch dass ein Kreis den Winkel \displaystyle 2\pi rad hat.


Ein Vollreis besteht aus \displaystyle 360^\circ oder \displaystyle 2\pi rad, und also ist

\displaystyle \begin{align*} 
   &1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians }
            = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians,}\\
   &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ
            = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
 \end{align*}

Mit diesen Verhältnis kann man Winkeln zwischen den Einheiten Grad und Radiant umwandeln.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad } = \frac{\pi}{6}\ \mbox{ rad }
  2. \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radians } = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{rad}\,) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

Manchmal spricht man von Winkeln die negativ oder größer als \displaystyle 360 \, ^{\circ} sind. Dies bedeutet dass ein Punkt am Kreis durch mehreren Winkeln repräsentiert werden kann.

[Image]

Beispiel 2

  1. Die Winkeln \displaystyle -55^\circ und \displaystyle 665^\circ repräsentieren denselben Punkt nachdem
    \displaystyle 
     -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}
  2. Die Winkeln \displaystyle \frac{3\pi}{7} und \displaystyle -\frac{11\pi}{7} repräsentieren denselben Punkt nachdem
    \displaystyle 
     \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}
  3. Die Winkeln \displaystyle 36^\circ und \displaystyle 216^\circ repräsentieren nicht denselben Punkt nachdem
    \displaystyle 
     36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}


Abstand zwischen zwei Punkten

Der Satz des Pythagoras ist einer der Berühmtesten Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras sagt dass wenn \displaystyle a und \displaystyle b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind, und \displaystyle c die Hypotenuse eines Dreiecks ist, dann ist

Satz des Pythagoras:
\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 3

Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras:
\displaystyle c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25

und deshalb ist

\displaystyle c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}

[Image]

Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand zwischen zwei Punkten:

Der Abstand \displaystyle d zwischen den Punkten \displaystyle (x,y) und \displaystyle (a,b) ist

\displaystyle d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}

Die Gerade zwischen den beiden Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind.

[Image]

Die Katheten des Dreiecks sind die Unterschiede in der x- und y-Richtung für die Punkte, also \displaystyle |x-a| und \displaystyle |y-b|. Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir den Abstand zwischen den Punkten.

Beispiel 4

  1. Der Abstand zwischen \displaystyle (1,2) und \displaystyle (3,1) ist
    \displaystyle 
     d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
   = \sqrt{(-2)^2 + 1^2}
   = \sqrt{ 4+1}
   = \sqrt{5}\,\mbox{.}
  2. Der Abstand zwischen \displaystyle (-1,0) und \displaystyle (-2,-5) ist
    \displaystyle 
     d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
   = \sqrt{1^2 + 5^2}
   = \sqrt{1+25}
   = \sqrt{26}\,\mbox{.}


Kreise

Ein Kreis besteht aus allen Punkten die auf den Abstand \displaystyle r von einen Punkt \displaystyle (a,b) liegen.

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Der Abstand \displaystyle r ist der Radius des Kreises, und der punkt \displaystyle (a,b) ist der Mittelpunkt des Kreises. Das Bild zeigt andere Wichtige Begriffe eines Kreises.

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Diameter Tangent Chord Secant

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Arc of a circle circumference sector of a circle segment of a circle

Beispiel 5

Ein Kreisbogen ist in der Figur eingezeichnet.
  1. Bestimmen Sie die Länge des Kreisbogens

    Der Winkel \displaystyle 50^\circ ist in Radianten
    \displaystyle 
     50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
          = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad }
          = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ rad. }

[Image]

  1. Laut Definition des Radianten, ist die Länge des Kreisbogens, der Winkel in Radianten multipliziert mit den Radius,
    \displaystyle 
     3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{units }
 = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }
  1. Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors

    Der Kreissektor nimmt den Anteil
    \displaystyle 
     \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}

    der Fläche des Kreises auf. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors \displaystyle \frac{5}{36} von der ganzen Fläche des Kreises, welche \displaystyle \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi ist. Also ist die Fläche des Kreissektors

    \displaystyle 
     \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }

Die Punkte \displaystyle (x,y) die auf den Kreis mit dem Mittelpunkt \displaystyle (a,b) und mit dem Radius \displaystyle r liegen, können durch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten beschrieben werden.

Die Gleichung eines Kreises:
\displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}

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Beispiel 6

  1. \displaystyle (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (1,2) und dem Radius \displaystyle \sqrt{9} = 3.

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  1. \displaystyle x^2 + (y-1)^2 = 1\quad ist \displaystyle (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1 und ist also die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (0,1) und dem Radius \displaystyle \sqrt{1} = 1.

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  1. \displaystyle (x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad ist \displaystyle (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5 und also die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (-1,3) und dem Radius \displaystyle \sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236.

[Image]

Beispiel 7

  1. Liegt der Punkt \displaystyle (1,2) auf dem Kreis \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?

    Wir kontrollieren ob \displaystyle x=1 und \displaystyle y=2 die Gleichung des Kreises Erfüllen
    \displaystyle \begin{align*} 
       \mbox{Linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\
              &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.}
 \end{align*}

    Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.

    [Image]

  2. Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis der den Mittelpunkt \displaystyle (3,4) hat, und durch den Punkt \displaystyle (1,0) geht.

    Nachdem der Punkt \displaystyle (1,0) auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesen Punkt und dem Mittelpunkt \displaystyle (3,4), der Radius des Kreises sein. Also haben wir
    \displaystyle 
     c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}

    Und die Gleichung des Kreises ist daher

    \displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

    [Image]


Beispiel 8

Bestimmen Sie den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.


Wir wollen die Gleichung des Kreises auf der Form

\displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2

bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als \displaystyle (a,b) ablesen, und den Radius als \displaystyle r.

Wir benutzen zuerst quadratische Ergänzung für alle \displaystyle x-Terme auf der linken Seite

\displaystyle 
 \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(Wir haben nur die unterstrichenen Terme manipuliert)

Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung für alle \displaystyle y-Terme

\displaystyle 
 (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Die Linke Seite ist also

\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2-4

Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren erhalten wir

\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}

Also hat der Kreis den Mittelpunkt \displaystyle (1,-2), und den Radius \displaystyle \sqrt{4}= 2.

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Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references:

Learn more about Pythagoras theorem in English Wikipedia

Read more in Mathworld about the circle


Nützliche Websites

Interactive experiments: the sine and cosine on the unit circle (Flash)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.1_Winkel_und_Kreise“