Lösung 3.4:3c

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With the log laws, we can write the left-hand side as one logarithmic expression,
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Mit einer der Logarithmusgesetzen können wir die linke Seite mit nur einen Logarithmusterm schreiben
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x+\ln (x+4) = \ln (x(x+4))\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x+\ln (x+4) = \ln (x(x+4))\,,</math>}}
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but this rewriting presupposes that the expressions <math>\ln x</math> and <math>\ln (x+4)</math> are defined, i.e. <math>x > 0</math> and <math>x+4 > 0\,</math>. Therefore, if we choose to continue with the equation
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Dies voraussetzt aber dass die Ausdrücke <math>\ln x</math> und <math>\ln (x+4)</math> definiert sind, also dass <math>x > 0</math> und <math>x+4 > 0\,</math>. Also müssen wir bedenken dass die Lösungen ''x'', der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln (x(x+4)) = \ln (2x+3)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln (x(x+4)) = \ln (2x+3)</math>}}
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we must remember to permit only solutions that satisfy <math>x > 0</math> (the condition <math>x+\text{4}>0</math> is then automatically satisfied).
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<math>x > 0</math> erfüllen müssen (<math>x+\text{4}>0</math> ist dann per Automatik erfüllt).
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The equation rewritten in this way is, in turn, only satisfied if the arguments
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Die Gleichung ist erfüllt, nur dann wenn die Argumente <math>x(x+4)</math> und <math>2x+3</math> der Logarithmen gleich und grösser als null sind
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<math>x(x+4)</math> and <math>2x+3</math> are equal to each other and positive, i.e.
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{{Abgesetzte Formel||<math>x(x+4) = 2x+3\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x(x+4) = 2x+3\,\textrm{.}</math>}}
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We rewrite this equation as <math>x^2+2x-3=0</math> and completing the square gives
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Dies entspricht der Gleichung <math>x^2+2x-3=0</math>, und durch quadratische Ergänzung erhalten wir die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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which means that <math>x=-1\pm 2</math>, i.e. <math>x=-3</math> and <math>x=1\,</math>.
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Also ist <math>x=-1\pm 2</math>, oder <math>x=-3</math> und <math>x=1\,</math>.
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Because <math>x=-3</math> is negative, we neglect it, whilst for <math>x=1</math> we have both that <math>x > 0</math> and <math>x(x+4) = 2x+3 > 0\,</math>. Therefore, the answer is <math>x=1\,</math>.
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Nachdem <math>x=-3</math> negativ ist, ist dies keine gültige Lösung. <math>x=1</math> im gegensinn, erfüllt <math>x > 0</math> und <math>x(x+4) = 2x+3 > 0\,</math>. Daher ist die Lösung <math>x=1\,</math>.

Version vom 17:34, 27. Mär. 2009

Mit einer der Logarithmusgesetzen können wir die linke Seite mit nur einen Logarithmusterm schreiben

\displaystyle \ln x+\ln (x+4) = \ln (x(x+4))\,,

Dies voraussetzt aber dass die Ausdrücke \displaystyle \ln x und \displaystyle \ln (x+4) definiert sind, also dass \displaystyle x > 0 und \displaystyle x+4 > 0\,. Also müssen wir bedenken dass die Lösungen x, der Gleichung

\displaystyle \ln (x(x+4)) = \ln (2x+3)

\displaystyle x > 0 erfüllen müssen (\displaystyle x+\text{4}>0 ist dann per Automatik erfüllt).

Die Gleichung ist erfüllt, nur dann wenn die Argumente \displaystyle x(x+4) und \displaystyle 2x+3 der Logarithmen gleich und grösser als null sind

\displaystyle x(x+4) = 2x+3\,\textrm{.}

Dies entspricht der Gleichung \displaystyle x^2+2x-3=0, und durch quadratische Ergänzung erhalten wir die Lösungen

\displaystyle \begin{align}

(x+1)^2-1^2-3 &= 0\,,\\ (x+1)^2=4\,, \end{align}

Also ist \displaystyle x=-1\pm 2, oder \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1\,.

Nachdem \displaystyle x=-3 negativ ist, ist dies keine gültige Lösung. \displaystyle x=1 im gegensinn, erfüllt \displaystyle x > 0 und \displaystyle x(x+4) = 2x+3 > 0\,. Daher ist die Lösung \displaystyle x=1\,.

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