Lösung 3.4:3a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}} | ||
| - | + | welches auch wie | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}} | ||
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| + | geschrieben werden kann. | ||
Version vom 17:15, 27. Mär. 2009
Die rechte und linke Seite, sind für alle x positiv, und also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,
| \displaystyle \begin{align}
\text{LHS} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt] \text{RHS} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.} \end{align} |
Diese Gleichung entspricht
| \displaystyle x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.} |
Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,, |
und sammeln alle Terma auf einer Seite,
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.} |
Es kann schwierig sein zu sehen ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben \displaystyle e > 2 und daher \displaystyle \ln 2 < \ln e = 1\,. Also haben wir \displaystyle (1/\ln 2)^{2} > 1\,, und die rechte Seite ist also positiv.
Daher hat die Gleichung die Lösungen
| \displaystyle x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,, |
welches auch wie
| \displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.} |
geschrieben werden kann.
