Lösung 3.4:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Regardless of what value ''x'' has, both sides of the equation are positive, because they are of the type "positive number raised to something". It is therefore possible to take the logarithm of both sides and, by using the log laws, to get ''x'' down from the exponents,
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Beide Seiten der Gleichung sind positiv, unabhängig von ''x''. Daher können wir beide Seiten direkt logarithmieren. Durch die Logarithmusgesetze erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{LHS}
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\text{Linke Seite}
&= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr)
&= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr)
= \ln 3 + \ln e^{x^2}
= \ln 3 + \ln e^{x^2}
= \ln 3 + x^2\ln e
= \ln 3 + x^2\ln e
= \ln 3 + x^2\,\textrm{,}\\[5pt]
= \ln 3 + x^2\,\textrm{,}\\[5pt]
-
\text{RHS}
+
\text{Rechte Seite}
&= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.}
&= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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If we collect the terms onto one side, the equation becomes
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Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung, und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0</math>}}
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which is a standard second-order equation for which we complete the square
+
Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Now, we have to be cautious and remember that, because <math>2 < e < 3</math> and thus <math>\ln 2 < 1 < \ln 3</math> we have that <math>\tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3</math> and the right-hand side is therefore negative. Since the square on the left-hand side cannot be negative, the equation has no solution.
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Nachdem <math>2 < e < 3</math> und daher <math>\ln 2 < 1 < \ln 3</math>, ist <math>\tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3</math>, und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung eine Quadrate ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung.

Version vom 17:09, 27. Mär. 2009

Beide Seiten der Gleichung sind positiv, unabhängig von x. Daher können wir beide Seiten direkt logarithmieren. Durch die Logarithmusgesetze erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr) = \ln 3 + \ln e^{x^2} = \ln 3 + x^2\ln e = \ln 3 + x^2\,\textrm{,}\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.} \end{align}

Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung, und erhalten

\displaystyle x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} + \ln 3 = 0\,\textrm{,}\\[5pt] \Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \ln 3\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem \displaystyle 2 < e < 3 und daher \displaystyle \ln 2 < 1 < \ln 3, ist \displaystyle \tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3, und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung eine Quadrate ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung.

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