Lösung 3.4:1b

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In the equation, both sides are positive because the factors <math>e^{x}</math> and <math>3^{-x}</math> are positive regardless of the value of <math>x</math> (a positive base raised to a number always gives a positive number). We can therefore take the natural logarithm of both sides,
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Beide Seiten der Gleichung sind positiv, nachdem <math>e^{x}</math> und <math>3^{-x}</math> für alle <math>x</math> positiv sind. Daher können wir beide Seiten logarithmieren
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln\bigl(13e^{x}\bigr) = \ln\bigl(2\cdot 3^{-x}\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln\bigl(13e^{x}\bigr) = \ln\bigl(2\cdot 3^{-x}\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Using the log laws, we can divide up the products into several logarithmic terms,
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Wir benutzen die Logarithmusgesetze und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13+\ln e^{x} =\ln 2+\ln 3^{-x},</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13+\ln e^{x} =\ln 2+\ln 3^{-x},</math>}}
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and using the law <math>\ln a^{b}=b\cdot \ln a</math>, we can get rid of <math>x</math> from the exponents
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und
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13 + x\ln e = \ln 2 + (-x)\ln 3\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13 + x\ln e = \ln 2 + (-x)\ln 3\,\textrm{.}</math>}}
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Collect <math>x</math> on one side and the other terms on the other,
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Wir hohlen alle <math>x</math>-Terme auf eine Seite,
{{Abgesetzte Formel||<math>x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}
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Take out <math>x</math> on the left-hand side and use <math>\ln e=1</math>,
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und benutzen dass <math>\ln e=1</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>x( 1+\ln 3)=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x( 1+\ln 3)=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}
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Then, solve for <math>x</math>,
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Jetzt lösen wir die Gleichung für <math>x</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
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Note: Because <math>\ln 2 < \ln 13</math>, we can write the answer as
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Hinweis: Nachdem <math>\ln 2 < \ln 13</math>, können wir die Antwort wie
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}</math>}}
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to indicate that <math>x</math> is negative.
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schreiben, um zu zeigen das <math>x</math> negativ ist.

Version vom 16:09, 27. Mär. 2009

Beide Seiten der Gleichung sind positiv, nachdem \displaystyle e^{x} und \displaystyle 3^{-x} für alle \displaystyle x positiv sind. Daher können wir beide Seiten logarithmieren

\displaystyle \ln\bigl(13e^{x}\bigr) = \ln\bigl(2\cdot 3^{-x}\bigr)\,\textrm{.}

Wir benutzen die Logarithmusgesetze und erhalten

\displaystyle \ln 13+\ln e^{x} =\ln 2+\ln 3^{-x},

und

\displaystyle \ln 13 + x\ln e = \ln 2 + (-x)\ln 3\,\textrm{.}

Wir hohlen alle \displaystyle x-Terme auf eine Seite,

\displaystyle x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}


und benutzen dass \displaystyle \ln e=1,

\displaystyle x( 1+\ln 3)=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}

Jetzt lösen wir die Gleichung für \displaystyle x,

\displaystyle x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}\,\textrm{.}


Hinweis: Nachdem \displaystyle \ln 2 < \ln 13, können wir die Antwort wie

\displaystyle x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}

schreiben, um zu zeigen das \displaystyle x negativ ist.

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