3.4 Logarithmusgleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
-
* Logarithmic equations
+
* Logarithmusgleichungen
-
* Exponential equations
+
* Potenzgleichungen
-
* Spurious roots
+
* Scheinlösungen
}}
}}
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können to:
+
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
 +
 
 +
* To solve equations that contain powers and by taking logarithms obtain an equation of the first degree.
* To solve equations that contain powers and by taking logarithms obtain an equation of the first degree.
* Solve equations that contain logarithm or exponential expressions and which can be reduced to first or second order equations.
* Solve equations that contain logarithm or exponential expressions and which can be reduced to first or second order equations.
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* To determine which of two logarithmic expressions is the largest by means of a comparison of bases / arguments.
* To determine which of two logarithmic expressions is the largest by means of a comparison of bases / arguments.
}}
}}
 +
== Einfache Gleichungen ==
-
== Basic Equations ==
+
Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein Paar Beispiele wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten.
-
 
+
-
Equations where logarithms appear can vary a lot. Here are some examples where the solution is given almost immediately by the definition of a logarithm, that is,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
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\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
(We consider only 10-logarithms or natural logarithms.)
+
(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
-
Solve the equations
+
Lösen Sie die Gleichungen
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>10^x = 537\quad</math> has a solution <math>x = \lg 537</math>.</li>
+
<li><math>10^x = 537\quad</math> hat die Lösung <math>x = \lg 537</math>.</li>
-
<li><math>10^{5x} = 537\quad</math> gives <math>5x
+
<li><math>10^{5x} = 537\quad</math> gibt <math>5x
-
= \lg 537</math>, i.e. <math>x=\frac{1}{5} \lg 537</math>.</li>
+
= \lg 537</math>, also <math>x=\frac{1}{5} \lg 537</math>.</li>
<li><math>\frac{3}{e^x} = 5 \quad
<li><math>\frac{3}{e^x} = 5 \quad
-
</math> Multiplication of both sides with <math>e^x
+
</math> Wir erweitern beide Seiten mit <math>e^x
-
</math> and division by 5 gives <math>\tfrac{3}{5}=e^x
+
</math> und dividieren beide Seiten durch 5, und erhalten <math>\tfrac{3}{5}=e^x
-
</math>, which means that <math>x=\ln\tfrac{3}{5}</math>.</li>
+
</math>, also <math>x=\ln\tfrac{3}{5}</math>.</li>
-
<li><math>\lg x = 3 \quad</math> The definition gives directly <math>
+
<li><math>\lg x = 3 \quad</math> hat die Lösung <math>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
-
<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> From the definition we have <math>
+
<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> Von der Fefinition des Logarithmus bekommen wir <math>
-
2x-4 = 10^2 = 100</math> and it follows that <math>x = 52</math>.</li>
+
2x-4 = 10^2 = 100</math> und also <math>x = 52</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Zeile 58: Zeile 59:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Solve the equation <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
+
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Since <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> the left-hand side is equal to <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> and the equation becomes
+
Nachdem <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> ist die Linke Seite <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> und wir haben die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
-
This equation has a solution <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, ie. <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>
+
Diese Gleichung hat die Lösung <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, also <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>
-
<li>Solve the equation <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
+
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Multiply both sides by 2 and then subtracting 2 from both sides
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit 2, und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math> 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}</math>}}
-
Divide both sides by 3
+
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3
{{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Now, the definition directly gives <math>2x = e^{-1/3}</math>, which means that
+
und erhalten durch die Definition dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und also ist
{{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
In many practical applications of exponential growth or decline there appear equations of the type
+
In vielen Anwendungen erscheinen Gleichungen auf der Form
{{Abgesetzte Formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
-
where <math>a</math> and <math>b</math> are positive numbers. These equations are best solved by taking the logarithm of both sides
+
wo <math>a</math> und <math>b</math>positive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachstem indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}
-
and use the law of logarithms for powers
+
Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
-
which gives the solution <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.
+
und also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 93: Zeile 94:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Solve the equation <math>\,3^x = 20</math>.
+
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\,3^x = 20</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Take logarithms of both sides
+
Wir logarithmieren beide Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}</math>}}
-
The left-hand side can be written as <math>\lg 3^x = x \cdot \lg 3</math> giving
+
Die linke Seite ist <math>\lg 3^x = x \cdot \lg 3</math>, und daher haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Solve the equation <math>\ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000</math>.
+
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Divide both sides by 5000
+
Wir dividieren beide Seiten durch 5000
{{Abgesetzte Formel||<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
-
This equation can be solved by taking the lg logarithm of both sides of and rewriting the left-hand side as <math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
+
Indem wir beide Seiten logarithmieren, und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,
 +
<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
Zeile 115: Zeile 117:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Solve the equation <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
+
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The left-hand side can be rewritten using the laws of exponents giving <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> and the equation becomes
+
Wir schreiben die linke Seite wie <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> mit den Logarithmengesetzen, und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
-
This equation is solved in the usual way by taking logarithms giving
+
Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Solve the equation <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
+
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Take logarithms of both sides and use the laws of logarithms <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
+
Wir logarithmieren beide Seiten, und verwenden das Logarithmengesetz <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
-
Collect <math>x</math> to one side
+
Wir bringen <math>x</math> auf einer Seite
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
-
The solution is
+
Die lösung ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
Zeile 137: Zeile 139:
-
== Some more complicated equations ==
+
== Kompliziertere Gleichungen ==
-
Equations containing exponential or logarithmic expressions can sometimes be treated as first order or second order equations by considering "<math>\ln x</math>" or "<math>e^x</math>" as the unknown variable.
+
Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "<math>\ln x</math>" oder "<math>e^x</math>" als unbekannter Variabel betrachtet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
Solve the equation <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Multiply both sides by <math>3e^x+1</math> and <math>e^{-x}+2</math> to eliminate the denominators
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x}+2</math> um den Nenner zu eliminieren.
{{Abgesetzte Formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}
-
Note that since <math>e^x</math> and <math>e^{-x}</math> are always positive regardless of the value of <math>x</math>, in this latest step we have multiplied the equation by factors <math>3e^x+1</math> and <math>e^{-x} +2</math>. Both of these factors are different from zero, so this step cannot introduce new (spurious) roots of the equation.
+
Nachdem <math>e^x</math> und <math>e^{-x}</math> immer positiv sind, für alle <math>x</math>, sind auch die Faktoren <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x} +2</math> positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.
-
Simplify both sides of the equation
+
Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}</math>}}
-
where we used <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math>. If we treat <math>e^x</math> as the unknown variable, the equation is essentially a first order equation which has a solution
+
wo wir uns von der Regel <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math> verwendet haben. Wir betrachten jetzt <math>e^x</math> als unbekannter Variabel. Die Lösung der Gleichung ist dann
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Taking logarithms then gives the answer
+
Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung erhalten wir die Antwort
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
Zeile 165: Zeile 168:
''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
Solve the equation <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The term <math>\ln\frac{1}{x}</math> can be written as <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> and then the equation becomes
+
Der Term <math>\ln\frac{1}{x}</math> kann wie <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> geschrieben werden, und wir erhalten so die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
+
wo wir <math>\ln x</math> als unbekannter Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\ln x</math> (dieser Faktor ist nicht null wenn <math>x \neq 1</math>) und erhalten die quadratische Gleichung
-
where we can consider <math>\ln x</math> as a new unknown. We multiply both sides by <math>\ln x</math> (which is different from zero when <math>x \neq 1</math>) and this gives us a quadratic equation in <math>\ln x</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
Completing the square on the left-hand side
+
für <math>\ln x</math>. Quadratische Ergänzung gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
Zeile 182: Zeile 184:
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
We continue by taking the root giving
+
Wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}}
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}}
-
This means that the equation has two solutions
+
und also die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 196: Zeile 198:
-
== Spurious roots ==
+
== Scheinlösungen ==
-
When you solve equations you should also bear in mind that the arguments of logarithms have to be positive and that terms of the type <math>e^{(\ldots)}</math> can only have positive values. The risk is otherwise that you get spurious roots.
+
Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass <math>e^{(\ldots)}</math> immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko dass wir Scheinlösungen bekommen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
-
Solve the equation <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
For the equation to be satisfied the arguments <math>4x^2-2x</math> and <math>1-2x</math> must be equal,
+
Die Lösungen der Gleichung erfüllen
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}
-
and also be positive. We solve the equation <math>(*)</math> by moving all of the terms to one side
+
wo beide Seiten positiv sind. Die Gleichung kann wie
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}
-
and take the root. This gives that
+
geschrieben werden, und wir erhalten die Wurzeln
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 220: Zeile 223:
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}
-
We now check if both sides of <math>(*)</math> are positive
+
Jetzt testen wir ob beide Seiten von <math>(*)</math> positiv für unsere Lösungen sind:
-
* If <math>x= -\tfrac{1}{2}</math> then both are sides are equal to <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
+
* Wenn <math>x= -\tfrac{1}{2}</math> sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
-
* If <math>x= \tfrac{1}{2}</math> then both are sides are equal to <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.
+
* Wenn <math>x= \tfrac{1}{2}</math> sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.
-
So the logarithmic equation has only one solution <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
+
Die Gleichung hat also nur die eine Lösung <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
</div>
</div>
Zeile 230: Zeile 233:
''' Beispiel 8'''
''' Beispiel 8'''
-
Solve the equation <math>\,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The first term can be written as <math>e^{2x} = (e^x)^2</math>. The whole equation is a quadratic with <math>e^x</math> as the unknown
+
Der erste Term kann wie <math>e^{2x} = (e^x)^2</math> geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit den unbekannten Variabel <math>e^x</math>
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
The equation can be a little easier to manage if we write <math>t</math> instead of <math>e^x</math>,
+
Wir ersetzen <math>e^x</math> mit <math>t</math>, um die Rechnungen zu vereinfachen
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Complete the square for the left-hand side.
+
Quadratische Ergänzung ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
Zeile 249: Zeile 253:
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
which gives solutions
+
und wir haben die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 256: Zeile 260:
t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}
t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}
-
Since <math>\sqrt3 > 1</math> then <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> and it is only <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> that provides a solution to the original equation because <math>e^x</math> is always positive. Taking logarithms finally gives that
+
Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math> ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, nachdem <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}
x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}
-
as the only solution to the equation.
+
als die einzige Lösung der Gleichung.
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'''Tipps fürs lernen'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
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'''Bedenken Sie folgendes:'''
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'''Bedenke folgendes:'''
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Lernen Sie die Logarithmengesetze ordentlich.
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You may need to spend much time studying logarithms.
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Viele Studenten in den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
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Logarithms usually are dealt with summarily in high school. Therefore, many college students tend to encounter problems when it comes to calculations with logarithms.
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Version vom 15:51, 27. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Logarithmusgleichungen
  • Potenzgleichungen
  • Scheinlösungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:


  • To solve equations that contain powers and by taking logarithms obtain an equation of the first degree.
  • Solve equations that contain logarithm or exponential expressions and which can be reduced to first or second order equations.
  • Deal with spurious roots, and know when they arise.
  • To determine which of two logarithmic expressions is the largest by means of a comparison of bases / arguments.

Einfache Gleichungen

Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein Paar Beispiele wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten.

\displaystyle \begin{align*} 
   10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
   e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
 \end{align*}

(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)

Beispiel 1

Lösen Sie die Gleichungen

  1. \displaystyle 10^x = 537\quad hat die Lösung \displaystyle x = \lg 537.
  2. \displaystyle 10^{5x} = 537\quad gibt \displaystyle 5x = \lg 537, also \displaystyle x=\frac{1}{5} \lg 537.
  3. \displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad Wir erweitern beide Seiten mit \displaystyle e^x und dividieren beide Seiten durch 5, und erhalten \displaystyle \tfrac{3}{5}=e^x , also \displaystyle x=\ln\tfrac{3}{5}.
  4. \displaystyle \lg x = 3 \quad hat die Lösung \displaystyle x=10^3 = 1000.
  5. \displaystyle \lg(2x-4) = 2 \quad Von der Fefinition des Logarithmus bekommen wir \displaystyle 2x-4 = 10^2 = 100 und also \displaystyle x = 52.

Beispiel 2

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,(\sqrt{10}\,)^x = 25.

    Nachdem \displaystyle \sqrt{10} = 10^{1/2} ist die Linke Seite \displaystyle (\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2} und wir haben die Gleichung
    \displaystyle 10^{x/2} = 25\,\mbox{.}
    Diese Gleichung hat die Lösung \displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, also \displaystyle x = 2 \lg 25.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

    Wir multiplizieren beide Seiten mit 2, und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten
    \displaystyle 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}

    Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3

    \displaystyle \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}

    und erhalten durch die Definition dass \displaystyle 2x = e^{-1/3}, und also ist

    \displaystyle x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.}

In vielen Anwendungen erscheinen Gleichungen auf der Form

\displaystyle a^x = b\,\mbox{,}

wo \displaystyle a und \displaystyle bpositive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachstem indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.

\displaystyle \lg a^x = \lg b

Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir

\displaystyle x \cdot \lg a = \lg b

und also ist die Lösung \displaystyle \ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}.

Beispiel 3

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,3^x = 20.

    Wir logarithmieren beide Seiten
    \displaystyle \lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}

    Die linke Seite ist \displaystyle \lg 3^x = x \cdot \lg 3, und daher haben wir

    \displaystyle x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000.

    Wir dividieren beide Seiten durch 5000
    \displaystyle 1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}

    Indem wir beide Seiten logarithmieren, und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung, 

    \displaystyle \lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05,
    \displaystyle x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}

Beispiel 4

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2^x \cdot 3^x = 5.

    Wir schreiben die linke Seite wie \displaystyle 2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x mit den Logarithmengesetzen, und erhalten
    \displaystyle 6^x = 5\,\mbox{.}

    Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so

    \displaystyle x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 5^{2x + 1} = 3^{5x}.

    Wir logarithmieren beide Seiten, und verwenden das Logarithmengesetz \displaystyle \lg a^b = b \cdot \lg a
    \displaystyle \eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}

    Wir bringen \displaystyle x auf einer Seite

    \displaystyle \eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}

    Die lösung ist also

    \displaystyle x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}


Kompliziertere Gleichungen

Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "\displaystyle \ln x" oder "\displaystyle e^x" als unbekannter Variabel betrachtet.

Beispiel 5

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}.

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 3e^x+1 und \displaystyle e^{-x}+2 um den Nenner zu eliminieren.

\displaystyle 6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle e^x und \displaystyle e^{-x} immer positiv sind, für alle \displaystyle x, sind auch die Faktoren \displaystyle 3e^x+1 und \displaystyle e^{-x} +2 positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.

Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung

\displaystyle 6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}

wo wir uns von der Regel \displaystyle e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1 verwendet haben. Wir betrachten jetzt \displaystyle e^x als unbekannter Variabel. Die Lösung der Gleichung ist dann

\displaystyle e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}

Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung erhalten wir die Antwort

\displaystyle x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}

Beispiel 6

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1.

Der Term \displaystyle \ln\frac{1}{x} kann wie \displaystyle \ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x geschrieben werden, und wir erhalten so die Gleichung

\displaystyle \frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}

wo wir \displaystyle \ln x als unbekannter Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle \ln x (dieser Faktor ist nicht null wenn \displaystyle x \neq 1) und erhalten die quadratische Gleichung

\displaystyle 1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}
\displaystyle (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}

für \displaystyle \ln x. Quadratische Ergänzung gibt

\displaystyle \begin{align*} 
   \textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
     &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
     &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
 \end{align*}

Wir erhalten

\displaystyle 
 \ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}

und also die Lösungen

\displaystyle 
 x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
 \quad \mbox{och} \quad
 x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}


Scheinlösungen

Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass \displaystyle e^{(\ldots)} immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko dass wir Scheinlösungen bekommen.

Beispiel 7

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x).

Die Lösungen der Gleichung erfüllen

\displaystyle 4x^2 - 2x = 1 - 2x\,, \displaystyle (*)

wo beide Seiten positiv sind. Die Gleichung kann wie

\displaystyle 4x^2 - 1= 0

geschrieben werden, und wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle 
 \textstyle x= -\frac{1}{2}
 \quad\mbox{and}\quad
 x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}

Jetzt testen wir ob beide Seiten von \displaystyle (*) positiv für unsere Lösungen sind:

  • Wenn \displaystyle x= -\tfrac{1}{2} sind beide Seiten \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0.
  • Wenn \displaystyle x= \tfrac{1}{2} sind beide Seiten \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0.

Die Gleichung hat also nur die eine Lösung \displaystyle x= -\frac{1}{2}.

Beispiel 8

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}.

Der erste Term kann wie \displaystyle e^{2x} = (e^x)^2 geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit den unbekannten Variabel \displaystyle e^x

\displaystyle (e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Wir ersetzen \displaystyle e^x mit \displaystyle t, um die Rechnungen zu vereinfachen

\displaystyle t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle \begin{align*} 
   \textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
     &= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
   \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
     &= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
 \end{align*}

und wir haben die Lösungen

\displaystyle 
 t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
 \quad\mbox{and}\quad
 t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}

Nachdem \displaystyle \sqrt3 > 1 ist \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0 und also ist nur \displaystyle t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3 eine mögliche Lösung, nachdem \displaystyle e^x immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten

\displaystyle 
 x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)

als die einzige Lösung der Gleichung.


Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:

Lernen Sie die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele Studenten in den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.

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