Lösung 3.3:6c - Online Mathematik Brückenkurs 1

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                      1. Numerische Berechnungen
                       
                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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+			Lösung 3.3:6c
			
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- Before we even start thinking about transforming <math>\log_2</math> and <math>\log_3</math> to ln, we use the log laws + Wir verwenden die Logarithmengesetze
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- to simplify the expression + um den Ausdruck zu vereinfachen
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- With help of the relation <math>2^{\log_{2}x} = x</math> and <math>3^{\log_{3}x} = x</math> and taking the natural logarithm , we can express <math>\log_{2}</math> and <math>\log_{3}</math> using ln, + Mit den Relationen <math>2^{\log_{2}x} = x</math> und <math>3^{\log_{3}x} = x</math> erhalten wir <math>\log_{2}</math> und <math>\log_{3}</math> mit ln ausgedruckt,
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad</math> and <math>\quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
  
- The two terms <math>\log_3 118</math> and <math>\log_3\log_2 3</math> can therefore be written as + Die beiden Terme <math>\log_3 118</math> und <math>\log_3\log_2 3</math> können deshalb wie
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad</math> and <math>\quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,,</math>}}
  
- where we can simplify the last expression further with the logarithm law, log (a/b) = log a – log b, and then transform <math>\log _{3}</math> to ln, + geschrieben werden. Wir können den Ausdruck weiter vereinfachen mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b, und danach <math>\log _{3}</math> in ln umzuwandeln,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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- In all, we thus obtain + Zusammen erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
  
- Input into the calculator gives + Mit den Rechner erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}</math>}}
  
  
- Note: The button sequence on the calculator will be: + Hinweis: auf den Rechner schreiben wir
  
  
Version vom 21:16, 26. Mär. 2009
Wir verwenden die Logarithmengesetze





\displaystyle \begin{align}
\log a^b &= b\cdot\log a\,,\\[5pt]
\log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,,
\end{align}



um den Ausdruck zu vereinfachen





\displaystyle \begin{align}
\log_{3}\log _{2}3^{118}
&= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt] 
&= \log_{3}118 + \log_{3}\log_{2}3\,\textrm{.} 
\end{align}



Mit den Relationen \displaystyle 2^{\log_{2}x} = x und \displaystyle 3^{\log_{3}x} = x erhalten wir \displaystyle \log_{2} und \displaystyle \log_{3} mit ln ausgedruckt,





\displaystyle \log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}


Die beiden Terme \displaystyle \log_3 118 und \displaystyle \log_3\log_2 3 können deshalb wie





\displaystyle \log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,,


geschrieben werden. Wir können den Ausdruck weiter vereinfachen mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b, und danach \displaystyle \log _{3} in ln umzuwandeln,





\displaystyle \begin{align}
\log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}
&= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt] 
&= \frac{\ln\ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.} 
\end{align}



Zusammen erhalten wir





\displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}


Mit den Rechner erhalten wir





\displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}




Hinweis: auf den Rechner schreiben wir









1

  



1

  



8

  



LN

  



÷

  



3

  



LN

  



+









3

  



LN

  



LN

  



÷

  



3

  



LN

  



-

  



2









LN

  



LN

  



÷

  



3

  



LN

  



=





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-Before we even start thinking about transforming <math>\log_2</math> and <math>\log_3</math> to ln, we use the log laws
+Wir verwenden die Logarithmengesetze
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}
-to simplify the expression
+um den Ausdruck zu vereinfachen
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 \end{align}</math>}}
-With help of the relation <math>2^{\log_{2}x} = x</math> and <math>3^{\log_{3}x} = x</math> and taking the natural logarithm , we can express <math>\log_{2}</math> and <math>\log_{3}</math> using ln,
+Mit den Relationen <math>2^{\log_{2}x} = x</math> und <math>3^{\log_{3}x} = x</math> erhalten wir <math>\log_{2}</math> und <math>\log_{3}</math> mit ln ausgedruckt,
-{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad</math> and <math>\quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
-The two terms <math>\log_3 118</math> and <math>\log_3\log_2 3</math> can therefore be written as
+Die beiden Terme <math>\log_3 118</math> und <math>\log_3\log_2 3</math> können deshalb wie
-{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad</math> and <math>\quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,,</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,,</math>}}
-where we can simplify the last expression further with the logarithm law, log (a/b) = log a – log b, and then transform <math>\log _{3}</math> to ln,
+geschrieben werden. Wir können den Ausdruck weiter vereinfachen mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b, und danach <math>\log _{3}</math> in ln umzuwandeln,
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 \end{align}</math>}}
-In all, we thus obtain
+Zusammen erhalten wir
 {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
-Input into the calculator gives
+Mit den Rechner erhalten wir
 {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}</math>}}
-Note: The button sequence on the calculator will be:
+Hinweis: auf den Rechner schreiben wir
 \displaystyle \begin{align}
\log a^b &= b\cdot\log a\,,\\[5pt]
\log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,,
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\log_{3}\log _{2}3^{118}
&= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt] 
&= \log_{3}118 + \log_{3}\log_{2}3\,\textrm{.} 
\end{align}
 \displaystyle \log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}
 \displaystyle \log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,,
 \displaystyle \begin{align}
\log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}
&= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt] 
&= \frac{\ln\ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.} 
\end{align}
 \displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}
 \displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}
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