Lösung 3.2:5

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After squaring both sides, we obtain the equation
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Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>3x-2 = (2-x)^2</math>|(*)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3x-2 = (2-x)^2</math>|(*)}}
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and if we expand the right-hand side and then collect the terms, we get
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Wir erweitern die rechte Seite, und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}</math>}}
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Completing the square of the left-hand side, we obtain
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Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 16: Zeile 16:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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which means that the equation can be written as
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Und also kann die Gleichung wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}</math>}}
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and the solutions are therefore
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geschrieben werden, und hat also die Wurzeln
:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,</math>
:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,</math>
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:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}</math>
:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}</math>
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Substituting <math>x=1</math> and <math>x=6</math> into the quadratic equation (*) shows that we have solved the equation correctly.
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Ersetzten wir <math>x=1</math> und <math>x=6</math> in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{LHS} = 3\cdot 1-2 = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (2-1)^2 = 1</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{LHS} = 3\cdot 6-2 = 16\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (2-6)^2 = 16</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16</math>
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Finally, we need to sort away possible spurious roots to the root equation by verifying the solutions.
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Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 2-1 = 1</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ </math> and <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 2-6 = -4</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ </math> and <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4</math>
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This shows that the root equation has the solution <math>x=1\,</math>.
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Also hat die Gleichung die Lösung <math>x=1\,</math>.

Version vom 13:27, 26. Mär. 2009

Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle 3x-2 = (2-x)^2 (*)

Wir erweitern die rechte Seite, und erhalten

\displaystyle x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

x^{2}-7x+6 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{25}{4} \end{align}

Und also kann die Gleichung wir

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}

geschrieben werden, und hat also die Wurzeln

  • \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,
  • \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}

Ersetzten wir \displaystyle x=1 und \displaystyle x=6 in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1
  • x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16

Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ and \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1
  • x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ and \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4

Also hat die Gleichung die Lösung \displaystyle x=1\,.

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