Lösung 3.2:2

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The first thing we do is to square both sides of the equation
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Wir quadrieren zuerst die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}
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to obtain an equation without a root sign. It is possible that we thereby introduce so-called spurious roots (solutions to the new equation which are not solutions to the old equation), so we need to test the solutions in the original root equation before we answer.
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und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten
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If we expand the right-hand side in the squared equation, we get
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{{Abgesetzte Formel||<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>|(*)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>|(*)}}
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which we also can write as
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oder
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}</math>}}
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Completing the square of the left-hand side gives
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Quadratische Ergänzung auf der linken Seite gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}
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The equation then becomes
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Und wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 = 4</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 = 4</math>}}
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which has solutions
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mit den Lösungen
:*<math>x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1</math>
:*<math>x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1</math>
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:*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math>
:*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math>
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A quick check shows also that <math>x=-3</math> and <math>x=1</math> are solutions to the squared equation (*):
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Eine schnelle Kontrolle zeigt dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:
:{|
:{|
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;-3:</li></ul>
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;-3:</li></ul>
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||<math>\ \text{LHS} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1</math> and
+
||<math>\ \text{Linke Seite} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1</math> und
|-
|-
||
||
-
||<math>\ \text{RHS} = (-3+2)^{2} = 1</math>
+
||<math>\ \text{Rechte Seite} = (-3+2)^{2} = 1</math>
|-
|-
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;1:</li></ul>
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;1:</li></ul>
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||<math>\ \text{LHS} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9</math> and
+
||<math>\ \text{Linke Seite} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9</math> und
|-
|-
||
||
-
||<math>\ \text{RHS} = (1+2)^2 = 9</math>
+
||<math>\ \text{Rechte Seite} = (1+2)^2 = 9</math>
|}
|}
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When we test the solutions in the root equation, we get that
+
Wir testen schließlich ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:
:{|
:{|
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;-3:</li></ul>
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;-3:</li></ul>
-
||<math>\ \text{LHS} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> and
+
||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> and
|-
|-
||
||
-
||<math>\ \text{RHS} = -3+2 = -1</math>
+
||<math>\ \text{Rechte Seite} = -3+2 = -1</math>
|-
|-
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;1:</li></ul>
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;1:</li></ul>
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||<math>\ \text{LHS} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3</math>
+
||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3</math>
|-
|-
||
||
-
||<math>\ \text{RHS} = 1+2 = 3</math>
+
||<math>\ \text{Rechte Seite} = 1+2 = 3</math>
|}
|}
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and therefore <math>x=1</math> is the only solution to the root equation (<math>x=-3</math> is a spurious root).
+
Daher ist <math>x=1</math> die einzige Lösung der Gleichung (<math>x=-3</math> ist eine Scheinlösung).
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Note: The check we carry out when substituting the solutions into equation (*) is not strictly speaking necessary, but more for seeing that we haven't calculated incorrectly. On the other hand, testing in the root equation is necessary.
+
Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.

Version vom 12:36, 26. Mär. 2009

Wir quadrieren zuerst die Gleichung

\displaystyle 2x+7 = (x+2)^2

und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten

\displaystyle 2x+7=x^{2}+4x+4 (*)

oder

\displaystyle x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung auf der linken Seite gibt

\displaystyle x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}

Und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle (x+1)^2 = 4

mit den Lösungen

  • \displaystyle x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1
  • \displaystyle x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3

Eine schnelle Kontrolle zeigt dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:

  • x = -3:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (-3+2)^{2} = 1
  • x = 1:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (1+2)^2 = 9

Wir testen schließlich ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:

  • x = -3:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1 and
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = -3+2 = -1
  • x = 1:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 1+2 = 3

Daher ist \displaystyle x=1 die einzige Lösung der Gleichung (\displaystyle x=-3 ist eine Scheinlösung).


Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.

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