3.2 Wurzelgleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-Useful([\s\n]+)web([\s\n]+)sites +Nützliche Websites))
Zeile 9: Zeile 9:
{{Info|
{{Info|
'''Inhalt: '''
'''Inhalt: '''
-
* Equations of the type <math>\sqrt{ax+b}= cx +d </math>
+
* Gleichungen auf der Form <math>\sqrt{ax+b}= cx +d </math>
-
* Spurious roots
+
* Scheinlösungen
}}
}}
Zeile 16: Zeile 16:
'''Lernziele'''
'''Lernziele'''
-
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können to:
+
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
-
*Solve by squaring, simple equations containing roots.
+
* Einfache Wurzelgleichungen durch quadrieren lösen.
-
*Manage spurious roots, and know when they might appear.
+
* Scheinlösungen erkennen.
}}
}}
-
== Equations with roots ==
+
== Gleichungen mit Wurzeln ==
-
There are many different types of equations containing roots, some such examples are
+
Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel;
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{x} + 3x = 2\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{x} + 3x = 2\,,</math>}}
Zeile 29: Zeile 29:
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}</math>}}
-
To solve equations with roots we need to get rid of the root sign. The strategy to achieve this is to rewrite the equation so that the root sign only appears on one side of the equals sign. Then one squares both sides of the equation (in the case of quadratic roots), so that the root sign disappears and solves the resulting (squared) equation. When one squares an equation, one must bear in mind that a solution to the resulting equation might not be a solution to the original equation. This is because some minus signs might disappear. One loses information when squaring. Both positive and negative quantities become positive after squaring. Therefore, we must examine the solutions that appear. We need to verify that they are not only solutions to the squared equation, but even to the original equation.
+
Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall wo wir Quadratwurzeln haben), und löst die quadratische Gleichung die daraus entsteht. Bei diesen Schritt muss man aber bedenken dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht notwendig auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach den quadrieren positiv werden, entstehen so genannte Scheinlösungen, die die quadrierte Gleichung lösen, aber nicht die ursprüngliche Gleichung.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
-
The minus disappears when squaring. Consider a simple (trivial) equation
+
Wir betrachten folgende triviale Gleichung:
{{Abgesetzte Formel||<math>x = 2\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = 2\mbox{.}</math>}}
Zeile 42: Zeile 42:
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 = 4\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 = 4\mbox{.}</math>}}
-
This new equation has two solutions <math>x = 2</math> or <math>x = -2</math>. The solution <math>x = 2</math> satisfies the original equation, while <math> x = -2</math> is a solution that arose because we squared the original equation.
+
Die neue Gleichung hat die Lösungen <math>x = 2</math> und <math>x = -2</math>. Die Lösung <math>x = 2</math> erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung <math> x = -2</math> nicht die ursprüngliche Gleichung löst. <math> x = -2</math> ist also eine Scheinlösung die durch das quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.
</div>
</div>
Zeile 48: Zeile 48:
''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
-
Solve the equation <math>\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x</math>.
-
 
+
Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten, und erhalten
-
The two in front of the root is a factor. We can divide both sides of the equation by 2, but we can also let the two remain where it is. If we square the equation as it is, we get
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x - 1) = (1 - x)^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x - 1) = (1 - x)^2</math>}}
-
and we expand the square on the right-hand side giving
+
Wir erweitern die rechte Seite mit der binomischen Formel
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}</math>}}
-
This is a quadratic equation, which can be written as
+
Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
This can be solved by completing the square or by using the general solution formula. Either way the solutions are <math>x = 3 \pm 2</math>, i.e. <math>x = 1</math> or <math>x = 5</math>.
+
schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung, oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind <math>x = 3 \pm 2</math>, also <math>x = 1</math> und <math>x = 5</math>.
-
 
+
-
Since we squared the original equation, there is a risk that spurious roots have been introduced, and therefore we need to check whether <math>x=1</math> and <math>x=5</math> are also solutions to the original equation:
+
Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
-
* <math>x = 1</math> gives that <math>\mbox{LHS} = 2\sqrt{1 - 1} = 0</math> and <math>\mbox{RHS} = 1 - 1 = 0</math>. So <math>\mbox{LHS} = \mbox{RHS}</math> and the equation is satisfied!
+
* <math>x = 1</math> gibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0</math> und <math>\mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0</math>. Also <math>\mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite}</math> und die Gleichung ist also erfüllt.
-
* <math>x = 5</math> gives that <math>\mbox{LHS} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4</math> and <math>\mbox{RHS} = 1 - 5 = -4</math>. So <math>\mbox{LHS} \ne \mbox{RHS}</math> and the equation is not satisfied!
+
* <math>x = 5</math> gibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4</math> und <math>\mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4</math>. Also <math>\mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite}</math> und die Gleichung ist also nicht erfüllt.
-
Thus the equation has only one solution <math>x = 1</math>.
+
Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung <math>x = 1</math>.
<center>{{:3.2 - Bild - Die Kurven y = 2√(x - 1) und y = 1 - x}}</center>
<center>{{:3.2 - Bild - Die Kurven y = 2√(x - 1) und y = 1 - x}}</center>
Zeile 80: Zeile 78:
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
+
Nachdem Sie fertig mit der Theorie sind, solltrn Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
-
'''Bedenke folgendes: '''
+
'''Bedenken Sie folgendes: '''
-
When squaring an equation bear in mind that the solutions obtained might not be the solutions to the original equation, so called spurious roots. This is because potential minus signs disappear. One loses information when squaring. Therefore, one must verify that the solutions obtained, not only are solutions to the squared equation, but also are solutions to the original equation.
+
Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht notwendig Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
-
'''You should always test the solution in the original equation containing roots.'''
+
'''Sie sollen immer testen ob Ihre Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen'''

Version vom 12:04, 26. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Gleichungen auf der Form \displaystyle \sqrt{ax+b}= cx +d
  • Scheinlösungen

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Einfache Wurzelgleichungen durch quadrieren lösen.
  • Scheinlösungen erkennen.

Gleichungen mit Wurzeln

Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel;

\displaystyle \sqrt{x} + 3x = 2\,,
\displaystyle \sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,
\displaystyle \sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}

Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall wo wir Quadratwurzeln haben), und löst die quadratische Gleichung die daraus entsteht. Bei diesen Schritt muss man aber bedenken dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht notwendig auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach den quadrieren positiv werden, entstehen so genannte Scheinlösungen, die die quadrierte Gleichung lösen, aber nicht die ursprüngliche Gleichung.

Beispiel 1

Wir betrachten folgende triviale Gleichung:

\displaystyle x = 2\mbox{.}

If we square both sides of this equation, we get

\displaystyle x^2 = 4\mbox{.}

Die neue Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2. Die Lösung \displaystyle x = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung \displaystyle x = -2 nicht die ursprüngliche Gleichung löst. \displaystyle x = -2 ist also eine Scheinlösung die durch das quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x.

Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten, und erhalten

\displaystyle 4(x - 1) = (1 - x)^2

Wir erweitern die rechte Seite mit der binomischen Formel

\displaystyle 4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir wir

\displaystyle x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}

schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung, oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind \displaystyle x = 3 \pm 2, also \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 5.

Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

  • \displaystyle x = 1 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist also erfüllt.
  • \displaystyle x = 5 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist also nicht erfüllt.

Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung \displaystyle x = 1.

[Image]


Übungen

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie fertig mit der Theorie sind, solltrn Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:

Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht notwendig Lösungen der ursprünglichen Gleichung.


Sie sollen immer testen ob Ihre Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following reference

Understanding Algebra - English online book for pre-university studies


Nützliche Websites

What is the root of -? Webmath.com helps you to simplify root expressions.


Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.2_Wurzelgleichungen“