Lösung 2.3:3f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We can split up the first term on the left-hand side, <math>x(x^{2}-2x)</math>, into factors by taking <math>x</math> outside the bracket, <math>x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2)</math> and writing the other term as <math>x\cdot (2-x) = -x(x-2)</math>. From this we see that both terms contain <math>x(x-2)</math> as common factors and, if we take out those, the left-hand side becomes
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Wir faktorisieren zuerst die beiden Terme in der linken Seite der Gleichung;
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<math>x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2)</math>
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<math>x\cdot (2-x) = -x(x-2)</math>.
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Nachdem wir den gemeinsamen Faktor <math>x(x-2)</math> haben, faktorisieren wir den ganzen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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The whole equation can be written as
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Die Gleichung kann jetzt wie
{{Abgesetzte Formel||<math>x(x-2)(x-1) = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x(x-2)(x-1) = 0</math>}}
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and this equation is satisfied only when one of the three factors <math>x</math>, <math>x-2</math> or <math>x-1</math> is zero, i.e. the solutions are <math>x=0</math>, <math>x=2</math> and <math>x=1</math>.
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geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt wenn einer der Faktoren <math>x</math>, <math>x-2</math> oder <math>x-1</math> null ist. Also sind die Lösungen <math>x=0</math>, <math>x=2</math> und <math>x=1</math>.
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Because it is not completely obvious that <math>x=1</math> is a solution of the equation, we check that <math>x=1</math> satisfies the equation, i.e. that we haven't calculated incorrectly:
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Nachdem es nicht ganz offenbar ist, ob <math>x=1</math> eine Lösung ist, kontrollieren wir ob so der Fall ist
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{LHS} = 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) = 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{RHS.}</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) = 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}</math>

Version vom 15:30, 16. Mär. 2009

Wir faktorisieren zuerst die beiden Terme in der linken Seite der Gleichung;

\displaystyle x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2) \displaystyle x\cdot (2-x) = -x(x-2).

Nachdem wir den gemeinsamen Faktor \displaystyle x(x-2) haben, faktorisieren wir den ganzen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \begin{align}

x(x^{2}-2x) + x(2-x) &= x^{2}(x-2) - x(x-2)\\[5pt] &= x\bigl(x(x-2)-(x-2)\bigr)\\[5pt] &= x(x-2)(x-1)\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann jetzt wie

\displaystyle x(x-2)(x-1) = 0

geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt wenn einer der Faktoren \displaystyle x, \displaystyle x-2 oder \displaystyle x-1 null ist. Also sind die Lösungen \displaystyle x=0, \displaystyle x=2 und \displaystyle x=1.

Nachdem es nicht ganz offenbar ist, ob \displaystyle x=1 eine Lösung ist, kontrollieren wir ob so der Fall ist

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) = 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}
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