Lösung 2.3:2b

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The first step when we solve the second-degree equation is to complete the square on the left-hand side
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Als erster Schritt machen wir eine quadratische Ergänzung auf der linken Seite der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}+2y-15 = (y+1)^{2}-1^{2}-15 = (y+1)^{2}-16\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}+2y-15 = (y+1)^{2}-1^{2}-15 = (y+1)^{2}-16\,\textrm{.}</math>}}
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The equation can now be written as
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Wir können die Gleichung wie
{{Abgesetzte Formel||<math>(y+1)^{2} = 16</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(y+1)^{2} = 16</math>}}
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and has, after taking the square root, the solutions:
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schreiben, und bekommen die Wurzeln
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:*<math>y+1 = \sqrt{16} = 4\,\textrm{,}\ </math> which gives <math>y=-1+4=3\,\textrm{,}</math>
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:*<math>y+1 = \sqrt{16} = 4\,\textrm{,}\ </math>, also <math>y=-1+4=3\,\textrm{,}</math>
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:*<math>y+1 = -\sqrt{16} = -4\,\textrm{,}\ </math> which gives <math>y=-1-4=-5\,\textrm{.}</math>
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:*<math>y+1 = -\sqrt{16} = -4\,\textrm{,}\ </math>, also <math>y=-1-4=-5\,\textrm{.}</math>
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A quick check shows that <math>y=-5</math> and <math>y=3</math> satisfy the equation:
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Wir kontrollieren dass <math>y=-5</math> und <math>y=3</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllen
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:*''y''&nbsp;=&nbsp;-5: <math>\ \text{LHS} = (-5)^{2} + 2\cdot (-5)-15 = 25-10-15 = 0 = \text{RHS,}</math>
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:*''y''&nbsp;=&nbsp;-5: <math>\ \text{Linke Seite} = (-5)^{2} + 2\cdot (-5)-15 = 25-10-15 = 0 = \text{Rechte Seite}</math>
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:*''y''&nbsp;=&nbsp;3: <math>\ \text{LHS} = 3^{2} + 2\cdot 3 - 15 = 9+6-15 = 0 = \text{RHS.}</math>
+
:*''y''&nbsp;=&nbsp;3: <math>\ \text{Linke Seite} = 3^{2} + 2\cdot 3 - 15 = 9+6-15 = 0 = \text{Rechte Seite}</math>

Version vom 16:54, 14. Mär. 2009

Als erster Schritt machen wir eine quadratische Ergänzung auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle y^{2}+2y-15 = (y+1)^{2}-1^{2}-15 = (y+1)^{2}-16\,\textrm{.}

Wir können die Gleichung wie

\displaystyle (y+1)^{2} = 16

schreiben, und bekommen die Wurzeln

  • \displaystyle y+1 = \sqrt{16} = 4\,\textrm{,}\ , also \displaystyle y=-1+4=3\,\textrm{,}
  • \displaystyle y+1 = -\sqrt{16} = -4\,\textrm{,}\ , also \displaystyle y=-1-4=-5\,\textrm{.}


Wir kontrollieren dass \displaystyle y=-5 und \displaystyle y=3 die ursprüngliche Gleichung erfüllen

  • y = -5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = (-5)^{2} + 2\cdot (-5)-15 = 25-10-15 = 0 = \text{Rechte Seite}
  • y = 3: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3^{2} + 2\cdot 3 - 15 = 9+6-15 = 0 = \text{Rechte Seite}
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