Lösung 2.2:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We multiply the top and bottom of the terms on the left-hand side by appropriate factors so that they have the same common denominator, in the following way,
+
Zuerst erweitern wir beide Brüche sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+3}{x-3}\cdot \frac{x-2}{x-2}-\frac{x+5}{x-2}\cdot \frac{x-3}{x-3}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+3}{x-3}\cdot \frac{x-2}{x-2}-\frac{x+5}{x-2}\cdot \frac{x-3}{x-3}=0\,\textrm{.}</math>}}
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Now, the numerators can be subtracted,
+
Jetzt subtrahieren wir den zweiten Zähler von den ersten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+3)(x-2)-(x+5)(x-3 )}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+3)(x-2)-(x+5)(x-3 )}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}</math>}}
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Expand the brackets in the numerator,
+
Jetzt erweitern wir die Klammern im Zähler,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^{2}-2x+3x-6-(x^{2}-3x+5x-15)}{(x-2)(x-3)}=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^{2}-2x+3x-6-(x^{2}-3x+5x-15)}{(x-2)(x-3)}=0</math>}}
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and simplify
+
und vereinfachen ein wenig
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-x+9}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-x+9}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}</math>}}
-
The left-hand side will be zero only when its numerator is zero (provided the denominator is not also zero), which gives us that the equation's solutions are given by the solutions to
+
 
 +
Die linke Seite ist null, nur wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht null ist), und also lösen wir folgende Gleichung:
{{Abgesetzte Formel||<math>-x+9=0\,</math>,}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-x+9=0\,</math>,}}
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i.e. <math>x=9</math>.
+
Also <math>x=9</math>.
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Substituting <math>x=9</math> into the original equation shows that we have calculated correctly,
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Indem wir <math>x=9</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren, kontrollieren wir dass die Lösung korrekt ist.
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{LHS}=\frac{9+3}{9-3}-\frac{9+5}{9-2}=\frac{12}{6}-\frac{14}{7}=2-2=0=\text{RHS.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{LHS}=\frac{9+3}{9-3}-\frac{9+5}{9-2}=\frac{12}{6}-\frac{14}{7}=2-2=0=\text{RHS.}</math>}}

Version vom 15:54, 12. Mär. 2009

Zuerst erweitern wir beide Brüche sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen

\displaystyle \frac{x+3}{x-3}\cdot \frac{x-2}{x-2}-\frac{x+5}{x-2}\cdot \frac{x-3}{x-3}=0\,\textrm{.}

Jetzt subtrahieren wir den zweiten Zähler von den ersten.

\displaystyle \frac{(x+3)(x-2)-(x+5)(x-3 )}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}

Jetzt erweitern wir die Klammern im Zähler,

\displaystyle \frac{x^{2}-2x+3x-6-(x^{2}-3x+5x-15)}{(x-2)(x-3)}=0

und vereinfachen ein wenig

\displaystyle \frac{-x+9}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}


Die linke Seite ist null, nur wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht null ist), und also lösen wir folgende Gleichung:

\displaystyle -x+9=0\,,

Also \displaystyle x=9.

Indem wir \displaystyle x=9 in der ursprünglichen Gleichung substituieren, kontrollieren wir dass die Lösung korrekt ist.

\displaystyle \text{LHS}=\frac{9+3}{9-3}-\frac{9+5}{9-2}=\frac{12}{6}-\frac{14}{7}=2-2=0=\text{RHS.}
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