2.2 Lineare Gleichungen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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* Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen. | * Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen. | ||
* Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dessen Gebieten berechnen. | * Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dessen Gebieten berechnen. | ||
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Version vom 13:32, 1. Mär. 2009
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Lineare Gleichungen
- Gleichung einer Linie
- Geometrische Probleme
- Gebiete definiert durch lineare Gleichungen
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen Lineare Gleichungen ergeben, lösen.
- Gleichungen zwischen den Formen y = kx + m und ax + by + c = 0. zu transformieren.
- Geraden die durch eine lineare Gleichung definiert sind zeichnen.
- Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
- Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dessen Gebieten berechnen.
Lineare Gleichungen
Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch Arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.
Beispiel 1
- Lösen Sie die Gleichung \displaystyle x+3=7.
Wir subtrahieren \displaystyle 3 von beiden Seiten- \displaystyle x+3-3=7-3.
- \displaystyle x=7-3=4.
- Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 3x=6.
Wier dividieren beide Seiten mit \displaystyle 3- \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
- \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
- Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}
Zuerst subtrahieren wirt \displaystyle 1 von beiden Seiten, sodass \displaystyle 2x alleine links steht- \displaystyle 2x=5-1.
- \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.
- \displaystyle 2x=5-1.
Eine lineare Gleichung kann immer auf die Normalform \displaystyle ax=b geschrieben werden. Die Lösung bekommen wir einfach durch division mit a, \displaystyle x=b/a (nur wenn \displaystyle a\not=0).
Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen die notwendig sind um die Gleichung auf die Standardform zu schreiben. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen die alle auf Standardform geschrieben werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.
Beispiel 2
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,2x-3=5x+7.
Nachdem \displaystyle x links und rechts erscheint, subtrahieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 2x
| \displaystyle 2x-3-2x=5x+7-2x |
und jetzt kommt \displaystyle x nur in der rechten Seite vor
| \displaystyle -3 = 3x+7 \; \mbox{.} |
Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung
| \displaystyle -3 -7 = 3x +7-7 |
und erhalten \displaystyle 3x alleine auf der rechten Seite der Gleichung
| \displaystyle -10=3x\,\mbox{.} |
Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 3
| \displaystyle \frac{-10}{3} = \frac{3x}{3} |
und erhalten die Lösung
| \displaystyle x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.} |
Beispiel 3
Lösen Sie (für \displaystyle x) die Gleichung \displaystyle ax+7=3x-b.
Indem wir \displaystyle 3x von beiden Seiten subtrahieren
| \displaystyle ax+7-3x=3x-b-3x |
| \displaystyle ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x} |
und danach \displaystyle 7 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
| \displaystyle ax+7-3x -7=-b-7 |
| \displaystyle ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7 |
Jetzt sind alle Terme die \displaystyle x enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor \displaystyle x faktorisieren
| \displaystyle (a-3)x = -b-7\; \mbox{.} |
Wenn wir beide Seiten mit \displaystyle a-3 dividieren erhalten wir die Lösung
| \displaystyle x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.} |
Es ist nicht immer offenbar ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir das Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.
Beispiel 4
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.
Wir erweitern die quadratische Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.
| \displaystyle x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,} |
| \displaystyle 4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.} |
Hier subtrahieren wir \displaystyle 4x^2 von beiden Seiten
| \displaystyle -6x +9 = 28x +49\; \mbox{.} |
und addieren \displaystyle 6x zu beiden Seiten
| \displaystyle 9 = 34x +49\; \mbox{.} |
und subtrahieren \displaystyle 49 von beiden Seiten
| \displaystyle -40=34x\; \mbox{.} |
und schließlich dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 34
| \displaystyle x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.} |
Beispiel 5
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.
Collect both terms to one side
| \displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.} |
Convert the terms so that they have the same denominator
| \displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0 |
and simplify the numerator
| \displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0, |
| \displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0, |
| \displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.} |
This equation only is satisfied when the numerator is equal to zero (whilst the denominator is not equal to zero);
| \displaystyle 5x+4=0 |
which gives that \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.
Straight lines
Functions such as
| \displaystyle y = 2x+1 |
| \displaystyle y = -x+3 |
| \displaystyle y = \frac{1}{2} x -5 |
are examples of linear functions, and they generally can be put into the form
| \displaystyle y = kx+m |
where \displaystyle k and \displaystyle m are constants.
The graph of a linear function is always a straight line and the constant \displaystyle k indicates the slope of the line with respect to the \displaystyle x-axis and \displaystyle m gives the \displaystyle y-coordinate of the point where the line intersects the \displaystyle y-axis.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/6/b/7/6b74b89aa676d3688b3370222cf928b9.png)
The constant \displaystyle k is called the slope and means that a unit change in the positive \displaystyle x-direction along the line gives \displaystyle k units change in the positive \displaystyle y-direction. Thus if
- \displaystyle k>0\, the line slopes upwards,
- \displaystyle k<0\, the line slopes downwards.
For a horizontal line (parallel to the \displaystyle x-axis) \displaystyle k=0 whereas a vertical line (parallel to the \displaystyle y-axis) does not have a \displaystyle k value ( a vertical line cannot be written in the form \displaystyle y=kx+m).
Beispiel 6
- Sketch the line \displaystyle y=2x-1.
Comparing with the standard equation \displaystyle y=kx+m we see that \displaystyle k=2 and \displaystyle m=-1. This means that the line's slope is \displaystyle 2 and that it cuts the \displaystyle y-axis at \displaystyle (0,-1). See the figure below to the left. - Sketch the line \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.
The equation of the line can be written as \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 , and then we see that its slope is \displaystyle k= -\tfrac{1}{2}and that \displaystyle m=2. See the figure below to the right.
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| Line y = 2x - 1 | Line y = 2 - x/2 |
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/7/5/1/751567d76bf8e99cf19d2c0e69b7aabc.png)
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/f/0/6/f0645ac2c366fd73aabae1df5fbd9dcc.png)
Beispiel 7
What is the slope of the straight line that passes through the points \displaystyle (2,1) and \displaystyle (5,3)?
If we plot the points and draw the line in a coordinate system, we see that \displaystyle 5-2=3 steps in the \displaystyle x-direction corresponds to \displaystyle 3-1=2 steps in the \displaystyle y-direction along the line. This means that \displaystyle 1 step in the \displaystyle x-direction corresponds to \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} steps in the \displaystyle y-direction. So the line's slope is \displaystyle k= \frac{2}{3}.
Two straight lines that are parallel clearly have the same slope. It is also possible to see (such as in the figure below) that for two lines having slopes \displaystyle k_1 and \displaystyle k_2 and also are perpendicular then \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, which also can be written as \displaystyle k_1 k_2 = -1.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/7/1/3/713455e69201100cfd7ce2aa42abd309.png)
The straight line in the figure on the left has slope \displaystyle k, that is \displaystyle 1 step in the \displaystyle x-direction corresponds to \displaystyle k steps in the \displaystyle y-direction. If the line is rotated \displaystyle 90^\circ clockwise, we get the line in the figure to the right, and that line has slope \displaystyle -\frac{1}{k} because now \displaystyle -k steps in the \displaystyle x-direction corresponds to \displaystyle 1 step in the \displaystyle y-direction
Beispiel 8
- The lines \displaystyle y=3x-1 and \displaystyle y=3x+5 are parallel.
- The lines \displaystyle y=x+1 and \displaystyle y=2-x are perpendicular.
All straight lines (including vertical lines) can be put into the general form
| \displaystyle ax+by=c |
where \displaystyle a, \displaystyle b and \displaystyle c are constants.
Beispiel 9
- Put the line \displaystyle y=5x+7 into the form \displaystyle ax+by=c.
Move the \displaystyle x-term to the left-hand side: \displaystyle -5x+y=7. - Put the line \displaystyle 2x+3y=-1 into the form \displaystyle y=kx+m.
Move the \displaystyle x-term to the right-hand side \displaystyle 3y=-2x-1 and divide both sides by \displaystyle 3\displaystyle y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}
Here you can see how an equation for a line can be obtained if we know the coordinates of two points on the line.
Here you can vary k and m and see how this affects the line's characteristics.
Regions in a coordinate system
By geometrically interpreting inequalities, one can describe regions in the plane.
Beispiel 10
- Sketch the region in the \displaystyle x,y-plane that satisfies \displaystyle y\ge2.
The region is given by all the points \displaystyle (x,y) for which the \displaystyle y-coordinate is equal or greater than \displaystyle 2 that is all points on or above the line \displaystyle y=2.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/b/e/f/beff31399f9e094624a3955795665c60.png)
- Sketch the region in the \displaystyle x,y-plane that satisfies \displaystyle y < x.
A point \displaystyle (x,y) that satisfies the inequality \displaystyle y < x must have an \displaystyle x-coordinate that is larger than its \displaystyle y-coordinate. Thus the area consists of all the points to the right of the line \displaystyle y=x.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/f/6/9/f698c636d69d550c46687c51eac40238.png)
The fact that the line \displaystyle y=x is dashed means that the points on the line do not belong to the coloured area.
Beispiel 11
Sketch the region in the \displaystyle x,y-plane that satisfies \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4.
The double inequality can be divided into two inequalities
| \displaystyle 3x+2y \ge 2 \quad and \displaystyle \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.} |
We move the \displaystyle x-terms into the right-hand side and divide both sides by \displaystyle 2 giving
| \displaystyle y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad and \displaystyle \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.} |
The points that satisfy the first inequality are on and above the line \displaystyle y \ge 1-\tfrac{3}{2}x while the points that satisfy the other inequality are on or below the line \displaystyle y\le 2-\tfrac{3}{2}x.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/e/6/1/e61506118ea86b81827e64ee907a585a.png)
Points that satisfy both inequalities form a band-like region where both coloured areas overlap.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/6/4/9/649cbdd936a52663de8af03e3b98807b.png)
Beispiel 12
If we draw the lines \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x and \displaystyle y=2 then these lines bound a triangle in a coordinate system.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/4/f/e/4fe11327941ab6fd1e943157b94a5cc0.png)
We find that for a point to lie in this triangle, it has to satisfy certain conditions.
We see that its \displaystyle y-coordinate must be less than \displaystyle 2. At the same time, we see that the triangle is bounded by \displaystyle y=0 below. Thus the \displaystyle y coordinates must be in the range \displaystyle 0\le y\le2.
For the \displaystyle x-coordinate, the situation is a little more complicated. We see that the \displaystyle x-coordinate must satisfy the fact that all points lie above the lines \displaystyle y=-x and \displaystyle y=x. We see that this is satisfied if \displaystyle -y\le x\le y. Since we already have restricted the \displaystyle y-coordinates, we see that \displaystyle x cannot be larger than \displaystyle 2 or less than \displaystyle -2.
Thus the base of the triangle is \displaystyle 4 units of length and the height \displaystyle 2 units of length.
The area of this triangle is therefore \displaystyle 4\cdot 2/2=4 units of area.
Tipps fürs lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
Bedenke folgendes ...
Draw your own diagrams when you solve geometrical problems and draw carefully and accurately! A good diagram can mean you are halfway to a solution, but a poor diagram may well fool you.
Nützliche Websites
