2. Algebra

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Algebra is the branch of mathematics which works with symbolic expressions and variables, and not just calculations with numbers.
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Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik das dass rechnen mit unbekannten Symbolen enthält, und nicht nur Zahlen.
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Algebra kann zu vieles verwendet werden. Zum Beispiel können geometrische Probleme oft in algebraische Probleme umgewandelt werden, und mit hilfe von Algebra auch gelöst werden.
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Algebra is needed in many situations. For example algebra can be used to describe mathematical problems and to solve equations. Among other things it can describe geometric facts by means of algebraic statements, and many problems can be resolved with the help of algebraic operations.
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In manchen Fällen kann man Ausdrücke nicht exakt berechnen. Der Ausdruck kann zum Beispiel unbekannte Parameter oder Vaiablen enthalten. Es kann auch so sein dass der ausdruck nicht exakt dargestellt werden kann, sowie zum Beispiel der Umfang eines Kreises (<math>2\pi r</math>), oder die Hypotenuse eines Dreiecks (<math>\sqrt{3}</math> zum Beispiel). Es kann sich auch einfach um einen Konstant handeln, der zum Beispiel <math>\dfrac{1-\ln 2}{3}</math> sein kann.
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In some cases the value of an expression does not simplify to a numeric value. The reason may be that the expression includes unknown parameters or variables. It may also be that it is important that a number be exactly specified, such as that a given circle is to have a circumference of exactly <math>4\pi</math> units, or the hypotenuse of a triangle is to be <math>\sqrt{3}</math>, or even that the value of a constant is to be <math>\dfrac{1-\ln 2}{3}</math>.
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[[Image:grafisk lösning.gif|thumb|250px|
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Eine lineare Gleichung mit zwei unbekannten kann geometrisch als eine gerade interpretiert werden. Die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen (''x'',''y''), entspricht den Punkt wo die beiden Geraden sich kreuzen.]]
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Deshalb kann es einfacher sein eine Zahl mit einen Symbol zu repräsentieren, wie zum Beispiel ''a''. Die Lösung einer Gleichung mit ''a'', wird dann aber keine Zahl enthalten, sondern einen Ausdruck der ''a'' enthält.
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[[Image:grafisk lösning.gif|thumb|250px|A linear equation with two unknowns can be interpreted as a straight line in a coordinate system. The common solution (''x'',''y'') to these two equations corresponds to the common point of these lines, that is their point of intersection. ]]
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Eine häufige Anwendung von Algebra ist die Vereinfachung von Ausdrücken. Vereinfachte Ausdrücke sind sehr anwendbar wenn man zum Beispiel eine Gleichung differenziert, oder wenn man eine Gleichung löst.
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Then it may be easier just to call the number, for example, ''a''. In return, you must accept that you may not arrive at a numerical value, but instead may finish up with an expression that contains ''a''.
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A common situation where algebra may be necessary is simplification. It is often very important to simplify an expression, such as before differentiation, or when an equation is to be solved.
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Durch Vereinfachungen vermeidet man oft Rechenfehler. Eine Vereinfachung zu machen bedeutet dass man eine Gleichung zu einer anderen transformiert. Welche Gleichung am &rdquo:einfachsten&rdquo; ist, ist oft offenbar, aber hängt manchmal von der Situation ab.
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Wenn man einen Ausdruck differenziert, ist es oft ein Vorteil wenn wer Ausdruck aus einer Summe von mehreren Termen besteht. Wenn man aber eine Gleichung lösen möchte, ist es öfter ein Vorteil wenn der Ausdruck aus ein Produkt von mehreren Faktoren besteht. Deshalb ist es wichtig Algebra gut zu beherrschen, um Ausdrücke transformieren zu können.
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Simplification reduces the risk of careless mistakes and avoids unnecessary work. To simplify means to transform an expression from one form to another. Which of these is to be considered as &rdquo;simple&rdquo; is sometimes obvious, but it can also depend on what you want to do with the expression.
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'''Dieser Abschnitt, sowohl wie alle anderen, voraussetzen dass Sie keinen Taschenrechner verwenden.'''
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When differentiating, it may be advantageous to transform the expression into a sum of a number of terms. On the other hand when we solve an equation, it may be advantageous to reformulate the expression as a product of a number of factors. Therefore, one needs to be proficient in converting expressions into different forms.
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''In der Universität sind Taschenrechner bei den Prüfungen nicht zugelassen, zumindest nicht in den Grundkursen.''
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'''It is important to note that the material in this section&mdash; as well as in other parts of the course &mdash; is designed that one does not use calculators.'''
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Um den Abschnitt Algebra zu bestehen'''
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''When you get to university, you will not be allowed to use calculators during your "exams", at least this is true for the basic courses.''
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# Lesen Sie zuerst den Theorieabschnitt und lesen Sie die Beispiele durch.
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''To do well in Algebra'''
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# Start by reading the section's theory and study the examples.
 
#Work through the exercises and try to solve them without using a calculator. Make sure that you have the right answer by clicking on the answer button. If you do not have it, you can click on the solution button to see what went wrong
#Work through the exercises and try to solve them without using a calculator. Make sure that you have the right answer by clicking on the answer button. If you do not have it, you can click on the solution button to see what went wrong
#Then go ahead and answer the questions in the basic test of the section.
#Then go ahead and answer the questions in the basic test of the section.

Version vom 15:09, 7. Jan. 2009



\displaystyle \text{@(a class="image" href="http://smaug.nti.se/temp/KTH/film4.html" target="_blank")@(img src="http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1/img_auth.php/0/00/Lars_och_Elin.jpg" alt="Film om algebra")@(/img)@(/a)}

Why do we use letters and who were the first to do this?


Watch the video in which the lecturer Lasse Svensson tells us how algebra developed and answers Elins questions about Part 2 of the course.






Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik das dass rechnen mit unbekannten Symbolen enthält, und nicht nur Zahlen.

Algebra kann zu vieles verwendet werden. Zum Beispiel können geometrische Probleme oft in algebraische Probleme umgewandelt werden, und mit hilfe von Algebra auch gelöst werden.

In manchen Fällen kann man Ausdrücke nicht exakt berechnen. Der Ausdruck kann zum Beispiel unbekannte Parameter oder Vaiablen enthalten. Es kann auch so sein dass der ausdruck nicht exakt dargestellt werden kann, sowie zum Beispiel der Umfang eines Kreises (\displaystyle 2\pi r), oder die Hypotenuse eines Dreiecks (\displaystyle \sqrt{3} zum Beispiel). Es kann sich auch einfach um einen Konstant handeln, der zum Beispiel \displaystyle \dfrac{1-\ln 2}{3} sein kann.

Eine lineare Gleichung mit zwei unbekannten kann geometrisch als eine gerade interpretiert werden. Die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen (x,y), entspricht den Punkt wo die beiden Geraden sich kreuzen.
Eine lineare Gleichung mit zwei unbekannten kann geometrisch als eine gerade interpretiert werden. Die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen (x,y), entspricht den Punkt wo die beiden Geraden sich kreuzen.

Deshalb kann es einfacher sein eine Zahl mit einen Symbol zu repräsentieren, wie zum Beispiel a. Die Lösung einer Gleichung mit a, wird dann aber keine Zahl enthalten, sondern einen Ausdruck der a enthält.

Eine häufige Anwendung von Algebra ist die Vereinfachung von Ausdrücken. Vereinfachte Ausdrücke sind sehr anwendbar wenn man zum Beispiel eine Gleichung differenziert, oder wenn man eine Gleichung löst.

Durch Vereinfachungen vermeidet man oft Rechenfehler. Eine Vereinfachung zu machen bedeutet dass man eine Gleichung zu einer anderen transformiert. Welche Gleichung am &rdquo:einfachsten” ist, ist oft offenbar, aber hängt manchmal von der Situation ab.

Wenn man einen Ausdruck differenziert, ist es oft ein Vorteil wenn wer Ausdruck aus einer Summe von mehreren Termen besteht. Wenn man aber eine Gleichung lösen möchte, ist es öfter ein Vorteil wenn der Ausdruck aus ein Produkt von mehreren Faktoren besteht. Deshalb ist es wichtig Algebra gut zu beherrschen, um Ausdrücke transformieren zu können.

Dieser Abschnitt, sowohl wie alle anderen, voraussetzen dass Sie keinen Taschenrechner verwenden.

In der Universität sind Taschenrechner bei den Prüfungen nicht zugelassen, zumindest nicht in den Grundkursen.


Um den Abschnitt Algebra zu bestehen

  1. Lesen Sie zuerst den Theorieabschnitt und lesen Sie die Beispiele durch.
  1. Work through the exercises and try to solve them without using a calculator. Make sure that you have the right answer by clicking on the answer button. If you do not have it, you can click on the solution button to see what went wrong
  2. Then go ahead and answer the questions in the basic test of the section.
  3. If you get stuck on a point, check to see if someone else has discussed the point in the forum belonging to the section. If not, take up the point yourself. Your teacher (or a student) will respond to your question within a few hours.
  4. When you are finished with the exercises and the basic test in a section you should take the final test to get a pass for the section. The requirement here is to answer correctly three questions in a row before you can move on to the next section.
  5. When you have answered correctly all questions in both the basic and the final test of this section you will have a pass for this section and can move on to Part 3 of the course.

   P.S. If you feel that you are very familiar with the contents of a section you can test yourself by going directly to the basic and final tests. You must answer all the questions correctly in a test, but you may do the test several times if you do not succeed at the first attempt. It is your final results which appear in the statistics.

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