1.3 Potenzen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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'''Keep in mind that:'''
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'''Bedenke folgendes:'''
The number raised to the power 0, is always 1, if the number (the base) is not 0.
The number raised to the power 0, is always 1, if the number (the base) is not 0.

Version vom 08:05, 28. Okt. 2008

       Theorie          Übungen      

Content:

  • Positive integer exponent
  • Negative integer exponent
  • Rational exponents
  • Laws of exponents

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können to:

  • Recognise the concepts of base and exponent.
  • Calculate integer power expressions
  • Use the laws of exponents to simplify expressions containing powers.
  • Know when the laws of exponents are applicable (positive basis).
  • Determine which of two powers is the larger based on a comparison of the base / exponent.

Ganze Exponenten

Die Multiplikation ist eine Kürzung von wiederholten Additionen, zum Beispiel,

\displaystyle 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}

Analog definiert man die Potenze als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:

\displaystyle 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}

Der 4:er Wird Basis benannt, und der 5:er wird Exponent benannt.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125
  2. \displaystyle 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
  3. \displaystyle 0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001
  4. \displaystyle (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16, but \displaystyle -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16
  5. \displaystyle 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, but \displaystyle (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36

Beispiel 2

  1. \displaystyle \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
  2. \displaystyle (2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)
    \displaystyle \phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296

Das letzte Beispiel kann in zwei sehr nützliche Rechenregeln generalisiert werden:

\displaystyle \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{and}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}


Rechenregeln für Potenzen

Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man dass

\displaystyle 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8

Was in folgende Regel generalisiert werden kann

\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}

Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis, gilt folgendes

\displaystyle \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}

Was in folgende Regel generalisiert werden kann

\displaystyle \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}

Wenn die Basis selber ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist

\displaystyle (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}

Und

\displaystyle (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}


Dies kann in folgende Rechenregel generalisiert werden

\displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.}

Beispiel 3

  1. \displaystyle 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
  2. \displaystyle 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
  3. \displaystyle 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
  4. \displaystyle 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8

Beispiel 4

  1. \displaystyle \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
  2. \displaystyle \frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9


Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:

\displaystyle \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}


Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man dass für alle \displaystyle a \ne 0


\displaystyle a^0 = 1\mbox{.}

Es kann auch geschehen dass der Exponent im Nenner größer als der Exponent im Zähler ist. Zum Beispiel:

\displaystyle \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{and}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Dies muss bedeuten dass

\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Die generelle Definition von negativen Exponenten lautet, für alle \displaystyle a \ne 0

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}


Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
  2. \displaystyle 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
  3. \displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}
  4. \displaystyle 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}
  5. \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
  6. \displaystyle \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
  7. \displaystyle 0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}

Falls die Basis einer Potenz \displaystyle -1 ist, ist der Ausdruck entweder \displaystyle -1 oder \displaystyle +1 je nach Exponent.

\displaystyle \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}

Die generelle Rechenregel ist dass \displaystyle (-1)^n \displaystyle -1 ist falls \displaystyle n ungerade ist, und \displaystyle +1 falls \displaystyle n gerade ist.


Beispiel 6

  1. \displaystyle (-1)^{56} = 1\quad nachdem \displaystyle 56 gerade ist
  2. \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad nachdem 11 ungerade ist
  3. \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} \displaystyle \phantom{\frac{(-2)^{127}}{2^{130}}}{} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}


Basis wechseln

Bei vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen sich lernen zu erkennen. Zum Beispiel:

\displaystyle 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots
\displaystyle 9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots
\displaystyle 25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots

Und auch

\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots

Usw.

Beispiel 7

  1. Schreibe \displaystyle \ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ Als eine Potenz mit der Basis 2.

    \displaystyle 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
    \displaystyle \qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9
  2. Schreibe \displaystyle \ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ Als eine Potenz mit der Basis 3.

    \displaystyle \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2
  3. Vereinfache \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} so weit wie möglich.

    \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8


Rationale Exponenten

Was wird passieren wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisherig präsentierten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?

Nachdem zum Beispiel

\displaystyle 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2

Muss \displaystyle 2^{1/2} dasselbe wie \displaystyle \sqrt{2} sein, nachdem \displaystyle \sqrt2 definiert wird als die Zahl die \displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 erfüllt. 

Generell definiert man

\displaystyle a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}

Wir müssen annehmen dass \displaystyle a\ge 0, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine Negative Zahl ergibt.

Wie haben aber zum Beispiel auch

\displaystyle 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5

Was bedeuten muss dass \displaystyle \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, was in folgende Rechenregel generalisiert werden kann

\displaystyle a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}

In dem man diese Regel, mit der Regel \displaystyle ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) kombiniert, sieht man dass für alle \displaystyle a\ge0 folgendes gilt

\displaystyle a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}

oder

\displaystyle a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad as \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 =27
  2. \displaystyle 1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}
  3. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
  4. \displaystyle \frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}


Potenzen vergleichen

Falls man ohne Taschenrechner Potenzen vergleichen möchte, kann man dieses durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.

Falls die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Falls die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das umgekehrte. Die Potenz wird kleiner je größer der Exponent wird.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad nachdem die Basis \displaystyle 3 größer als \displaystyle 1 und der erste Exponent \displaystyle 5/6 größer als der zweite Exponent \displaystyle 3/4 ist.
  2. \displaystyle \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad nachdem die Basis größer als \displaystyle 1 ist, und es für die Exponente gilt dass \displaystyle -3/4 > - 5/6.
  3. \displaystyle \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad nachdem die Basis \displaystyle 0{,}3 zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 1 ist, und \displaystyle 5 > 4.

If a power has a positive exponent, it will get larger the larger the base becomes. The opposite applies if the exponent is negative: that is, the power decreases as the base gets larger.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad as the base \displaystyle 5 is larger than the base \displaystyle 4 and both powers have the same positive exponent \displaystyle 3/2.
  2. \displaystyle \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad as the bases satisfy \displaystyle 2<3 and the powers have a negative exponent \displaystyle -5/3.

Sometimes powers must be rewritten in order to determine the relative sizes. For example to compare \displaystyle 125^2 with \displaystyle 36^3one can rewrite them as

\displaystyle

125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{and}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6

after which one can see that \displaystyle 36^3 > 125^2.

Beispiel 11

Determine which of the following pairs of numbers is the greater

  1. \displaystyle 25^{1/3}   and  \displaystyle 5^{3/4} .

    The base 25 can be rewritten in terms of the second base \displaystyle 5 by putting \displaystyle 25= 5\cdot 5= 5^2. Therefore
    \displaystyle 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}

    and then we see that

    \displaystyle 5^{3/4} > 25^{1/3}
    since \displaystyle \frac{3}{4} > \frac{2}{3} and the base \displaystyle 5 is larger than \displaystyle 1.
  2. \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5   and \displaystyle 128.

    Both \displaystyle 8 and \displaystyle 128 can be written as powers of \displaystyle 2
    \displaystyle \eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}

    This means that

    \displaystyle \begin{align*} 
     (\sqrt{8}\,)^5  &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}
                  = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
 128 &= 2^7 = 2^{14/2}
 \end{align*}

    and thus

    \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 > 128
    because \displaystyle \frac{15}{2} > \frac{14}{2} and the base \displaystyle 2 is greater than \displaystyle 1.
  3. \displaystyle (8^2)^{1/5} and \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5}.

    Since \displaystyle 8=2^3 and \displaystyle 27=3^3 a first step can be to simplify and write the numbers as powers of \displaystyle 2 and \displaystyle 3 respectively,
    \displaystyle \begin{align*} 
     (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}}
              = 2^{6/5}\mbox{,}\\
 (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5}
              = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5}
              = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}
              = 3^{6/5}\mbox{.}

    \end{align*}

    Now we see that

    \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5}

    because \displaystyle 3>2 and exponent \displaystyle \frac{6}{5} is positive.

  4. \displaystyle 3^{1/3}   and  \displaystyle 2^{1/2}

    We rewrite the exponents so they have a common denominator
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad and \displaystyle \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}.

    Then we have that

    \displaystyle \begin{align*} 
     3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\
 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}

    \end{align*}

    and we see that

    \displaystyle 3^{1/3} > 2^{1/2}
    because \displaystyle 9>8 and the exponent \displaystyle 1/6 is positive.

Übungen


Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

The number raised to the power 0, is always 1, if the number (the base) is not 0.


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references

Learn more about powers in the English Wikipedi

What is the greatest prime number? Read more at The Prime Page


Useful web sites

Here you can practise the laws of exponents

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/1.3_Potenzen“