1.3 Potenzen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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}}
}}
-
== Integer exponents ==
+
== Ganze Exponenten ==
-
We use the multiplication symbol as a short-hand for repeated addition of the same number, for example,
+
Die Multiplikation ist eine Kürzung von wiederholten Additionen, zum Beispiel,
{{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}}
-
+
-
In a similar way we use exponentials as a short-hand for repeated multiplication
+
Analog definiert man die Potenze als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:
-
of the same number:
+
{{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}}
-
The 4 is called the base of the power, and the 5 is its exponent.
+
Der 4:er Wird Basis benannt, und der 5:er wird Exponent benannt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</div>
</div>
-
The last example can be generalised to two useful rules when calculating powers:
+
Das letzte Beispiel kann in zwei sehr nützliche Rechenregeln generalisiert werden:
<div class="regel">
<div class="regel">
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-
== Laws of exponents ==
+
== Rechenregeln für Potenzen ==
-
There are a few more rules coming from the definition of power which are useful when doing calculations.You can see for example that
+
Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man dass
-
{{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm factors }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm factors }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm factors}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}
 +
 
 +
Was in folgende Regel generalisiert werden kann
-
which generally can be expressed as
 
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
There is also a useful simplification rule for division of powers which have the same base.
+
Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis, gilt folgendes
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}}
-
The general rule is
+
Was in folgende Regel generalisiert werden kann
 +
 
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
For the case when the base itself is a power one has another useful rule. We see that
+
Wenn die Basis selber ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm factors}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm factors}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm factors}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm times}\ 2\ {\rm factors}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}}
-
and
+
Und
-
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm factors}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm factors}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm times}\ 3\ {\rm factors}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}}
-
Generally, this can be written
+
Dies kann in folgende Rechenregel generalisiert werden
 +
 
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} </math>}}
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-
If a fraction has the same expression for the exponent both in the numerator and the denominator we can simplify in two ways:
+
Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{as well as}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}</math>}}
-
The only way for the rules of exponents to agree is to make the
+
Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man dass für alle <math>a \ne 0</math>
-
following but natural definition that for all non zero ''a'' one has that
+
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</div>
</div>
-
We can also run into examples where the exponent in the denominator is greater than that in the numerator. We can have, for example,
+
Es kann auch geschehen dass der Exponent im Nenner größer als der Exponent im Zähler ist. Zum Beispiel:
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{and}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{and}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
-
We see that it is necessary to assume that the negative exponent implies that
+
Dies muss bedeuten dass
-
{{Abgesetzte Formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
-
The general definition of negative exponents is to interpret negative exponents
+
Die generelle Definition von negativen Exponenten lautet, für alle <math>a \ne 0</math>
-
of all non zero numbers ''a'' as follows
+
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}}
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</div>
</div>
-
If the base of a power is <math>-1</math> then the expression will simplify to either <math>-1</math> or <math>+1</math> depending on the value of the exponent
+
Falls die Basis einer Potenz <math>-1</math> ist, ist der Ausdruck entweder <math>-1</math> oder <math>+1</math> je nach Exponent.
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}}
-
The rule is that <math>(-1)^n </math> is equal to<math>-1</math>
+
Die generelle Rechenregel ist dass <math>(-1)^n </math> <math>-1</math> ist falls <math>n</math> ungerade ist, und <math>+1</math> falls <math>n</math> gerade ist.
-
if <math>n</math> is odd and equal to <math>+1</math> if <math>n</math> is even .
+
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> as <math>56</math> is an even number </li>
+
<li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> nachdem <math>56</math> gerade ist </li>
-
<li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> because 11 is an odd number </li>
+
<li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> nachdem 11 ungerade ist </li>
<li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}}
<li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}}
= \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}}
= \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}}
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-
==Changing the base ==
+
== Basis wechseln ==
-
A point to observe is that when simplifying expressions try, if possible, to combine powers by choosing the same base. This often involves selecting 2, 3 or 5 as a base and, therefore, it is a good idea to learn to recognize the powers of these numbers, such as
+
Bei vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen sich lernen zu erkennen. Zum Beispiel:
{{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}}
Zeile 223: Zeile 222:
{{Abgesetzte Formel||<math>25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots</math>}}
-
But even
+
Und auch
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots</math>}}
Zeile 231: Zeile 230:
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots</math>}}
-
and so on.
+
Usw.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 237: Zeile 236:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Write <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> as a power with base 2
+
<li> Schreibe <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> Als eine Potenz mit der Basis 2.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
Zeile 243: Zeile 242:
:<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li>
:<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li>
-
<li> Write <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> as a power with base 3.
+
<li> Schreibe <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> Als eine Potenz mit der Basis 3.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
Zeile 249: Zeile 248:
:<math>\qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2</math></li>
:<math>\qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2</math></li>
-
<li> Write <math>\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}</math> in as simple a form as possible.
+
<li> Vereinfache <math>\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}</math> so weit wie möglich.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
Zeile 258: Zeile 257:
-
== Rational exponents ==
+
== Rationale Exponenten ==
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What happens if a number is raised to a rational exponent? Do the definitions and the rules we have used above to do calculations still hold?
+
Was wird passieren wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisherig präsentierten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?
-
For instance, since
+
Nachdem zum Beispiel
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}}
-
so <math> 2^{1/2} </math> must be the same as <math>\sqrt{2}</math> because <math>\sqrt2</math> is defined as the number which satisfies <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math>&nbsp;.
+
Muss <math> 2^{1/2} </math> dasselbe wie <math>\sqrt{2}</math> sein, nachdem <math>\sqrt2</math> definiert wird als die Zahl die <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math> erfüllt.&nbsp;
-
Generally, we define
+
Generell definiert man
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 272: Zeile 271:
</div>
</div>
-
We must assume that <math>a\ge 0</math>, since no real number multiplied by itself can give a negative number.
+
Wir müssen annehmen dass <math>a\ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine Negative Zahl ergibt.
-
We also see that, for example,
+
Wie haben aber zum Beispiel auch
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}}
-
which means that <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> which can be generalised to
+
Was bedeuten muss dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was in folgende Rechenregel generalisiert werden kann
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 283: Zeile 282:
</div>
</div>
-
By combining this definition with one of the previous laws of exponents <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> gives that for all <math>a\ge0</math> it holds that
+
In dem man diese Regel, mit der Regel <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> kombiniert, sieht man dass für alle <math>a\ge0</math> folgendes gilt
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}</math>}}
-
or
+
oder
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} </math>}}
Zeile 312: Zeile 311:
-
==Comparison of powers ==
+
== Potenzen vergleichen ==
-
If we do not have access to calculators and wish to compare the size of powers, one can sometimes achieve this by comparing bases or exponents.
+
Falls man ohne Taschenrechner Potenzen vergleichen möchte, kann man dieses durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.
-
If the base of a power is greater than <math>1</math> then the power is larger the larger the exponent. On the other hand, if the base lies between <math>0</math> and <math>1</math> then the power decreases as the exponent grows.
+
Falls die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Falls die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das umgekehrte. Die Potenz wird kleiner je größer der Exponent wird.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 322: Zeile 321:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> as the base <math>3</math> is greater than <math>1</math> and the first exponent <math>5/6</math> is greater than the second exponent <math>3/4</math>.</li>
+
<li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> nachdem die Basis <math>3</math> größer als <math>1</math> und der erste Exponent <math>5/6</math> größer als der zweite Exponent <math>3/4</math> ist.</li>
-
<li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> as the base is greater than <math>1</math> and the exponents satisfy <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li>
+
<li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> nachdem die Basis größer als <math>1</math> ist, und es für die Exponente gilt dass <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li>
-
<li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math>as the base <math> 0{,}3</math> is between <math>0</math> and <math>1</math> and <math>5 > 4</math>.
+
<li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math> nachdem die Basis <math> 0{,}3</math> zwischen <math>0</math> und <math>1</math> ist, und <math>5 > 4</math>.
</ol>
</ol>
</div>
</div>

Version vom 15:51, 26. Okt. 2008

       Theorie          Übungen      

Content:

  • Positive integer exponent
  • Negative integer exponent
  • Rational exponents
  • Laws of exponents

Learning outcomes:

After this section, you will have learned to:

  • Recognise the concepts of base and exponent.
  • Calculate integer power expressions
  • Use the laws of exponents to simplify expressions containing powers.
  • Know when the laws of exponents are applicable (positive basis).
  • Determine which of two powers is the larger based on a comparison of the base / exponent.

Ganze Exponenten

Die Multiplikation ist eine Kürzung von wiederholten Additionen, zum Beispiel,

\displaystyle 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}

Analog definiert man die Potenze als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:

\displaystyle 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}

Der 4:er Wird Basis benannt, und der 5:er wird Exponent benannt.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125
  2. \displaystyle 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
  3. \displaystyle 0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001
  4. \displaystyle (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16, but \displaystyle -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16
  5. \displaystyle 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, but \displaystyle (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36

Beispiel 2

  1. \displaystyle \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
  2. \displaystyle (2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)
    \displaystyle \phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296

Das letzte Beispiel kann in zwei sehr nützliche Rechenregeln generalisiert werden:

\displaystyle \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{and}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}


Rechenregeln für Potenzen

Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man dass

\displaystyle 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8

Was in folgende Regel generalisiert werden kann

\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}

Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis, gilt folgendes

\displaystyle \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}

Was in folgende Regel generalisiert werden kann

\displaystyle \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}

Wenn die Basis selber ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist

\displaystyle (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}

Und

\displaystyle (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}


Dies kann in folgende Rechenregel generalisiert werden

\displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.}

Beispiel 3

  1. \displaystyle 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
  2. \displaystyle 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
  3. \displaystyle 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
  4. \displaystyle 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8

Beispiel 4

  1. \displaystyle \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
  2. \displaystyle \frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9


Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:

\displaystyle \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}


Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man dass für alle \displaystyle a \ne 0


\displaystyle a^0 = 1\mbox{.}

Es kann auch geschehen dass der Exponent im Nenner größer als der Exponent im Zähler ist. Zum Beispiel:

\displaystyle \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{and}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Dies muss bedeuten dass

\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Die generelle Definition von negativen Exponenten lautet, für alle \displaystyle a \ne 0

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}


Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
  2. \displaystyle 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
  3. \displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}
  4. \displaystyle 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}
  5. \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
  6. \displaystyle \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
  7. \displaystyle 0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}

Falls die Basis einer Potenz \displaystyle -1 ist, ist der Ausdruck entweder \displaystyle -1 oder \displaystyle +1 je nach Exponent.

\displaystyle \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}

Die generelle Rechenregel ist dass \displaystyle (-1)^n \displaystyle -1 ist falls \displaystyle n ungerade ist, und \displaystyle +1 falls \displaystyle n gerade ist.


Beispiel 6

  1. \displaystyle (-1)^{56} = 1\quad nachdem \displaystyle 56 gerade ist
  2. \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad nachdem 11 ungerade ist
  3. \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} \displaystyle \phantom{\frac{(-2)^{127}}{2^{130}}}{} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}


Basis wechseln

Bei vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen sich lernen zu erkennen. Zum Beispiel:

\displaystyle 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots
\displaystyle 9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots
\displaystyle 25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots

Und auch

\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots

Usw.

Beispiel 7

  1. Schreibe \displaystyle \ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ Als eine Potenz mit der Basis 2.

    \displaystyle 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
    \displaystyle \qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9
  2. Schreibe \displaystyle \ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ Als eine Potenz mit der Basis 3.

    \displaystyle \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2
  3. Vereinfache \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} so weit wie möglich.

    \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8


Rationale Exponenten

Was wird passieren wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisherig präsentierten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?

Nachdem zum Beispiel

\displaystyle 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2

Muss \displaystyle 2^{1/2} dasselbe wie \displaystyle \sqrt{2} sein, nachdem \displaystyle \sqrt2 definiert wird als die Zahl die \displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 erfüllt. 

Generell definiert man

\displaystyle a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}

Wir müssen annehmen dass \displaystyle a\ge 0, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine Negative Zahl ergibt.

Wie haben aber zum Beispiel auch

\displaystyle 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5

Was bedeuten muss dass \displaystyle \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, was in folgende Rechenregel generalisiert werden kann

\displaystyle a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}

In dem man diese Regel, mit der Regel \displaystyle ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) kombiniert, sieht man dass für alle \displaystyle a\ge0 folgendes gilt

\displaystyle a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}

oder

\displaystyle a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad as \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 =27
  2. \displaystyle 1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}
  3. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
  4. \displaystyle \frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}


Potenzen vergleichen

Falls man ohne Taschenrechner Potenzen vergleichen möchte, kann man dieses durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.

Falls die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Falls die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das umgekehrte. Die Potenz wird kleiner je größer der Exponent wird.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad nachdem die Basis \displaystyle 3 größer als \displaystyle 1 und der erste Exponent \displaystyle 5/6 größer als der zweite Exponent \displaystyle 3/4 ist.
  2. \displaystyle \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad nachdem die Basis größer als \displaystyle 1 ist, und es für die Exponente gilt dass \displaystyle -3/4 > - 5/6.
  3. \displaystyle \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad nachdem die Basis \displaystyle 0{,}3 zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 1 ist, und \displaystyle 5 > 4.

If a power has a positive exponent, it will get larger the larger the base becomes. The opposite applies if the exponent is negative: that is, the power decreases as the base gets larger.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad as the base \displaystyle 5 is larger than the base \displaystyle 4 and both powers have the same positive exponent \displaystyle 3/2.
  2. \displaystyle \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad as the bases satisfy \displaystyle 2<3 and the powers have a negative exponent \displaystyle -5/3.

Sometimes powers must be rewritten in order to determine the relative sizes. For example to compare \displaystyle 125^2 with \displaystyle 36^3one can rewrite them as

\displaystyle

125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{and}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6

after which one can see that \displaystyle 36^3 > 125^2.

Beispiel 11

Determine which of the following pairs of numbers is the greater

  1. \displaystyle 25^{1/3}   and  \displaystyle 5^{3/4} .

    The base 25 can be rewritten in terms of the second base \displaystyle 5 by putting \displaystyle 25= 5\cdot 5= 5^2. Therefore
    \displaystyle 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}

    and then we see that

    \displaystyle 5^{3/4} > 25^{1/3}
    since \displaystyle \frac{3}{4} > \frac{2}{3} and the base \displaystyle 5 is larger than \displaystyle 1.
  2. \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5   and \displaystyle 128.

    Both \displaystyle 8 and \displaystyle 128 can be written as powers of \displaystyle 2
    \displaystyle \eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}

    This means that

    \displaystyle \begin{align*} 
     (\sqrt{8}\,)^5  &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}
                  = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
 128 &= 2^7 = 2^{14/2}
 \end{align*}

    and thus

    \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 > 128
    because \displaystyle \frac{15}{2} > \frac{14}{2} and the base \displaystyle 2 is greater than \displaystyle 1.
  3. \displaystyle (8^2)^{1/5} and \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5}.

    Since \displaystyle 8=2^3 and \displaystyle 27=3^3 a first step can be to simplify and write the numbers as powers of \displaystyle 2 and \displaystyle 3 respectively,
    \displaystyle \begin{align*} 
     (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}}
              = 2^{6/5}\mbox{,}\\
 (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5}
              = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5}
              = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}
              = 3^{6/5}\mbox{.}

    \end{align*}

    Now we see that

    \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5}

    because \displaystyle 3>2 and exponent \displaystyle \frac{6}{5} is positive.

  4. \displaystyle 3^{1/3}   and  \displaystyle 2^{1/2}

    We rewrite the exponents so they have a common denominator
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad and \displaystyle \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}.

    Then we have that

    \displaystyle \begin{align*} 
     3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\
 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}

    \end{align*}

    and we see that

    \displaystyle 3^{1/3} > 2^{1/2}
    because \displaystyle 9>8 and the exponent \displaystyle 1/6 is positive.

Übungen


Study advice

Basic and final tests

After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.


Keep in mind that:

The number raised to the power 0, is always 1, if the number (the base) is not 0.


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references

Learn more about powers in the English Wikipedi

What is the greatest prime number? Read more at The Prime Page


Useful web sites

Here you can practise the laws of exponents

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/1.3_Potenzen“