Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	Also gilt	+	Also haben wir <math>{1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}\;}\;</math>
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-	<math>{1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}\;}\;</math> .	+
	Nachdem es relativ unständig ist		Nachdem es relativ unständig ist

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Version vom 13:19, 18. Okt. 2008

Von den vorigen Übungen haben wir folgendes

\displaystyle \begin{align} & \frac{1}{2}=0.5 \\ & \\ & \frac{2}{3}=2\centerdot \frac{1}{3}=0.666... \\ & \\ & \frac{3}{5}=3\centerdot \frac{1}{5}=3\centerdot 0.2=0.6 \\ \end{align}

\displaystyle

Also haben wir \displaystyle {1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}\;}\;

Nachdem es relativ unständig ist \displaystyle {5}/{8}\; and \displaystyle {21}/{34}\; als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Quoten mit gemeinsamen Nenner und vergleichen \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; Wir beginnen damit \displaystyle {5}/{8}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; zu vergleichen.

• Dies ergibt

\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8} and thus \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{5}{8} .

• und

\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40} and \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 5}{8\centerdot 5}=\frac{25}{40} , which gives that \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{8}.

• und schließlich

\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24} and \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 3}{8\centerdot 3}=\frac{15}{24}, and this gives that \displaystyle \frac{5}{8}<\frac{2}{3}.

Also haben wir \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.

Jetzt vergleichen wir \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\;, dies ergibt

• \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}, also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{21}{34}

• \displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}, also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{21}{34}.

• \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}, also

\displaystyle \frac{21}{34}<\frac{5}{8}.

Zusammen bekommen wir schließlich \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.