Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	It is quite easy to see that	+	Von den vorigen Übungen haben wir folgendes
-		+
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
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-	which means that	+	Also gilt
	<math>{1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}\;}\;</math> .		<math>{1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}\;}\;</math> .
-	Because it is more difficult to evaluate the decimal expansion of	+	Nachdem es relativ unständig ist
	<math>{5}/{8}\;</math>		<math>{5}/{8}\;</math>
	and		and
-	<math>{21}/{34}\;</math>, we compare instead	+	<math>{21}/{34}\;</math> als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Quoten mit gemeinsamen Nenner und vergleichen.
	<math>{5}/{8}\;</math>		<math>{5}/{8}\;</math>
-	and	+	und
	<math>{21}/{34}\;</math>		<math>{21}/{34}\;</math>
-	with	+	mit
-	<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math> and	+	<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math> und
	<math>{2}/{3}\;</math>		<math>{2}/{3}\;</math>
-	by rewriting the fractions so that they have a common denominator. We start by comparing	+	Wir beginnen damit
	<math>{5}/{8}\;</math>		<math>{5}/{8}\;</math>
-	with	+	mit
	<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math>		<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math>
-	and	+	und
	<math>{2}/{3}\;</math>		<math>{2}/{3}\;</math>
		+	zu vergleichen.
-	* We have	+	* Dies ergibt
	<math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8}</math>		<math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8}</math>
	and thus		and thus
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	.		.
-	* Then, we have	+	* und
	<math>\frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40}</math>		<math>\frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40}</math>
	and		and
Zeile 49:		Zeile 49:
	<math>\frac{3}{5}<\frac{5}{8}</math>.		<math>\frac{3}{5}<\frac{5}{8}</math>.
-	* Finally,	+	* und schließlich
	<math>\frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24}</math>		<math>\frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24}</math>
	and		and
Zeile 55:		Zeile 55:
	<math>\frac{5}{8}<\frac{2}{3}</math>.		<math>\frac{5}{8}<\frac{2}{3}</math>.
-	Thus,	+	Also haben wir
	<math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>.		<math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>.
-	When we compare	+	Jetzt vergleichen wir
	<math>{21}/{34}\;</math>		<math>{21}/{34}\;</math>
-	with	+	mit
	<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math>		<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math>
-	and	+	und
-	<math>{2}/{3}\;</math>, we obtain:	+	<math>{2}/{3}\;</math>, dies ergibt
-	* because	+	* <math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}</math>, so
-	<math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}</math>, so	+
	<math>\frac{1}{2}<\frac{21}{34}</math>		<math>\frac{1}{2}<\frac{21}{34}</math>
-		+	* <math>\frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170}</math>
-	* furthermore,	+
-	<math>\frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170}</math>	+
	and		and
	<math>\frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}</math>, i.e.		<math>\frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}</math>, i.e.
	<math>\frac{3}{5}<\frac{21}{34}</math>.		<math>\frac{3}{5}<\frac{21}{34}</math>.
-	* we have	+	* <math>\frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136}</math>
-	<math>\frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136}</math>	+
	and		and
	<math>\frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}</math>, which gives that		<math>\frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}</math>, which gives that
	<math>\frac{21}{34}<\frac{5}{8}</math>.		<math>\frac{21}{34}<\frac{5}{8}</math>.
-	The answer is	+	Zusammen bekommen wir dass
	<math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>.		<math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>.

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Version vom 13:09, 18. Okt. 2008

Von den vorigen Übungen haben wir folgendes

\displaystyle \begin{align} & \frac{1}{2}=0.5 \\ & \\ & \frac{2}{3}=2\centerdot \frac{1}{3}=0.666... \\ & \\ & \frac{3}{5}=3\centerdot \frac{1}{5}=3\centerdot 0.2=0.6 \\ \end{align}

\displaystyle

Also gilt

\displaystyle {1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}\;}\; .

Nachdem es relativ unständig ist \displaystyle {5}/{8}\; and \displaystyle {21}/{34}\; als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Quoten mit gemeinsamen Nenner und vergleichen. \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; Wir beginnen damit \displaystyle {5}/{8}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; zu vergleichen.

• Dies ergibt

\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8} and thus \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{5}{8} .

• und

\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40} and \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 5}{8\centerdot 5}=\frac{25}{40} , which gives that \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{8}.

• und schließlich

\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24} and \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 3}{8\centerdot 3}=\frac{15}{24}, and this gives that \displaystyle \frac{5}{8}<\frac{2}{3}.

Also haben wir \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.

Jetzt vergleichen wir \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\;, dies ergibt

• \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}, so

\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{21}{34}

• \displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170}

and \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}, i.e. \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{21}{34}.

• \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136}

and \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}, which gives that \displaystyle \frac{21}{34}<\frac{5}{8}.

Zusammen bekommen wir dass \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.