1.3 Potenzen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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'''Lernziele:''' | '''Lernziele:''' | ||
| - | Nach diesem Abschnitt sollst Du | + | Nach diesem Abschnitt sollst Du ... |
| - | * | + | * ... die Begriffe Basis und Exponent verstehen. |
| - | * Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen. | + | * ... Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen können. |
| - | * | + | * ... die Rechenregeln für Exponenten beherrschen. |
| - | * | + | * ... wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen). |
| - | * Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis). | + | * ... Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis). |
}} | }} | ||
| - | == Ganze Exponenten == | ||
| - | Die Multiplikation ist eine | + | Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge). |
| + | |||
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| + | == A - Ganze Exponenten == | ||
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| + | Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise das wiederholte Addieren, zum Beispiel, | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}} | ||
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<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}</math>}} | ||
| + | für <math> a,b \in \Bbb{R} \setminus \{0\} </math> und <math> m \in \, \Bbb{N}</math>. | ||
</div> | </div> | ||
| - | + | == B - Rechenregeln für Potenzen == | |
| - | == Rechenregeln für Potenzen == | + | |
Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass | Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}} | ||
| - | Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann | + | Was durch folgende Regel für <math> a \in \Bbb{R} </math>und <math> m,n \in \Bbb{N}</math> verallgemeinert werden kann |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann | + | Was durch folgende Regel für <math> a \in \Bbb{R}</math> und <math> m,n \in \Bbb{N}</math> verallgemeinert werden kann |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
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| - | Dies kann durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden | + | Dies kann durch folgende Rechenregel für <math> a \in \Bbb{R} </math> und <math> m,n \in \Bbb{N} </math> verallgemeinert werden |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
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<li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} | <li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} | ||
= (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li> | = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li> | ||
| - | <li><math>0 | + | <li><math>0,01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li> |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> | + | <li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> weil <math>56</math> gerade ist </li> |
| - | <li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> | + | <li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> weil 11 ungerade ist </li> |
<li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} | <li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} | ||
= \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} | = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} | ||
| - | = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} | + | = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} |
| - | + | = - 2^{127-130} = -2^{-3} | |
= - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}</math></li> | = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}</math></li> | ||
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| - | + | == C - Basis wechseln == | |
| - | == Basis wechseln == | + | |
Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel: | Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel: | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li> Schreibe <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> | + | <li> Schreibe <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> als eine Potenz mit der Basis 2. |
<br/> | <br/> | ||
<br/> | <br/> | ||
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:<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li> | :<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li> | ||
| - | <li> Schreibe <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> | + | <li> Schreibe <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> als eine Potenz mit der Basis 3. |
<br/> | <br/> | ||
<br/> | <br/> | ||
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| - | == Rationale Exponenten == | + | == D - Rationale Exponenten == |
Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein? | Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein? | ||
| - | + | Da zum Beispiel | |
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}} | ||
| - | muss <math> 2^{1/2} </math> dasselbe wie <math>\sqrt{2}</math> sein, | + | muss <math> 2^{1/2} </math> dasselbe wie <math> \sqrt{2} </math> sein, weil <math> \sqrt2 </math> definiert wird als die Zahl die <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math> erfüllt. |
Generell definiert man | Generell definiert man | ||
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</div> | </div> | ||
| - | Wir müssen annehmen, dass <math>a\ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. | + | Wir müssen annehmen, dass <math>a \ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. |
Wie haben aber zum Beispiel auch | Wie haben aber zum Beispiel auch | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}} | ||
| - | Was bedeuten muss, dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden kann | + | Was bedeuten muss, dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was durch folgende Rechenregel für <math> a \ge 0 </math> und <math> n \in </math> '''N''' verallgemeinert werden kann |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
| Zeile 297: | Zeile 300: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
<li><math>27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} | <li><math>27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} | ||
| - | = 3\quad</math> da <math>3 \cdot 3 \cdot 3 =27</math></li> | + | = 3\quad</math> ,da <math>3 \cdot 3 \cdot 3 =27</math></li> |
<li><math>1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} | <li><math>1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} | ||
= \frac{1}{(10^3)^{1/3}} | = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} | ||
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</div> | </div> | ||
| - | + | == E - Potenzen vergleichen == | |
| - | == Potenzen vergleichen == | + | |
Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen. | Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen. | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> | + | <li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> weil die Basis <math>3</math> größer als <math>1</math> und der erste Exponent <math>5/6</math> größer als der zweite Exponent <math>3/4</math> ist.</li> |
| - | <li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> | + | <li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> weil die Basis größer als <math>1</math> ist und für die Exponenten gilt, dass <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li> |
<li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math> da die Basis <math> 0{,}3</math> zwischen <math>0</math> und <math>1</math> ist, und <math>5 > 4</math>. | <li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math> da die Basis <math> 0{,}3</math> zwischen <math>0</math> und <math>1</math> ist, und <math>5 > 4</math>. | ||
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| - | Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das | + | Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das Umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Zeile 333: | Zeile 335: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> | + | <li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> weil die Basis <math>5</math> größer als die Basis <math>4</math> ist und beide Potenzen denselben positiven Exponenten <math>3/2</math> haben.</li> |
| - | <li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> | + | <li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> weil für die Basen gilt, dass <math>2<3</math>, und die Potenzen den negativen Exponenten <math>-5/3</math> haben.</li> |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| Zeile 348: | Zeile 350: | ||
''' Beispiel 11''' | ''' Beispiel 11''' | ||
| - | Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die | + | Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größere ist. |
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| Zeile 362: | Zeile 364: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}} | ||
| - | + | weil <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> und die Basis <math>5</math> größer als <math>1</math> ist.</li> | |
<li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math> und <math>128</math>. | <li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math> und <math>128</math>. | ||
| Zeile 371: | Zeile 373: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}</math>}} | ||
| - | Dies bedeutet dass | + | Dies bedeutet, dass |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | ||
| - | + | (\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} | |
| - | + | = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\ | |
| - | + | 128 &= 2^7 = 2^{14/2} | |
| - | + | \end{align*}</math>}} | |
Daher ist | Daher ist | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}} | ||
| - | + | weil <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> und die Basis <math>2</math> größer als <math>1</math> ist.</li> | |
<li><math> (8^2)^{1/5} </math> und <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>. | <li><math> (8^2)^{1/5} </math> und <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>. | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
| - | + | Wegen <math>8=2^3</math> und <math>27=3^3</math>, können die Basen als Exponenten von <math>2</math> bzw. <math>3</math> geschrieben werden. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | ||
| - | + | (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} | |
| - | + | = 2^{6/5}\mbox{,}\\ | |
| - | + | (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5} | |
| - | + | = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} | |
| - | + | = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} | |
| - | + | = 3^{6/5}\mbox{.} | |
\end{align*}</math>}} | \end{align*}</math>}} | ||
| Zeile 403: | Zeile 405: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}} | ||
| - | + | weil <math> 3>2</math> und der Exponent <math>\frac{6}{5}</math> positiv ist. | |
<li><math> 3^{1/3} </math> und <math> 2^{1/2}</math> | <li><math> 3^{1/3} </math> und <math> 2^{1/2}</math> | ||
| Zeile 415: | Zeile 417: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | ||
| - | + | 3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\ | |
| - | + | 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6} | |
\end{align*}</math>}} | \end{align*}</math>}} | ||
| Zeile 423: | Zeile 425: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}} | ||
| - | + | weil <math> 9>8</math> und der Exponent <math>1/6</math> positiv ist.</li> | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| - | [[1.3 Übungen|Übungen]] | + | |
| + | Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype> | ||
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| + | Keine Fragen mehr? Dann mach weiter mit den '''[[1.3 Übungen|Übungen]]'''. | ||
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' | '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' | ||
| - | Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". | + | Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". |
| Zeile 444: | Zeile 449: | ||
'''Literaturhinweise''' | '''Literaturhinweise''' | ||
| - | Für die, die tiefer in die Materie | + | Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links ang |
eführt: | eführt: | ||
Aktuelle Version
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Positive ganze Exponenten
- Negative ganze Exponenten
- Rationale Exponenten
- Die Rechenregeln für Exponenten
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollst Du ...
- ... die Begriffe Basis und Exponent verstehen.
- ... Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen können.
- ... die Rechenregeln für Exponenten beherrschen.
- ... wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen).
- ... Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis).
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
A - Ganze Exponenten
Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise das wiederholte Addieren, zum Beispiel,
| \displaystyle 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.} |
Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:
| \displaystyle 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.} |
Die Zahl 4 wird als Basis bezeichnet, und die 5 wird als Exponent bezeichnet.
Beispiel 1
- \displaystyle 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125
- \displaystyle 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
- \displaystyle 0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001
- \displaystyle (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16, aber \displaystyle -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16
- \displaystyle 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, aber \displaystyle (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36
Beispiel 2
- \displaystyle \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
- \displaystyle (2\cdot 3)^4
= (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)
\displaystyle \phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296
Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden:
| \displaystyle \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.} |
für \displaystyle a,b \in \Bbb{R} \setminus \{0\} und \displaystyle m \in \, \Bbb{N}.
B - Rechenregeln für Potenzen
Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass
| \displaystyle 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8 |
Was durch folgende Regel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden kann
| \displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.} |
Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis gilt folgendes
| \displaystyle \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.} |
Was durch folgende Regel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden kann
| \displaystyle \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.} |
Wenn die Basis selbst ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist
| \displaystyle (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{} |
und
| \displaystyle (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.} |
Dies kann durch folgende Rechenregel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden
| \displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} |
Beispiel 3
- \displaystyle 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
- \displaystyle 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
- \displaystyle 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
- \displaystyle 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8
Beispiel 4
- \displaystyle \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
- \displaystyle \frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9
Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:
| \displaystyle \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.} |
Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle \displaystyle a \ne 0
| \displaystyle a^0 = 1\mbox{.} |
Es kann auch vorkommen, dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel:
| \displaystyle \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} |
Dies muss bedeuten dass
| \displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} |
Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle \displaystyle a \ne 0
| \displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.} |
Beispiel 5
- \displaystyle \frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
- \displaystyle 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
- \displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}
- \displaystyle 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}
- \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
- \displaystyle \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
- \displaystyle 0,01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
Wenn die Basis einer Potenz \displaystyle -1 ist, ist der Ausdruck entweder \displaystyle -1 oder \displaystyle +1 je nach Exponent.
| \displaystyle \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}} |
Die allgemeine Rechenregel ist, dass \displaystyle (-1)^n gleich \displaystyle -1 ist, wenn \displaystyle n ungerade ist, und \displaystyle +1, wenn \displaystyle n gerade ist.
Beispiel 6
- \displaystyle (-1)^{56} = 1\quad weil \displaystyle 56 gerade ist
- \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad weil 11 ungerade ist
- \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}
C - Basis wechseln
Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel:
| \displaystyle 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots |
| \displaystyle 9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots |
| \displaystyle 25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots |
Und auch
| \displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots |
| \displaystyle \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots |
| \displaystyle \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots |
Usw.
Beispiel 7
- Schreibe \displaystyle \ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ als eine Potenz mit der Basis 2.
- \displaystyle 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
- \displaystyle \qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9
- Schreibe \displaystyle \ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ als eine Potenz mit der Basis 3.
- \displaystyle \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}
- \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2
- Vereinfache \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} so weit wie möglich.
- \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}
- \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8
D - Rationale Exponenten
Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?
Da zum Beispiel
| \displaystyle 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2 |
muss \displaystyle 2^{1/2} dasselbe wie \displaystyle \sqrt{2} sein, weil \displaystyle \sqrt2 definiert wird als die Zahl die \displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 erfüllt.
Generell definiert man
| \displaystyle a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.} |
Wir müssen annehmen, dass \displaystyle a \ge 0, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
Wie haben aber zum Beispiel auch
| \displaystyle 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5 |
Was bedeuten muss, dass \displaystyle \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, was durch folgende Rechenregel für \displaystyle a \ge 0 und \displaystyle n \in N verallgemeinert werden kann
| \displaystyle a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.} |
Indem man diese Regel mit der Regel \displaystyle ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) kombiniert, sieht man, dass für alle \displaystyle a\ge0 folgendes gilt
| \displaystyle a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m} |
oder
| \displaystyle a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} |
Beispiel 8
- \displaystyle 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad ,da \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 =27
- \displaystyle 1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}
- \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
- \displaystyle \frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}
E - Potenzen vergleichen
Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.
Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner, je größer der Exponent wird.
Beispiel 9
- \displaystyle \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad weil die Basis \displaystyle 3 größer als \displaystyle 1 und der erste Exponent \displaystyle 5/6 größer als der zweite Exponent \displaystyle 3/4 ist.
- \displaystyle \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad weil die Basis größer als \displaystyle 1 ist und für die Exponenten gilt, dass \displaystyle -3/4 > - 5/6.
- \displaystyle \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad da die Basis \displaystyle 0{,}3 zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 1 ist, und \displaystyle 5 > 4.
Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das Umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz.
Beispiel 10
- \displaystyle \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad weil die Basis \displaystyle 5 größer als die Basis \displaystyle 4 ist und beide Potenzen denselben positiven Exponenten \displaystyle 3/2 haben.
- \displaystyle \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad weil für die Basen gilt, dass \displaystyle 2<3, und die Potenzen den negativen Exponenten \displaystyle -5/3 haben.
In manchen Fällen muss man die Potenzen zuerst umschreiben, bevor man sie vergleichen kann. Um zum Beispiel \displaystyle 125^2 mit \displaystyle 36^3 zu vergleichen, kann man die Potenzen umschreiben:
| \displaystyle
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{und}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 |
womit man sieht, dass \displaystyle 36^3 > 125^2.
Beispiel 11
Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größere ist.
- \displaystyle 25^{1/3} und \displaystyle 5^{3/4} .
Die Basis 25 kann durch Umschreiben zur Basis 5 geschrieben werden: \displaystyle 25= 5\cdot 5= 5^2. Deshalb ist\displaystyle 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3} Daher ist
weil \displaystyle \frac{3}{4} > \frac{2}{3} und die Basis \displaystyle 5 größer als \displaystyle 1 ist.\displaystyle 5^{3/4} > 25^{1/3} - \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 und \displaystyle 128.
\displaystyle 8 und \displaystyle 128 können beide mit der Basis \displaystyle 2 geschrieben werden\displaystyle \eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}} Dies bedeutet, dass
\displaystyle \begin{align*} (\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\ 128 &= 2^7 = 2^{14/2} \end{align*}
Daher ist
weil \displaystyle \frac{15}{2} > \frac{14}{2} und die Basis \displaystyle 2 größer als \displaystyle 1 ist.\displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 > 128 - \displaystyle (8^2)^{1/5} und \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5}.
Wegen \displaystyle 8=2^3 und \displaystyle 27=3^3, können die Basen als Exponenten von \displaystyle 2 bzw. \displaystyle 3 geschrieben werden.\displaystyle \begin{align*} (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}\\ (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.} \end{align*}
Jetzt sieht man, dass
\displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} weil \displaystyle 3>2 und der Exponent \displaystyle \frac{6}{5} positiv ist.
- \displaystyle 3^{1/3} und \displaystyle 2^{1/2}
Wir schreiben die Exponenten mit gemeinsamen Nennern\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad und \displaystyle \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}. Dies ergibt
\displaystyle \begin{align*} 3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\ 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6} \end{align*}
Daher ist
weil \displaystyle 9>8 und der Exponent \displaystyle 1/6 positiv ist.\displaystyle 3^{1/3} > 2^{1/2}
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor 
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Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
Bedenke folgendes:
Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist.
Literaturhinweise
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links ang eführt:
Mehr über Potenzen in der Wikipedia
Welche ist die größte Primzahl? Lies Mehr auf der Primzahlseite (engl.)
Nützliche Websites
