1.3 Potenzen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Vald flik|[[1.3 Powers|Theory]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[1.3 Potenzen|Theorie]]}}
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{{Not selected tab|[[1.3 Exercises|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[1.3 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Content: '''
+
'''Inhalt: '''
-
* Positive integer exponent
+
* Positive ganze Exponenten
-
* Negative integer exponent
+
* Negative ganze Exponenten
-
* Rational exponents
+
* Rationale Exponenten
-
* Laws of exponents
+
* Die Rechenregeln für Exponenten
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned to:
+
Nach diesem Abschnitt sollst Du ...
-
* Recognise the concepts of base and exponent.
+
* ... die Begriffe Basis und Exponent verstehen.
-
*Calculate integer power expressions
+
* ... Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen können.
-
*Use the laws of exponents to simplify expressions containing powers.
+
* ... die Rechenregeln für Exponenten beherrschen.
-
* Know when the laws of exponents are applicable (positive basis).
+
* ... wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen).
-
*Determine which of two powers is the larger based on a comparison of the base / exponent.
+
* ... Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis).
}}
}}
-
== Integer exponents ==
 
-
We use the multiplication symbol as a short-hand for repeated addition of the same number, for example,
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
{{Fristående formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}}
 
-
 
-
In a similar way we use exponentials as a short-hand for repeated multiplication
 
-
of the same number:
 
-
{{Fristående formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}}
+
== A - Ganze Exponenten ==
-
The 4 is called the base of the power, and the 5 is its exponent.
+
Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise das wiederholte Addieren, zum Beispiel,
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}}
 +
 
 +
Die Zahl 4 wird als Basis bezeichnet, und die 5 wird als Exponent bezeichnet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 1 '''
+
'''Beispiel 1 '''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 51: Zeile 54:
= 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001</math></li>
= 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001</math></li>
<li><math>(-2)^4
<li><math>(-2)^4
-
= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16</math>, but <math> -2^4
+
= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16</math>, aber <math> -2^4
= -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16</math></li>
= -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16</math></li>
-
<li><math> 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18</math>, but <math>
+
<li><math> 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18</math>, aber <math>
(2\cdot3)^2 = 6^2 = 36</math></li>
(2\cdot3)^2 = 6^2 = 36</math></li>
</ol>
</ol>
Zeile 59: Zeile 62:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 2'''
+
'''Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 76: Zeile 79:
</div>
</div>
-
The last example can be generalised to two useful rules when calculating powers:
+
Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{and}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}</math>}}
 +
für <math> a,b \in \Bbb{R} \setminus \{0\} </math> und <math> m \in \, \Bbb{N}</math>.
</div>
</div>
 +
== B - Rechenregeln für Potenzen ==
-
== Laws of exponents ==
+
Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass
-
There are a few more rules coming from the definition of power which are useful when doing calculations.You can see for example that
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm factors }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm factors }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm factors}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}
+
Was durch folgende Regel für <math> a \in \Bbb{R} </math>und <math> m,n \in \Bbb{N}</math> verallgemeinert werden kann
-
which generally can be expressed as
 
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
There is also a useful simplification rule for division of powers which have the same base.
+
Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis gilt folgendes
-
{{Fristående formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}}
 +
 
 +
Was durch folgende Regel für <math> a \in \Bbb{R}</math> und <math> m,n \in \Bbb{N}</math> verallgemeinert werden kann
-
The general rule is
 
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
For the case when the base itself is a power one has another useful rule. We see that
+
Wenn die Basis selbst ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm factors}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm factors}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm factors}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm times}\ 2\ {\rm factors}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}}
+
und
-
and
+
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm factors}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm factors}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm times}\ 3\ {\rm factors}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}}
 
 +
Dies kann durch folgende Rechenregel für <math> a \in \Bbb{R} </math> und <math> m,n \in \Bbb{N} </math> verallgemeinert werden
-
Generally, this can be written
 
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} </math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 132: Zeile 138:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 4'''
+
'''Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 143: Zeile 149:
-
If a fraction has the same expression for the exponent both in the numerator and the denominator we can simplify in two ways:
+
Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:
-
{{Fristående formel||<math>\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{as well as}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}</math>}}
-
The only way for the rules of exponents to agree is to make the
+
Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle <math>a \ne 0</math>
-
following but natural definition that for all non zero ''a'' one has that
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math> a^0 = 1\mbox{.} </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> a^0 = 1\mbox{.} </math>}}
</div>
</div>
-
We can also run into examples where the exponent in the denominator is greater than that in the numerator. We can have, for example,
+
Es kann auch vorkommen, dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel:
-
{{Fristående formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{and}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
-
We see that it is necessary to assume that the negative exponent implies that
+
Dies muss bedeuten dass
-
{{Fristående formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
-
The general definition of negative exponents is to interpret negative exponents
+
Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle <math>a \ne 0</math>
-
of all non zero numbers ''a'' as follows
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 186: Zeile 190:
<li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3}
<li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3}
= (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li>
= (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li>
-
<li><math>0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li>
+
<li><math>0,01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
If the base of a power is <math>-1</math> then the expression will simplify to either <math>-1</math> or <math>+1</math> depending on the value of the exponent
+
Wenn die Basis einer Potenz <math>-1</math> ist, ist der Ausdruck entweder <math>-1</math> oder <math>+1</math> je nach Exponent.
-
{{Fristående formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}}
-
The rule is that <math>(-1)^n </math> is equal to<math>-1</math>
+
Die allgemeine Rechenregel ist, dass <math>(-1)^n </math> gleich <math>-1</math> ist, wenn <math>n</math> ungerade ist, und <math>+1</math>, wenn <math>n</math> gerade ist.
-
if <math>n</math> is odd and equal to <math>+1</math> if <math>n</math> is even .
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> as <math>56</math> is an even number </li>
+
<li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> weil <math>56</math> gerade ist </li>
-
<li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> because 11 is an odd number </li>
+
<li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> weil 11 ungerade ist </li>
<li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}}
<li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}}
= \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}}
= \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}}
-
= \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}}</math>
+
= \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}}
-
<math>\phantom{\frac{(-2)^{127}}{2^{130}}}{} = - 2^{127-130} = -2^{-3}
+
= - 2^{127-130} = -2^{-3}
= - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}</math></li>
= - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}</math></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
== C - Basis wechseln ==
-
==Changing the base ==
+
Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel:
-
A point to observe is that when simplifying expressions try, if possible, to combine powers by choosing the same base. This often involves selecting 2, 3 or 5 as a base and, therefore, it is a good idea to learn to recognize the powers of these numbers, such as
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots</math>}}
+
Und auch
-
But even
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots</math>}}
+
Usw.
-
 
+
-
and so on.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Write <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> as a power with base 2
+
<li> Schreibe <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> als eine Potenz mit der Basis 2.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
Zeile 243: Zeile 245:
:<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li>
:<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li>
-
<li> Write <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> as a power with base 3.
+
<li> Schreibe <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> als eine Potenz mit der Basis 3.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
Zeile 249: Zeile 251:
:<math>\qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2</math></li>
:<math>\qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2</math></li>
-
<li> Write <math>\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}</math> in as simple a form as possible.
+
<li> Vereinfache <math>\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}</math> so weit wie möglich.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
Zeile 258: Zeile 260:
-
== Rational exponents ==
+
== D - Rationale Exponenten ==
-
What happens if a number is raised to a rational exponent? Do the definitions and the rules we have used above to do calculations still hold?
+
Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?
-
For instance, since
+
Da zum Beispiel
-
{{Fristående formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}}
-
so <math> 2^{1/2} </math> must be the same as <math>\sqrt{2}</math> because <math>\sqrt2</math> is defined as the number which satisfies <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math>&nbsp;.
+
muss <math> 2^{1/2} </math> dasselbe wie <math> \sqrt{2} </math> sein, weil <math> \sqrt2 </math> definiert wird als die Zahl die <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math> erfüllt.&nbsp;
-
Generally, we define
+
Generell definiert man
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
We must assume that <math>a\ge 0</math>, since no real number multiplied by itself can give a negative number.
+
Wir müssen annehmen, dass <math>a \ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
-
We also see that, for example,
+
Wie haben aber zum Beispiel auch
-
{{Fristående formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}}
-
which means that <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> which can be generalised to
+
Was bedeuten muss, dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was durch folgende Rechenregel für <math> a \ge 0 </math> und <math> n \in </math> '''N''' verallgemeinert werden kann
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
By combining this definition with one of the previous laws of exponents <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> gives that for all <math>a\ge0</math> it holds that
+
Indem man diese Regel mit der Regel <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> kombiniert, sieht man, dass für alle <math>a\ge0</math> folgendes gilt
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}</math>}}
-
or
+
oder
-
{{Fristående formel||<math>a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} </math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 8'''
+
''' Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27}
<li><math>27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27}
-
= 3\quad</math> as <math>3 \cdot 3 \cdot 3 =27</math></li>
+
= 3\quad</math> ,da <math>3 \cdot 3 \cdot 3 =27</math></li>
<li><math>1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}}
<li><math>1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}}
= \frac{1}{(10^3)^{1/3}}
= \frac{1}{(10^3)^{1/3}}
Zeile 311: Zeile 313:
</div>
</div>
 +
== E - Potenzen vergleichen ==
-
==Comparison of powers ==
+
Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.
-
If we do not have access to calculators and wish to compare the size of powers, one can sometimes achieve this by comparing bases or exponents.
+
Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner, je größer der Exponent wird.
-
 
+
-
If the base of a power is greater than <math>1</math> then the power is larger the larger the exponent. On the other hand, if the base lies between <math>0</math> and <math>1</math> then the power decreases as the exponent grows.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> as the base <math>3</math> is greater than <math>1</math> and the first exponent <math>5/6</math> is greater than the second exponent <math>3/4</math>.</li>
+
<li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> weil die Basis <math>3</math> größer als <math>1</math> und der erste Exponent <math>5/6</math> größer als der zweite Exponent <math>3/4</math> ist.</li>
-
<li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> as the base is greater than <math>1</math> and the exponents satisfy <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li>
+
<li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> weil die Basis größer als <math>1</math> ist und für die Exponenten gilt, dass <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li>
-
<li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math>as the base <math> 0{,}3</math> is between <math>0</math> and <math>1</math> and <math>5 > 4</math>.
+
<li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math> da die Basis <math> 0{,}3</math> zwischen <math>0</math> und <math>1</math> ist, und <math>5 > 4</math>.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
If a power has a positive exponent, it will get larger the larger the base becomes. The opposite applies if the exponent is negative: that is, the power decreases as the base gets larger.
+
Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das Umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> as the base <math>5</math> is larger than the base <math>4</math> and both powers have the same positive exponent <math>3/2</math>.</li>
+
<li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> weil die Basis <math>5</math> größer als die Basis <math>4</math> ist und beide Potenzen denselben positiven Exponenten <math>3/2</math> haben.</li>
-
<li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> as the bases satisfy <math>2<3</math> and the powers have a negative exponent <math>-5/3</math>.</li>
+
<li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> weil für die Basen gilt, dass <math>2<3</math>, und die Potenzen den negativen Exponenten <math>-5/3</math> haben.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Sometimes powers must be rewritten in order to determine the relative sizes. For example to compare <math>125^2</math> with <math>36^3</math>one can rewrite them as
+
In manchen Fällen muss man die Potenzen zuerst umschreiben, bevor man sie vergleichen kann. Um zum Beispiel <math>125^2</math> mit <math>36^3</math> zu vergleichen, kann man die Potenzen umschreiben:
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{and}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
+
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{und}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
</math>}}
</math>}}
-
after which one can see that <math>36^3 > 125^2</math>.
+
womit man sieht, dass <math>36^3 > 125^2</math>.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 11'''
+
''' Beispiel 11'''
-
Determine which of the following pairs of numbers is the greater
+
Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größere ist.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math> 25^{1/3} </math>&nbsp; and &nbsp;<math> 5^{3/4} </math>.
+
<li><math> 25^{1/3} </math>&nbsp; und &nbsp;<math> 5^{3/4} </math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The base 25 can be rewritten in terms of the second base <math>5</math> by putting <math>25= 5\cdot 5= 5^2</math>. Therefore
+
Die Basis 25 kann durch Umschreiben zur Basis 5 geschrieben werden: <math>25= 5\cdot 5= 5^2</math>. Deshalb ist
-
{{Fristående formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}}
-
and then we see that
+
Daher ist
-
{{Fristående formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}}
-
since <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> and the base <math>5</math> is larger than <math>1</math>.</li>
+
weil <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> und die Basis <math>5</math> größer als <math>1</math> ist.</li>
-
<li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math>&nbsp; and <math>128</math>.
+
<li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math>&nbsp; und <math>128</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Both <math>8</math> and <math>128</math> can be written as powers of <math>2</math>
+
<math>8</math> und <math>128</math> können beide mit der Basis <math>2</math> geschrieben werden
-
{{Fristående formel||<math>\eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}</math>}}
-
This means that
+
Dies bedeutet, dass
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
(\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}
+
(\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}
-
= 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
+
= 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
-
128 &= 2^7 = 2^{14/2}
+
128 &= 2^7 = 2^{14/2}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
and thus
+
Daher ist
-
{{Fristående formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}}
-
because <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> and the base <math>2</math> is greater than <math>1</math>.</li>
+
weil <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> und die Basis <math>2</math> größer als <math>1</math> ist.</li>
-
<li><math> (8^2)^{1/5} </math> and <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>.
+
<li><math> (8^2)^{1/5} </math> und <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Since <math>8=2^3</math> and <math>27=3^3</math> a first step can be to simplify and write the numbers as powers of <math>2</math> and <math>3</math> respectively,
+
Wegen <math>8=2^3</math> und <math>27=3^3</math>, können die Basen als Exponenten von <math>2</math> bzw. <math>3</math> geschrieben werden.
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
(8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}}
+
(8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}}
-
= 2^{6/5}\mbox{,}\\
+
= 2^{6/5}\mbox{,}\\
-
(\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5}
+
(\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5}
-
= 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5}
+
= 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5}
-
= (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}
+
= (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}
-
= 3^{6/5}\mbox{.}
+
= 3^{6/5}\mbox{.}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
Now we see that
+
Jetzt sieht man, dass
-
{{Fristående formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}}
-
because <math> 3>2</math> and exponent <math>\frac{6}{5}</math> is positive.
+
weil <math> 3>2</math> und der Exponent <math>\frac{6}{5}</math> positiv ist.
-
<li><math> 3^{1/3} </math>&nbsp; and &nbsp;<math> 2^{1/2}</math>
+
<li><math> 3^{1/3} </math>&nbsp; und &nbsp;<math> 2^{1/2}</math>
<br>
<br>
<br>
<br>
-
We rewrite the exponents so they have a common denominator
+
Wir schreiben die Exponenten mit gemeinsamen Nennern
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad</math> and <math>\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}</math>.}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad</math> und <math>\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}</math>.}}
-
Then we have that
+
Dies ergibt
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\
+
3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\
-
2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}
+
2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
and we see that
+
Daher ist
-
{{Fristående formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}}
-
because <math> 9>8</math> and the exponent <math>1/6</math> is positive.</li>
+
weil <math> 9>8</math> und der Exponent <math>1/6</math> positiv ist.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
[[1.3 Exercises|Exercises]]
+
 
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
 +
 
 +
Keine Fragen mehr? Dann mach weiter mit den '''[[1.3 Übungen|Übungen]]'''.
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Study advice'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
-
'''Basic and final tests'''
+
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
+
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Keep in mind that:'''
+
'''Bedenke folgendes:'''
-
The number raised to the power 0, is always 1, if the number (the base) is not 0.
+
Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist.
-
+
-
'''Reviews'''
+
'''Literaturhinweise'''
-
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
+
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links ang
 +
eführt:
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Exponent Learn more about powers in the English Wikipedi]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik) Mehr über Potenzen in der Wikipedia]
-
[http://primes.utm.edu/ What is the greatest prime number? Read more at The Prime Page]
+
[http://primes.utm.edu/ Welche ist die größte Primzahl? Lies Mehr auf der Primzahlseite (engl.)]
-
'''Useful web sites'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Here you can practise the laws of exponents]
+
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Hier kannst Du die Rechenregeln fü Potenzen üben (engl.)]
</div>
</div>

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Positive ganze Exponenten
  • Negative ganze Exponenten
  • Rationale Exponenten
  • Die Rechenregeln für Exponenten

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollst Du ...

  • ... die Begriffe Basis und Exponent verstehen.
  • ... Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen können.
  • ... die Rechenregeln für Exponenten beherrschen.
  • ... wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen).
  • ... Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis).


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


A - Ganze Exponenten

Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise das wiederholte Addieren, zum Beispiel,

\displaystyle 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}

Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:

\displaystyle 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}

Die Zahl 4 wird als Basis bezeichnet, und die 5 wird als Exponent bezeichnet.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125
  2. \displaystyle 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
  3. \displaystyle 0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001
  4. \displaystyle (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16, aber \displaystyle -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16
  5. \displaystyle 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, aber \displaystyle (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36

Beispiel 2

  1. \displaystyle \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
  2. \displaystyle (2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)
    \displaystyle \phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296

Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden:

\displaystyle \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}

für \displaystyle a,b \in \Bbb{R} \setminus \{0\} und \displaystyle m \in \, \Bbb{N}.

B - Rechenregeln für Potenzen

Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass

\displaystyle 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8

Was durch folgende Regel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden kann

\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}

Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis gilt folgendes

\displaystyle \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}

Was durch folgende Regel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden kann

\displaystyle \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}

Wenn die Basis selbst ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist

\displaystyle (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}

und

\displaystyle (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}


Dies kann durch folgende Rechenregel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden

\displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.}

Beispiel 3

  1. \displaystyle 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
  2. \displaystyle 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
  3. \displaystyle 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
  4. \displaystyle 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8

Beispiel 4

  1. \displaystyle \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
  2. \displaystyle \frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9


Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:

\displaystyle \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}


Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle \displaystyle a \ne 0


\displaystyle a^0 = 1\mbox{.}

Es kann auch vorkommen, dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel:

\displaystyle \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Dies muss bedeuten dass

\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle \displaystyle a \ne 0

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}


Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
  2. \displaystyle 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
  3. \displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}
  4. \displaystyle 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}
  5. \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
  6. \displaystyle \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
  7. \displaystyle 0,01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}

Wenn die Basis einer Potenz \displaystyle -1 ist, ist der Ausdruck entweder \displaystyle -1 oder \displaystyle +1 je nach Exponent.

\displaystyle \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}

Die allgemeine Rechenregel ist, dass \displaystyle (-1)^n gleich \displaystyle -1 ist, wenn \displaystyle n ungerade ist, und \displaystyle +1, wenn \displaystyle n gerade ist.


Beispiel 6

  1. \displaystyle (-1)^{56} = 1\quad weil \displaystyle 56 gerade ist
  2. \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad weil 11 ungerade ist
  3. \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}

C - Basis wechseln

Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel:

\displaystyle 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots
\displaystyle 9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots
\displaystyle 25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots

Und auch

\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots

Usw.

Beispiel 7

  1. Schreibe \displaystyle \ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ als eine Potenz mit der Basis 2.

    \displaystyle 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
    \displaystyle \qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9
  2. Schreibe \displaystyle \ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ als eine Potenz mit der Basis 3.

    \displaystyle \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2
  3. Vereinfache \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} so weit wie möglich.

    \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8


D - Rationale Exponenten

Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?

Da zum Beispiel

\displaystyle 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2

muss \displaystyle 2^{1/2} dasselbe wie \displaystyle \sqrt{2} sein, weil \displaystyle \sqrt2 definiert wird als die Zahl die \displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 erfüllt. 

Generell definiert man

\displaystyle a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}

Wir müssen annehmen, dass \displaystyle a \ge 0, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.

Wie haben aber zum Beispiel auch

\displaystyle 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5

Was bedeuten muss, dass \displaystyle \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, was durch folgende Rechenregel für \displaystyle a \ge 0 und \displaystyle n \in N verallgemeinert werden kann

\displaystyle a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}

Indem man diese Regel mit der Regel \displaystyle ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) kombiniert, sieht man, dass für alle \displaystyle a\ge0 folgendes gilt

\displaystyle a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}

oder

\displaystyle a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad ,da \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 =27
  2. \displaystyle 1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}
  3. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
  4. \displaystyle \frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}

E - Potenzen vergleichen

Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.

Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner, je größer der Exponent wird.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad weil die Basis \displaystyle 3 größer als \displaystyle 1 und der erste Exponent \displaystyle 5/6 größer als der zweite Exponent \displaystyle 3/4 ist.
  2. \displaystyle \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad weil die Basis größer als \displaystyle 1 ist und für die Exponenten gilt, dass \displaystyle -3/4 > - 5/6.
  3. \displaystyle \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad da die Basis \displaystyle 0{,}3 zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 1 ist, und \displaystyle 5 > 4.

Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das Umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad weil die Basis \displaystyle 5 größer als die Basis \displaystyle 4 ist und beide Potenzen denselben positiven Exponenten \displaystyle 3/2 haben.
  2. \displaystyle \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad weil für die Basen gilt, dass \displaystyle 2<3, und die Potenzen den negativen Exponenten \displaystyle -5/3 haben.

In manchen Fällen muss man die Potenzen zuerst umschreiben, bevor man sie vergleichen kann. Um zum Beispiel \displaystyle 125^2 mit \displaystyle 36^3 zu vergleichen, kann man die Potenzen umschreiben:

\displaystyle

125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{und}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6

womit man sieht, dass \displaystyle 36^3 > 125^2.

Beispiel 11

Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größere ist.

  1. \displaystyle 25^{1/3}   und  \displaystyle 5^{3/4} .

    Die Basis 25 kann durch Umschreiben zur Basis 5 geschrieben werden: \displaystyle 25= 5\cdot 5= 5^2. Deshalb ist
    \displaystyle 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}

    Daher ist

    \displaystyle 5^{3/4} > 25^{1/3}
    weil \displaystyle \frac{3}{4} > \frac{2}{3} und die Basis \displaystyle 5 größer als \displaystyle 1 ist.
  2. \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5   und \displaystyle 128.

    \displaystyle 8 und \displaystyle 128 können beide mit der Basis \displaystyle 2 geschrieben werden
    \displaystyle \eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}

    Dies bedeutet, dass

    \displaystyle \begin{align*}

    (\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\ 128 &= 2^7 = 2^{14/2} \end{align*}

    Daher ist

    \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 > 128
    weil \displaystyle \frac{15}{2} > \frac{14}{2} und die Basis \displaystyle 2 größer als \displaystyle 1 ist.
  3. \displaystyle (8^2)^{1/5} und \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5}.

    Wegen \displaystyle 8=2^3 und \displaystyle 27=3^3, können die Basen als Exponenten von \displaystyle 2 bzw. \displaystyle 3 geschrieben werden.
    \displaystyle \begin{align*}

    (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}\\ (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.} \end{align*}

    Jetzt sieht man, dass

    \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5}

    weil \displaystyle 3>2 und der Exponent \displaystyle \frac{6}{5} positiv ist.

  4. \displaystyle 3^{1/3}   und  \displaystyle 2^{1/2}

    Wir schreiben die Exponenten mit gemeinsamen Nennern
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad und \displaystyle \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}.

    Dies ergibt

    \displaystyle \begin{align*}

    3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\ 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6} \end{align*}

    Daher ist

    \displaystyle 3^{1/3} > 2^{1/2}
    weil \displaystyle 9>8 und der Exponent \displaystyle 1/6 positiv ist.


Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist.

Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links ang eführt:

Mehr über Potenzen in der Wikipedia

Welche ist die größte Primzahl? Lies Mehr auf der Primzahlseite (engl.)


Nützliche Websites

Hier kannst Du die Rechenregeln fü Potenzen üben (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/1.3_Potenzen“