4.4 Trigonometrische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Selected tab|[[4.4 Trigonometric equations|Theory]]}}
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{{Gewählter Tab|[[4.4 Trigonometrische Gleichungen|Theorie]]}}
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{{Not selected tab|[[4.4 Exercises|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[4.4 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* The basic equations of trigonometry
+
* Grundlegende trigonometrische Gleichungen
-
* Simple trigonometric equations
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* Einfache trigonometrische Gleichungen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Learning outcomes: '''
+
'''Lernziele: '''
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After this section, you will have learned how to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
* Solve the basic equations of trigonometry
+
* Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.
-
* Solve trigonometric equations that can be reduced to basic equations.
+
* Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.
}}
}}
-
== Basic equations ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Trigonometric equations can be very complicated, but there are also many types of trigonometric equations which can be solved using relatively simple methods. Here, we shall start by looking at the most basic trigonometric equations, of the type <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> and <math>\tan x = a</math>.
+
== A - Grundlegende Gleichungen ==
-
These equations usually have an infinite number of solutions, unless the circumstances limit the number of possible solutions (for example, if one is looking for an acute angle).
+
Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> und <math>\tan x = a</math> , die relativ einfache Lösungen haben.
 +
 
 +
Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. Wenn man aber den Winkel ''x'' irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, genauso, wenn man zum Beispiel einen spitzen Winkel sucht.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Solve the equation <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.
 +
Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel <math>x</math> gibt.
-
Our task is to determine all the angles that have a sine with the value <math>\tfrac{1}{2}</math>. The unit circle helps us in this. Note that here the angle is designated as <math>x</math>.
+
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/6 und 5π/6,}}</center>
-
<center>{{:4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/6 resp. 5π/6}}</center>
+
Wir haben hier also die beiden Winkel <math>30^\circ = \pi / 6</math> und (durch Symmetrie) <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math>, die dem ''y''-Wert <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> entsprechen. Zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math> sind dies auch die einzigen solchen Winkel.
-
In the figure, we have shown the two directions that give us points which have a ''y''-coordinate <math>\tfrac{1}{2}</math> on the unit circle, i.e. angles with a sine value <math>\tfrac{1}{2}</math>. The first is the standard angle <math>30^\circ = \pi / 6</math> and by symmetry the other angle makes <math>30^\circ</math> with the negative ''x''-axis. This means that the angle is <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math> or in radians <math>\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6</math>. These are the only solutions to the equation <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> between <math>0</math> and <math>2\pi</math>.
+
Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von <math>2\pi</math> addieren können, ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen:
-
However, we can add an arbitrary number of revolutions to these two angles and still get the same value for the sine . Thus all angles with a value of the sine <math>\tfrac{1}{2}</math> are
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{cases}
-
{{Displayed math||<math>\begin{cases}
+
x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
-
x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
+
x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
-
x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
+
\end{cases}</math>}}
-
\end{cases}</math>}}
+
wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.
-
where <math>n</math> is an arbitrary integer. This is called the general solution to the equation.
+
-
The solutions can also be obtained in the figure below where the graph of <math>y = \sin x</math> intersects the line <math>y=\tfrac{1}{2}</math>.
+
Betrachtet man den Graph von <math>y = \sin x</math>, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven <math>y = \sin x</math> und <math>y=\tfrac{1}{2}</math> unendlich viele Schnittstellen haben.
-
<center>{{:4.4 - Figure - The curves y = sin x and y = ½}}</center>
+
<center>{{:4.4 - Bild - Die Kurven y = sin x und y = ½}}</center>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
Solve the equation <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>.
 +
Wir betrachten den Einheitskreis.
-
We once again study the unit circle.
+
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und -π/3,}}</center>
-
<center>{{:4.4 - Figure - Two unit circles with angles π/3 and -π/3, respectively}}</center>
+
Wir wissen, dass der Kosinus von <math>\pi/3</math> <math>\tfrac{1}{2}</math> ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel <math>-\pi/3</math> auch den Kosinus <math>\tfrac{1}{2}</math> hat. Addieren wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zu diesen Winkeln, erhalten wir die allgemeine Lösung,
-
We know that cosine is <math>\tfrac{1}{2}</math> for the angle <math>\pi/3</math>. The only other direction in the unit circle, which produces the same value for the cosine is the angle <math>-\pi/3</math>. Adding an integral number of revolutions to these angles we get the general solution
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}}
+
wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
-
 
+
-
where <math>n</math> is an arbitrary integer.
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
Solve the equation <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>.
 +
Wir wissen von vorher, dass der Winkel <math>x=\pi/3</math> die Gleichung erfüllt.
-
A solution to the equation is the standard angle <math>x=\pi/3</math>.
+
Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher den selben Tangens.
-
If we study the unit circle then we see that tangent of an angle is equal to the slope of the straight line through the origin making an angle <math>x</math> with the positive ''x''-axis .
+
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und π+π/3,}}</center>
-
<center>{{:4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/3 resp. π+π/3}}</center>
+
Daher erhalten wir die allgemeine Lösung, indem wir <math>\pi</math> mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher
-
Therefore, we see that the solutions to <math>\tan x = \sqrt{3}</math> repeat themselves every half revolution <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> and so on. The general solution can be obtained by using the solution <math>\pi/3</math> and adding or subtracting multiples of <math>\pi</math>,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}}
+
-
where <math>n</math> s an arbitrary integer.
+
wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
</div>
</div>
-
== Somewhat more complicated equations ==
+
== B - Kompliziertere Gleichungen ==
-
Trigonometric equations can vary in many ways, and it is impossible to give a full catalogue of all possible equations. But let us study some examples where we can use our knowledge of solving basic equations.
+
Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen geben.
-
Some trigonometric equations can be simplified by being rewritten with the help of trigonometric relationships. This, for example, could lead to a quadratic equation, as in the example below where one uses <math>\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1</math>.
+
Manche trigonometrische Gleichungen können vereinfacht werden, indem man die trigonometrischen Identitäten benutzt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
-
Solve the equation <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>.
-
Rewrite by using the formula <math>\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1</math> giving
+
Wir verwenden <math>\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1</math> und erhalten
-
{{Displayed math||<math>(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}</math>}}
+
-
which can be simplified to the equation (after division by 2)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}</math>}}
+
Durch Division durch 2 erhalten wir
-
The left-hand side can factorised by using the squaring rule to give
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
Wir faktorisieren die linke Seite
-
This equation can only be satisfied if <math>\cos x = 1</math>. The basic equation <math>\cos x=1</math> can be solved in the normal way and the complete solution is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>
+
Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn <math>\cos x = 1</math>. Diese Gleichung lösen wir wie vorhin und die allgemeine Lösung ist
-
x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ arbitrary integer).}</math>}}
+
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
x = 2n\pi</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Solve the equation <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>.
-
According to the Pythagorean identity <math>\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1</math>, i.e. <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math>, the equation can be written as
+
Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math> und wir bekommen
-
{{Displayed math||<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Factorising out <math>\sin x</math> one gets
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>
+
-
\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}
+
-
From this factorised form of the equation, we see that the solutions either have to satisfy <math>\sin x = 0</math> or <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math>, which are two basic equations of the type <math>\sin x = a</math> and can be solved as in example 1. The solutions turn out to be
+
Wir klammern den Faktor <math>\sin x</math> aus und erhalten
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\begin{cases}
+
\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}
-
x &= n\pi\\
+
 
-
x &= -\pi/6+2n\pi\\
+
So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen <math>\sin x = 0</math> oder <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math> erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind
-
x &= 7\pi/6+2n\pi
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\end{cases}
+
\begin{cases}
-
\qquad (\,n\ \text{ arbitrary integer})\mbox{.}</math>}}
+
x &= n\pi\\
 +
x &= -\pi/6+2n\pi\\
 +
x &= 7\pi/6+2n\pi
 +
\end{cases}
 +
</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
 +
Löse die Gleichung <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>.
-
Solve the equation <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>.
 
 +
Durch die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
By rewriting the equation using the formula for double-angles one gets
+
Dividieren wir durch 2 und klammern den Faktor <math>\cos x</math> aus, erhalten wir
-
{{Displayed math||<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
We divide both sides with 2 and factorise out <math>\cos x</math>, which gives
+
Also müssen die Lösungen dieser Gleichung eine der Gleichungen
-
{{Displayed math||<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
* <math>\cos x = 0\,\text{ oder}</math>
 +
* <math>\sin x = 2</math>
-
As the product of factors on the left-hand side can only be zero if one of the factors is zero, we have reduced the original equation into two basic equations
+
erfüllen. Nachdem <math>\sin x</math> nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen
-
* <math>\cos x = 0</math>,
+
<math>x = \pi / 2 + n \cdot \pi</math>.
-
* <math>\sin x = 2</math>.
+
-
 
+
-
But <math>\sin x</math> can never be greater than 1, so the equation <math>\sin x = 2</math> has no solutions. That leaves just
+
-
<math>\cos x = 0</math>, and using the unit circle gives the general solution <math>x = \pi / 2 + n \cdot \pi</math>.
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Solve the equation <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>.
 +
Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen <math>\sin^2\!x</math> mit <math>1 – \cos^2\!x</math>. So erhalten wir
-
Using the Pythagorean identity one can replace <math>\sin^2\!x</math> by <math>1 – \cos^2\!x</math>. Then we will have{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\begin{align*}
+
\begin{align*}
-
4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
+
4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
-
4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
+
4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
-
–4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
+
–4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
-
\cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
+
\cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
This is a quadratic equation in <math>\cos x</math>, which has the solutions
+
Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\cos x</math>, mit den Lösungen
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{and}\quad
+
\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad
-
\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Since the value of <math>\cos x</math> is between <math>–1</math> and <math>1</math> the equation <math>\cos x=-\tfrac{3}{2}</math> has no solutions. That leaves only the basic equation
+
Nachdem <math>\cos x</math> nie kleiner als <math>–1</math> ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung
-
{{Displayed math||<math>\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}</math>}}
-
that may be solved as in example 2.
+
die wir im Beispiel 2 gelöst haben.
</div>
</div>
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<br><br>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.4 Übungen|Übungen]]''' .
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[[4.4 Exercises|Exercises]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Study advice'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
-
 
+
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'''Basic and final tests'''
+
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+
-
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
'''Remember:'''
+
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
It is a good idea to learn the most common trigonometric formulas (identities) and practice simplifying and manipulating trigonometric expressions.
 
 +
'''Bedenke folgendes'''
-
It is important to be familiar with the basic equations, such as <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> or <math>\tan x = a</math> (where <math>a</math> is a real number). It is also important to know that these equations typically have infinitely many solutions.
+
Lerne die grundlegenden trigonometrischen Identitäten und wie sie verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.
 +
Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen vertraut zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig, zu wissen, dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.
-
'''Useful web sites'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html Experiment with the graph y = a sin b (x-c) ]
+
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html Experimentiere Mit dem Graphen der Funktion y = a sin b (x-c) ]
</div>
</div>

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Grundlegende trigonometrische Gleichungen
  • Einfache trigonometrische Gleichungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.
  • Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Grundlegende Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie \displaystyle \sin x = a, \displaystyle \cos x = a und \displaystyle \tan x = a , die relativ einfache Lösungen haben.

Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. Wenn man aber den Winkel x irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, genauso, wenn man zum Beispiel einen spitzen Winkel sucht.

Beispiel 1

Löse die Gleichung \displaystyle \,\sin x = \frac{1}{2}.

Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus \displaystyle \tfrac{1}{2} haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel \displaystyle x gibt.

[Image]

Wir haben hier also die beiden Winkel \displaystyle 30^\circ = \pi / 6 und (durch Symmetrie) \displaystyle 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ, die dem y-Wert \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} entsprechen. Zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi sind dies auch die einzigen solchen Winkel.

Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi addieren können, ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen:

\displaystyle \begin{cases}

x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\ x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi \end{cases}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.

Betrachtet man den Graph von \displaystyle y = \sin x, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven \displaystyle y = \sin x und \displaystyle y=\tfrac{1}{2} unendlich viele Schnittstellen haben.

[Image]

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \,\cos x = \frac{1}{2}.

Wir betrachten den Einheitskreis.

[Image]

Wir wissen, dass der Kosinus von \displaystyle \pi/3 \displaystyle \tfrac{1}{2} ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel \displaystyle -\pi/3 auch den Kosinus \displaystyle \tfrac{1}{2} hat. Addieren wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu diesen Winkeln, erhalten wir die allgemeine Lösung,

\displaystyle x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 3

Löse die Gleichung \displaystyle \,\tan x = \sqrt{3}.

Wir wissen von vorher, dass der Winkel \displaystyle x=\pi/3 die Gleichung erfüllt.

Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher den selben Tangens.

[Image]

Daher erhalten wir die allgemeine Lösung, indem wir \displaystyle \pi mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen \displaystyle \pi/3, \displaystyle \pi/3 +\pi, \displaystyle \pi/3+ \pi +\pi etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher

\displaystyle x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.


B - Kompliziertere Gleichungen

Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen geben.

Manche trigonometrische Gleichungen können vereinfacht werden, indem man die trigonometrischen Identitäten benutzt.

Beispiel 4

Löse die Gleichung \displaystyle \,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0.


Wir verwenden \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1 und erhalten

\displaystyle (2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}

Durch Division durch 2 erhalten wir

\displaystyle \cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}

Wir faktorisieren die linke Seite

\displaystyle (\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}

Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn \displaystyle \cos x = 1. Diese Gleichung lösen wir wie vorhin und die allgemeine Lösung ist

\displaystyle

x = 2n\pi

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0.


Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir \displaystyle 1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x und wir bekommen

\displaystyle \tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}

Wir klammern den Faktor \displaystyle \sin x aus und erhalten

\displaystyle

\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}

So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen \displaystyle \sin x = 0 oder \displaystyle \sin x = -\tfrac{1}{2} erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind

\displaystyle

\begin{cases} x &= n\pi\\ x &= -\pi/6+2n\pi\\ x &= 7\pi/6+2n\pi \end{cases}

Beispiel 6 Löse die Gleichung \displaystyle \,\sin 2x =4 \cos x.


Durch die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus erhalten wir

\displaystyle 2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}

Dividieren wir durch 2 und klammern den Faktor \displaystyle \cos x aus, erhalten wir

\displaystyle \cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}

Also müssen die Lösungen dieser Gleichung eine der Gleichungen

  • \displaystyle \cos x = 0\,\text{ oder}
  • \displaystyle \sin x = 2

erfüllen. Nachdem \displaystyle \sin x nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen \displaystyle x = \pi / 2 + n \cdot \pi.

Beispiel 7

Löse die Gleichung \displaystyle \,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1.

Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen \displaystyle \sin^2\!x mit \displaystyle 1 – \cos^2\!x. So erhalten wir

\displaystyle

\begin{align*} 4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\ \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle \cos x, mit den Lösungen

\displaystyle

\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle \cos x nie kleiner als \displaystyle –1 ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung

\displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}

die wir im Beispiel 2 gelöst haben.



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Tipps fürs Lernen

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Bedenke folgendes

Lerne die grundlegenden trigonometrischen Identitäten und wie sie verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.

Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen vertraut zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig, zu wissen, dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.

Nützliche Websites

Experimentiere Mit dem Graphen der Funktion y = a sin b (x-c)

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