4.4 Trigonometrische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Vald flik|[[4.4 Trigonometriska ekvationer|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[4.4 Trigonometrische Gleichungen|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[4.4 Övningar|Övningar]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[4.4 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*Trigonometriska grundekvationer
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* Grundlegende trigonometrische Gleichungen
-
*Enklare trigonometriska ekvationer
+
* Einfache trigonometrische Gleichungen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele: '''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Lösa trigonometriska grundekvationer.
+
* Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.
-
*Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstyp.
+
* Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.
}}
}}
-
== Grundekvationer ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Trigonometriska ekvationer kan vara mycket komplicerade, men det finns också många typer av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av typerna <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> och <math>\tan x = a</math>.
+
== A - Grundlegende Gleichungen ==
-
Dessa ekvationer har i regel oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t.ex. att man söker en spetsig vinkel).
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Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> und <math>\tan x = a</math> , die relativ einfache Lösungen haben.
 +
 
 +
Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. Wenn man aber den Winkel ''x'' irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, genauso, wenn man zum Beispiel einen spitzen Winkel sucht.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Lös ekvationen <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.
 +
Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel <math>x</math> gibt.
-
Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir <math>\tfrac{1}{2}</math>. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas <math>x</math>.
+
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/6 und 5π/6,}}</center>
-
<center>{{:4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/6 resp. 5π/6}}</center>
+
Wir haben hier also die beiden Winkel <math>30^\circ = \pi / 6</math> und (durch Symmetrie) <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math>, die dem ''y''-Wert <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> entsprechen. Zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math> sind dies auch die einzigen solchen Winkel.
-
I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat <math>\tfrac{1}{2}</math> i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet <math>\tfrac{1}{2}</math>. Den första är standardvinkeln <math>30^\circ = \pi / 6</math> och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln <math>30^\circ</math> mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math> eller i radianer <math>\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6</math>. Detta är de enda lösningar till ekvationen <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> mellan <math>0</math> och <math>2\pi</math>.
+
Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von <math>2\pi</math> addieren können, ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen:
-
Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde <math>\tfrac{1}{2}</math> är alltså
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{cases}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{cases}
+
x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
-
x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
+
x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
-
x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
+
\end{cases}</math>}}
-
\end{cases}</math>}}
+
wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.
-
där <math>n</math> är ett godtyckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen.
+
-
Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till <math>y = \sin x</math> skär linjen <math>y=\tfrac{1}{2}</math>.
+
Betrachtet man den Graph von <math>y = \sin x</math>, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven <math>y = \sin x</math> und <math>y=\tfrac{1}{2}</math> unendlich viele Schnittstellen haben.
-
<center>{{:4.4 - Figur - Kurvorna y = sin x och y = ½}}</center>
+
<center>{{:4.4 - Bild - Die Kurven y = sin x und y = ½}}</center>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
Lös ekvationen <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>.
 +
Wir betrachten den Einheitskreis.
-
Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln.
+
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und -π/3,}}</center>
-
<center>{{:4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/3 resp. -π/3}}</center>
+
Wir wissen, dass der Kosinus von <math>\pi/3</math> <math>\tfrac{1}{2}</math> ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel <math>-\pi/3</math> auch den Kosinus <math>\tfrac{1}{2}</math> hat. Addieren wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zu diesen Winkeln, erhalten wir die allgemeine Lösung,
-
Vi vet att cosinus blir <math>\tfrac{1}{2}</math> för vinkeln <math>\pi/3</math>. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln <math>-\pi/3</math>. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}}
+
wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
-
 
+
-
där <math>n</math> är ett godtyckligt heltal.
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
Lös ekvationen <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>.
 +
Wir wissen von vorher, dass der Winkel <math>x=\pi/3</math> die Gleichung erfüllt.
-
En lösning till ekvationen är standardvinkeln <math>x=\pi/3</math>.
+
Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher den selben Tangens.
-
Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln <math>x</math> med den positiva ''x''-axeln.
+
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und π+π/3,}}</center>
-
<center>{{:4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/3 resp. π+π/3}}</center>
+
Daher erhalten wir die allgemeine Lösung, indem wir <math>\pi</math> mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher
-
Därför ser vi att lösningarna till <math>\tan x = \sqrt{3}</math> upprepar sig varje halvt varv <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen <math>\pi/3</math> och lägga till eller dra ifrån multiplar av <math>\pi</math>,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}}
+
-
där <math>n</math> är ett godtyckligt heltal.
+
wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
</div>
</div>
-
== Några mer komplicerade ekvationer ==
+
== B - Kompliziertere Gleichungen ==
-
Trigonometriska ekvationer kan se ut på många olika sätt, och det är omöjligt att här ge en fullständig genomgång av alla tänkbara ekvationer. Men låt oss studera några exempel, där vi kan ha nytta av att vi kan lösa grundekvationerna.
+
Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen geben.
-
Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp av trigonometriska samband. Detta kan t.ex. leda till en andragradsekvation, som i nedanstående exempel där man använder att <math>\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1</math>.
+
Manche trigonometrische Gleichungen können vereinfacht werden, indem man die trigonometrischen Identitäten benutzt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
-
Lös ekvationen <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>.
-
Omskrivning med hjälp av formeln <math>\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1</math> ger
+
Wir verwenden <math>\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1</math> und erhalten
-
{{Fristående formel||<math>(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}</math>}}
+
-
vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med 2)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}</math>}}
+
Durch Division durch 2 erhalten wir
-
Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
Wir faktorisieren die linke Seite
-
Denna ekvation kan bara vara uppfylld om <math>\cos x = 1</math>. Grundekvationen <math>\cos x=1</math> kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>
+
Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn <math>\cos x = 1</math>. Diese Gleichung lösen wir wie vorhin und die allgemeine Lösung ist
-
x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).}</math>}}
+
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
x = 2n\pi</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Lös ekvationen <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>.
-
Enligt den trigonometriska ettan är <math>\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1</math>, dvs. <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math>.
+
Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math> und wir bekommen
-
Ekvationen kan alltså skrivas
+
-
{{Fristående formel||<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Genom att nu bryta ut en faktor <math>\sin x</math> får vi
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>
+
-
\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}
+
-
Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla <math>\sin x = 0</math> eller <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math>, vilka är två vanliga grundekvationer på formen <math>\sin x = a</math> och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut
+
Wir klammern den Faktor <math>\sin x</math> aus und erhalten
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\begin{cases}
+
\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}
-
x &= n\pi\\
+
 
-
x &= -\pi/6+2n\pi\\
+
So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen <math>\sin x = 0</math> oder <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math> erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind
-
x &= 7\pi/6+2n\pi
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\end{cases}
+
\begin{cases}
-
\qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.}</math>}}
+
x &= n\pi\\
 +
x &= -\pi/6+2n\pi\\
 +
x &= 7\pi/6+2n\pi
 +
\end{cases}
 +
</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
 +
Löse die Gleichung <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>.
-
Lös ekvationen <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>.
 
 +
Durch die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen
+
Dividieren wir durch 2 und klammern den Faktor <math>\cos x</math> aus, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
Vi delar båda led med 2 och bryter ut en faktor <math>\cos x</math>, vilket ger
+
Also müssen die Lösungen dieser Gleichung eine der Gleichungen
-
{{Fristående formel||<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
* <math>\cos x = 0\,\text{ oder}</math>
 +
* <math>\sin x = 2</math>
-
Eftersom produkten i vänsterledet bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna
+
erfüllen. Nachdem <math>\sin x</math> nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen
-
* <math>\cos x = 0</math>,
+
<math>x = \pi / 2 + n \cdot \pi</math>.
-
* <math>\sin x = 2</math>.
+
-
 
+
-
Men <math>\sin x</math> kan aldrig bli större än 1, så ekvationen <math>\sin x = 2</math> saknar lösningar. Då återstår bara
+
-
<math>\cos x = 0</math>, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen <math>x = \pi / 2 + n \cdot \pi</math>.
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Lös ekvationen <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>.
 +
Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen <math>\sin^2\!x</math> mit <math>1 – \cos^2\!x</math>. So erhalten wir
-
Med den trigonometriska ettan kan <math>\sin^2\!x</math> bytas ut mot <math>1 – \cos^2\!x</math>. Då får vi
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
{{Fristående formel||<math>
+
\begin{align*}
-
\begin{align*}
+
4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
-
4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
+
4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
-
4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
+
–4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
-
–4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
+
\cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
-
\cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
+
\end{align*}</math>}}
-
\end{align*}</math>}}
+
-
Detta är en andragradsekvation i <math>\cos x</math>, som har lösningarna
+
Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\cos x</math>, mit den Lösungen
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{och}\quad
+
\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad
-
\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Eftersom värdet av <math>\cos x</math> ligger mellan <math>–1</math> och <math>1</math> kan ekvationen <math>\cos x=-\tfrac{3}{2}</math> inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen
+
Nachdem <math>\cos x</math> nie kleiner als <math>–1</math> ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}</math>}}
-
som löses enligt exempel 2.
+
die wir im Beispiel 2 gelöst haben.
</div>
</div>
 +
<br><br>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
 +
 +
Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.4 Übungen|Übungen]]''' .
-
[[4.4 Övningar|Övningar]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Råd för inläsning'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
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'''Grund- och slutprov'''
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Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
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'''Tänk på att:'''
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Det är bra om man lär sig de vanliga trigonometriska formlerna (identiteterna) och övar upp en viss vana på att förenkla och manipulera trigonometriska uttryck.
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Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av typen <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> eller <math>\tan x = a</math> (där <math>a</math> är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer typiskt har oändligt många lösningar.
+
 +
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
'''Lästips'''
+
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
 
-
[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/44_trig_ekvationer/index.asp Läs mer om trigonometriska ekvationer i Theducations gymnasielexikon ]
+
'''Bedenke folgendes'''
-
[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/44_trig_ekvationer/445_typ_asinx/index.asp Träna på trigonometriska räkneexempel i Theducations gymnasielexikon]
+
Lerne die grundlegenden trigonometrischen Identitäten und wie sie verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.
 +
Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen vertraut zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig, zu wissen, dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.
-
'''Länktips'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html Experimentera med grafen y=a sin b(x-c)]
+
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html Experimentiere Mit dem Graphen der Funktion y = a sin b (x-c) ]
-
[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex45_derivatasinus/Ex45Applet.html Experimentera med derivatan av sin x]
 
</div>
</div>

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Grundlegende trigonometrische Gleichungen
  • Einfache trigonometrische Gleichungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.
  • Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Grundlegende Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie \displaystyle \sin x = a, \displaystyle \cos x = a und \displaystyle \tan x = a , die relativ einfache Lösungen haben.

Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. Wenn man aber den Winkel x irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, genauso, wenn man zum Beispiel einen spitzen Winkel sucht.

Beispiel 1

Löse die Gleichung \displaystyle \,\sin x = \frac{1}{2}.

Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus \displaystyle \tfrac{1}{2} haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel \displaystyle x gibt.

[Image]

Wir haben hier also die beiden Winkel \displaystyle 30^\circ = \pi / 6 und (durch Symmetrie) \displaystyle 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ, die dem y-Wert \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} entsprechen. Zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi sind dies auch die einzigen solchen Winkel.

Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi addieren können, ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen:

\displaystyle \begin{cases}

x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\ x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi \end{cases}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.

Betrachtet man den Graph von \displaystyle y = \sin x, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven \displaystyle y = \sin x und \displaystyle y=\tfrac{1}{2} unendlich viele Schnittstellen haben.

[Image]

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \,\cos x = \frac{1}{2}.

Wir betrachten den Einheitskreis.

[Image]

Wir wissen, dass der Kosinus von \displaystyle \pi/3 \displaystyle \tfrac{1}{2} ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel \displaystyle -\pi/3 auch den Kosinus \displaystyle \tfrac{1}{2} hat. Addieren wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu diesen Winkeln, erhalten wir die allgemeine Lösung,

\displaystyle x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 3

Löse die Gleichung \displaystyle \,\tan x = \sqrt{3}.

Wir wissen von vorher, dass der Winkel \displaystyle x=\pi/3 die Gleichung erfüllt.

Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher den selben Tangens.

[Image]

Daher erhalten wir die allgemeine Lösung, indem wir \displaystyle \pi mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen \displaystyle \pi/3, \displaystyle \pi/3 +\pi, \displaystyle \pi/3+ \pi +\pi etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher

\displaystyle x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.


B - Kompliziertere Gleichungen

Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen geben.

Manche trigonometrische Gleichungen können vereinfacht werden, indem man die trigonometrischen Identitäten benutzt.

Beispiel 4

Löse die Gleichung \displaystyle \,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0.


Wir verwenden \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1 und erhalten

\displaystyle (2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}

Durch Division durch 2 erhalten wir

\displaystyle \cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}

Wir faktorisieren die linke Seite

\displaystyle (\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}

Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn \displaystyle \cos x = 1. Diese Gleichung lösen wir wie vorhin und die allgemeine Lösung ist

\displaystyle

x = 2n\pi

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0.


Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir \displaystyle 1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x und wir bekommen

\displaystyle \tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}

Wir klammern den Faktor \displaystyle \sin x aus und erhalten

\displaystyle

\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}

So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen \displaystyle \sin x = 0 oder \displaystyle \sin x = -\tfrac{1}{2} erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind

\displaystyle

\begin{cases} x &= n\pi\\ x &= -\pi/6+2n\pi\\ x &= 7\pi/6+2n\pi \end{cases}

Beispiel 6 Löse die Gleichung \displaystyle \,\sin 2x =4 \cos x.


Durch die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus erhalten wir

\displaystyle 2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}

Dividieren wir durch 2 und klammern den Faktor \displaystyle \cos x aus, erhalten wir

\displaystyle \cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}

Also müssen die Lösungen dieser Gleichung eine der Gleichungen

  • \displaystyle \cos x = 0\,\text{ oder}
  • \displaystyle \sin x = 2

erfüllen. Nachdem \displaystyle \sin x nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen \displaystyle x = \pi / 2 + n \cdot \pi.

Beispiel 7

Löse die Gleichung \displaystyle \,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1.

Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen \displaystyle \sin^2\!x mit \displaystyle 1 – \cos^2\!x. So erhalten wir

\displaystyle

\begin{align*} 4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\ \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle \cos x, mit den Lösungen

\displaystyle

\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle \cos x nie kleiner als \displaystyle –1 ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung

\displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}

die wir im Beispiel 2 gelöst haben.



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Tipps fürs Lernen

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Bedenke folgendes

Lerne die grundlegenden trigonometrischen Identitäten und wie sie verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.

Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen vertraut zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig, zu wissen, dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.

Nützliche Websites

Experimentiere Mit dem Graphen der Funktion y = a sin b (x-c)

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