4.3 Trigonometrische Eigenschaften

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Nicht gewählter Tab|[[4.3 Übungen|Übungen]]}}
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'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
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* Trigonometrische Ausdrücke mit den Trigonometrischen Identitäten vereinfachen.
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* Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.
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== Einführung ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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Es gibt viele trigonometrische Formeln um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln benennt man meistens die Trigonometrische Identitäten- Wir werden hier einige Trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrische Pythagoras hergeleitet werden, die also sehr zentrale Identitäten sind.
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== Der trigonometrische Pythagoras ==
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== A - Einführung ==
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Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.
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== B - Der trigonometrische Pythagoras ==
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Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetz des Pythagoras, für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild, sehen wir dass
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Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
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which is usually written as <math>\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1</math>.
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das normalerweise als <math>\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1</math> geschrieben wird.
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{{:4.3 - Bild - Sats des Pythagoras}}
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== Symmetrien ==
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== C - Symmetrien ==
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Mit Spiegelungen im Einheitskreis, kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.
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Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\begin{align*}
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\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
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\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
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\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
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\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
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\qquad\quad
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\qquad\quad
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\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
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\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
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\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
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'''Spiegelung an der ''x''-Achse'''
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Durch Spiegelung in der ''x''-Achse bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>-v</math>.
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Durch Spiegelung an der ''x''-Achse wird der Winkel <math>v</math>, <math>-v</math>.
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Die Spiegelung bewirkt nicht die ''x''-Koordinate, während die ''y''-Koordinate Vorzeichen tauscht.
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Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''x''-Koordinate aus, während die ''y''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
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\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
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\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
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\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
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\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
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Durch Spiegelung in der ''y''-Achse bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>\pi-v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der negativen ''x''-Achse)
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Durch Spiegelung an der ''y''-Achse wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi-v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der negativen ''x''-Achse)
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Die Spiegelung bewirkt nicht die ''y''-Koordinate, während die ''x''-Koordinate Vorzeichen tauscht.
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Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''y''-Koordinate aus, während die ''x''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
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\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
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\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
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\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
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''' Spiegelung in der Geraden ''y = x'' '''
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''' Spiegelung an der Geraden ''y = x'' '''
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Durch eine Spiegelung in der Geraden, bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).
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Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).
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Durch die Spiegelung tauschen die ''x''- und ''y''-Koordinaten Stellen.
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Durch die Spiegelung tauschen die ''x''- und die ''y''- Koordinaten ihre Plätze.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
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\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
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''' Umdrehung mit dem Winkel <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
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''' Drehung um den Winkel <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
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Durch eine Umdrehung von <math>\pi/2</math> bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>v+\pi/2</math>.
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Durch eine Umdrehung von <math>\pi/2</math> wird der Winkel <math>v</math> zu <math>v+\pi/2</math>.
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Durch die Umdrehung bekommt die Koordinate <math>(x,y)</math>, <math>(-y,x)</math>.
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Durch die Drehung wird die Koordinate <math>(x,y)</math> zu <math>(-y,x)</math>.
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\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
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\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
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\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
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== Die Additionstheoreme und die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==
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== D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==
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Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Kosinus lauten die Additionstheoreme
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Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
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\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
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\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
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\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
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\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
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If one wants to know the sine or cosine of a double angle, that is <math>\sin 2v</math> or <math>\cos 2v</math>, one can write these expressions as <math>\sin(v + v)</math> or <math>\cos(v + v)</math> and use the addition formulas above and get the double-angle formulas
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Um die Doppelwinkelfunktionen <math>\sin 2v</math> und <math>\cos 2v</math> zu erhalten, kann man die Sonderfälle <math>\sin(v + v)</math> und <math>\cos(v + v)</math> der Additionstheoreme betrachten
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<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
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\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
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\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
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\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
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\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
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\end{align*}</math>}}
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\end{align*}</math>}}
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From these relationships, one can then get the formulas for half angles. By replacing <math>2v</math> by <math>v</math>, and consequently <math>v</math> by <math>v/2</math>, in the formula for <math>\cos 2v</math> one gets that
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Indem man in diese Formel <math>2v</math> mit <math>v</math> ersetzt und natürlich auch <math>v</math> mit <math>v/2</math>, erhält man für <math>\cos 2v</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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If we want a formula for <math>\sin(v/2)</math> we use the Pythagorean identity to get rid of <math>\cos^2(v/2)</math>
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Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term <math>\cos^2(v/2)</math> los
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
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\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
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= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
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= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
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i.e.
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also
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{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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Similarly, we can use the Pythagorean identity to get rid of <math>\sin^2(v/2)</math>. Then we will have instead
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Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term <math>\sin^2(v/2)</math> loszuwerden. So erhalten wir statt dessen
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{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.3 Übungen|Übungen]]''' .
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[[4.3 Übungen|Übungen]]
 
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'''Tipps fürs lernen'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Bedenke folgendes:'''
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The unit circle is an invaluable tool for finding trigonometric relationships. They are a multitude and there is no point in trying to learn all of them by heart. It is also time-consuming to have to look them up all the time. Therefore, it is much better that you learn how to use the unit circle.
 
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The most famous trigonometric formula is the so-called Pythagorean identity. It applies to all angles, not just for acute angles. It is based on the Pythagoras theorem.
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'''Bedenken folgendes:'''
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Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.
'''Nützliche Websites'''
'''Nützliche Websites'''
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[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experiment with the cosine “box” ]
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[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.) ]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der trigonometrische Pythagoras
  • Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
  • Die Additionstheoreme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
  • Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.

B - Der trigonometrische Pythagoras

Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass

\displaystyle (\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}

das normalerweise als \displaystyle \sin^2\!v + \cos^2\!v = 1 geschrieben wird.

[Image]


C - Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

\displaystyle

\begin{align*} \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\ \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\ \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\ \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\ \end{align*}

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.


Spiegelung an der x-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der x-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle -v.

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die x-Koordinate aus, während die y-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*}

\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\ \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Spiegelung an der y-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der y-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi-v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der negativen x-Achse)

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die y-Koordinate aus, während die x-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*}

\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Spiegelung an der Geraden y = x

[Image]


Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi/2 - v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der positiven y-Achse).


Durch die Spiegelung tauschen die x- und die y- Koordinaten ihre Plätze.

\displaystyle \begin{align*}

\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Drehung um den Winkel \displaystyle \mathbf{\pi/2}

[Image]


Durch eine Umdrehung von \displaystyle \pi/2 wird der Winkel \displaystyle v zu \displaystyle v+\pi/2.

Durch die Drehung wird die Koordinate \displaystyle (x,y) zu \displaystyle (-y,x).

\displaystyle \begin{align*}

\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\ \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.} \end{align*}


D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie \displaystyle \sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme

\displaystyle \begin{align*}

\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Um die Doppelwinkelfunktionen \displaystyle \sin 2v und \displaystyle \cos 2v zu erhalten, kann man die Sonderfälle \displaystyle \sin(v + v) und \displaystyle \cos(v + v) der Additionstheoreme betrachten

\displaystyle \begin{align*}

\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\ \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\ \end{align*}

Indem man in diese Formel \displaystyle 2v mit \displaystyle v ersetzt und natürlich auch \displaystyle v mit \displaystyle v/2, erhält man für \displaystyle \cos 2v

\displaystyle

\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term \displaystyle \cos^2(v/2) los

\displaystyle

\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

also

\displaystyle

\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}

Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term \displaystyle \sin^2(v/2) loszuwerden. So erhalten wir statt dessen

\displaystyle

\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenken folgendes:

Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.

Nützliche Websites

Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.3_Trigonometrische_Eigenschaften“