4.3 Trigonometrische Eigenschaften

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
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{{Gewählter Tab|[[4.3 Trigonometrische Eigenschaften|Theorie]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[4.3 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*Trigonometriska ettan
+
* Der trigonometrische Pythagoras
-
*Formeln för dubbla och halva vinkeln
+
* Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
-
*Additions- och subtraktionsformlerna
+
* Die Additionstheoreme
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Härleda trigonometriska samband från symmetrier i enhetscirkeln.
+
* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
-
*Förenkla trigonometriska uttryck med hjälp av de trigonometriska sambanden.
+
* Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.
}}
}}
-
== Inledning ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangensvärden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriska samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k '''trigonometriska ettan''' och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.
+
== A - Einführung ==
 +
Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.
-
 
+
== B - Der trigonometrische Pythagoras ==
-
== Trigonometriska ettan ==
+
{| width="100%"
{| width="100%"
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-
Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln till höger visar att
+
Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass
-
{{Fristående formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
-
vilket brukar skrivas <math>\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1</math>.
+
das normalerweise als <math>\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1</math> geschrieben wird.
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-
{{:4.3 - Figur - Trigonometriska ettan}}
+
{{:4.3 - Bild - Sats des Pythagoras}}
|}
|}
-
== Symmetrier ==
+
== C - Symmetrien ==
-
Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.
+
Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\begin{align*}
+
\begin{align*}
-
\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\end{align*}
+
\end{align*}
-
\qquad\quad
+
\qquad\quad
-
\begin{align*}
+
\begin{align*}
-
\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
+
\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
-
\sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
+
\sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
-
\cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
+
\cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
-
\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
+
\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
-
\end{align*}
+
\end{align*}
</math>}}
</math>}}
</div>
</div>
-
Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln.
+
Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.
-
'''Spegling i ''x''-axeln'''
+
'''Spiegelung an der ''x''-Achse'''
{|
{|
|-
|-
| width=50% valign=top align="center" |
| width=50% valign=top align="center" |
-
{{:4.3 - Figur - Spegling i x-axeln}}
+
{{:4.3 - Bild - Reflektion in der x-Achse}}
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
När en vinkel <math>v</math> speglas i ''x''-axeln blir den <math>-v</math>.
+
Durch Spiegelung an der ''x''-Achse wird der Winkel <math>v</math>, <math>-v</math>.
-
 
+
Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''x''-Koordinate aus, während die ''y''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
-
Speglingen påverkar inte ''x''-koordinaten medan ''y''-koordinaten byter tecken
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
-
\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
+
\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
-
\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
+
\end{align*}</math>}}
-
\end{align*}</math>}}
+
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'''Spegling i ''y''-axeln'''
+
'''Spiegelung an der ''y''-Achse'''
{|
{|
|-
|-
| width=50% valign=top align="center" |
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-
{{:4.3 - Figur - Spegling i y-axeln}}
+
{{:4.3 - Bild - Reflektion in der y-Achse}}
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
Vid spegling i ''y''-axeln ändras vinkeln <math>v</math> till <math>\pi-v</math> (spegelbilden bildar vinkeln <math>v</math> mot den negativa ''x''-axeln).
+
Durch Spiegelung an der ''y''-Achse wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi-v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der negativen ''x''-Achse)
 +
Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''y''-Koordinate aus, während die ''x''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
-
Speglingen påverkar inte ''y''-koordinaten medan ''x''-koordinaten byter tecken
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
-
\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
+
\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
-
\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
+
\end{align*}</math>}}
-
\end{align*}</math>}}
+
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-
'''Spegling i linjen ''y = x'' '''
+
''' Spiegelung an der Geraden ''y = x'' '''
{|
{|
|-
|-
| width=50% valign=top align="center" |
| width=50% valign=top align="center" |
-
{{:4.3 - Figur - Spegling i linjen y = x}}
+
{{:4.3 - Bild - Reflektion in der Geraden y = x}}
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
Vinkeln <math>v</math> ändras till vinkeln <math>\pi/2 - v</math> (spegelbilden bildar vinkeln <math>v</math> mot den positiva ''y''-axeln).
+
Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).
-
Speglingen gör att ''x''- och ''y''-koordinaterna byter plats
+
Durch die Spiegelung tauschen die ''x''- und die ''y''- Koordinaten ihre Plätze.
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
 
-
\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
+
\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
 +
\end{align*}</math>}}
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-
'''Vridning med vinkeln <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
+
''' Drehung um den Winkel <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
{|
{|
|-
|-
| width=50% valign=top align="center" |
| width=50% valign=top align="center" |
-
{{:4.3 - Figur - Vridning med vinkeln π/2}}
+
{{:4.3 - Bild - Rotation mit dem Winkel π/2}}
| width=40% valign=top |
| width=40% valign=top |
<br>
<br>
-
En vridning <math>\pi/2</math> av vinkeln <math>v</math> betyder att vinkeln blir <math>v+ \pi/2</math>.
+
Durch eine Umdrehung von <math>\pi/2</math> wird der Winkel <math>v</math> zu <math>v+\pi/2</math>.
-
 
+
Durch die Drehung wird die Koordinate <math>(x,y)</math> zu <math>(-y,x)</math>.
-
Vridningen gör att ''x''-koordinaten blir ny ''y''-koordinat och ''y''-koordinaten blir ny ''x''-koordinat fast med omvänt tecken
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
-
\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
+
\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
-
\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
+
\end{align*}</math>}}
-
\end{align*}</math>}}
+
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-
Alternativt kan man få fram dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där <math>\cos v</math> uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen för cosinus så att den passar med sinuskurvan. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller det sig att skriva <math>\cos v = \sin (v + \pi / 2)</math>. För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på <math>v</math>.
+
== D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==
-
 
+
-
<center>{{:4.3 - Figur - Kurvorna y = cos x och y = sin x}}</center>
+
-
 
+
-
 
+
-
Kontroll: <math>\ \cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)=1</math>.
+
-
 
+
-
 
+
-
== Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln ==
+
-
Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. <math>\sin(u+v)</math>. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus har formlerna utseendet
+
Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
+
\cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs <math>\sin 2v</math> eller <math>\cos 2v</math>, så kan man skriva uttrycken som <math>\sin(v + v)</math> eller <math>\cos(v + v)</math> och använda additionsformlerna ovan och få
+
Um die Doppelwinkelfunktionen <math>\sin 2v</math> und <math>\cos 2v</math> zu erhalten, kann man die Sonderfälle <math>\sin(v + v)</math> und <math>\cos(v + v)</math> der Additionstheoreme betrachten
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
+
\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
-
\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
+
\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
Ur dessa samband kan vi sedan få fram formler för halva vinkeln. Genom att byta ut <math>2v</math> mot <math>v</math>, och följdaktligen <math>v</math> mot <math>v/2</math>, i formeln för <math>\cos 2v</math> får vi att
+
Indem man in diese Formel <math>2v</math> mit <math>v</math> ersetzt und natürlich auch <math>v</math> mit <math>v/2</math>, erhält man für <math>\cos 2v</math>
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Vill vi ha en formel för <math>\sin(v/2)</math> så använder vi därefter den trigonometriska ettan för att bli av med <math>\cos^2(v/2)</math>
+
Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term <math>\cos^2(v/2)</math> los
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
+
\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
-
= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
+
= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
-
dvs.
+
also
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
På motsvarande sätt kan vi med den trigonometriska ettan göra oss av med <math>\sin^2(v/2)</math>. Då får vi istället
+
Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term <math>\sin^2(v/2)</math> loszuwerden. So erhalten wir statt dessen
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
 +
<br><br>
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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[[4.3 Övningar|Övningar]]
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.3 Übungen|Übungen]]''' .
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<div class="inforuta">
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'''Råd för inläsning'''
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'''Grund- och slutprov'''
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Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
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'''Tänk på att:'''
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Enhetscirkeln är ett ovärderligt hjälpmedel för att hitta trigonometriska samband. Sådana finns det gott om och det är ingen idé att försöka lära sig alla utantill. Det är också tidsödande att behöva slå upp och leta fram dem hela tiden. Därför är det mycket bättre att du lär dig använda enhetscirkeln.
+
-
 
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Den allra mest kända trigonometriska formeln är den s k trigonometriska ettan. Den gäller för alla vinklar, inte bara för spetsiga. Den hänger ihop med Pythagoras sats.
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'''Lästips'''
+
<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Tipps fürs Lernen'''
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för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
+
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/43_trig_formler/432_addisionsformlerna/index.asp Läs mer om trigonometriska formler i Theducations gymnasielexikon]
+
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/43_trig_formler/432_addisionsformlerna/index.asp Läs mer om area-, sinus och cosinussatserna i Theducations gymnasielexikon]
 
-
[http://matmin.kevius.com/trigonometri.html Läs mer om trigonometri i Bruno Kevius matematiska ordlista]
+
'''Bedenken folgendes:'''
 +
Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.
-
'''Länktips'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experimentera med cosinus "lådan"]
+
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.) ]
-
[http://www.kth.se Testa dig själv i trigonometri - slå ditt eget ekord]
 
</div>
</div>

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der trigonometrische Pythagoras
  • Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
  • Die Additionstheoreme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
  • Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.

B - Der trigonometrische Pythagoras

Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass

\displaystyle (\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}

das normalerweise als \displaystyle \sin^2\!v + \cos^2\!v = 1 geschrieben wird.

[Image]


C - Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

\displaystyle

\begin{align*} \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\ \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\ \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\ \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\ \end{align*}

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.


Spiegelung an der x-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der x-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle -v.

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die x-Koordinate aus, während die y-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*}

\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\ \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Spiegelung an der y-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der y-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi-v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der negativen x-Achse)

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die y-Koordinate aus, während die x-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*}

\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Spiegelung an der Geraden y = x

[Image]


Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi/2 - v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der positiven y-Achse).


Durch die Spiegelung tauschen die x- und die y- Koordinaten ihre Plätze.

\displaystyle \begin{align*}

\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Drehung um den Winkel \displaystyle \mathbf{\pi/2}

[Image]


Durch eine Umdrehung von \displaystyle \pi/2 wird der Winkel \displaystyle v zu \displaystyle v+\pi/2.

Durch die Drehung wird die Koordinate \displaystyle (x,y) zu \displaystyle (-y,x).

\displaystyle \begin{align*}

\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\ \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.} \end{align*}


D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie \displaystyle \sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme

\displaystyle \begin{align*}

\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Um die Doppelwinkelfunktionen \displaystyle \sin 2v und \displaystyle \cos 2v zu erhalten, kann man die Sonderfälle \displaystyle \sin(v + v) und \displaystyle \cos(v + v) der Additionstheoreme betrachten

\displaystyle \begin{align*}

\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\ \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\ \end{align*}

Indem man in diese Formel \displaystyle 2v mit \displaystyle v ersetzt und natürlich auch \displaystyle v mit \displaystyle v/2, erhält man für \displaystyle \cos 2v

\displaystyle

\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term \displaystyle \cos^2(v/2) los

\displaystyle

\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

also

\displaystyle

\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}

Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term \displaystyle \sin^2(v/2) loszuwerden. So erhalten wir statt dessen

\displaystyle

\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}



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Tipps fürs Lernen

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Bedenken folgendes:

Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.

Nützliche Websites

Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.3_Trigonometrische_Eigenschaften“