4.1 Winkel und Kreise

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Gewählter Tab|[[4.1 Winkeln und Kreise|Theorie]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[4.1 Winkel und Kreise|Theorie]]}}
{{Nicht gewählter Tab|[[4.1 Übungen|Übungen]]}}
{{Nicht gewählter Tab|[[4.1 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
-
*Various angle measures (degrees, radians and revolutions)
+
*Verschiedene Winkelmaße (Grade und Radianten)
-
*The Pythagorean theorem
+
*Der Satz des Pythagoras
-
*Formula for distance in the plane
+
*Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten
-
* Equation of a circle
+
*Die Gleichung eines Kreises
}}
}}
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können :
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*To convert between degrees, radians and revolutions.
+
*Winkel von Graden auf Radianten umwandeln.
-
*To calculate the area and circumference of sectors of a circle.
+
*Die Fläche und Länge eines Kreissektors berechnen.
-
*The concepts of right-angled triangles including its legs and hypotenuse.
+
*Die Begriffe Kathete und Hypotenuse kennen.
-
*To formulate and use the Pythagorean theorem.
+
*Das Gesetz des Pythagoras kennen und beherrschen.
-
*To calculate the distance between two points in the plane.
+
*Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen.
-
*To sketch circles by completing the square in their equations.
+
*Kreise zeichnen, die durch eine Gleichung definiert sind.
-
*The concepts of unit circle, tangent, radius, diameter, circumference, chord and arc.
+
*Die Begriffe Einheitskreis, Tangente, Radius, Durchmesser, Umkreis, Sehne und Kreissektor kennen.
-
*To solve geometric problems that contain circles.
+
*Geometrische Probleme mit Kreisen lösen.
}}
}}
-
== Winkeleinheiten ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Es gibt viele verschiedene Winkeleinheiten, die in verschiedenen Gebieten verwendet werden. Die zwei häufigsten sind Grad und Radiant.
+
== A - Winkeleinheiten ==
-
*'''Grad.''' Wenn man einen Kreis in 360 gleich große Stücke aufteilt, hat ein Stück den Winkel. Man bezeichnet die Einheit Grad mit <math>{}^\circ</math>.
+
Es gibt viele verschiedene Winkeleinheiten, die in verschiedenen Bereichen verwendet werden. Die zwei häufigsten sind Grad und Radiant.
 +
 
 +
*'''Grad.''' Wenn man einen Kreis in 360 gleich große Stücke aufteilt, wird jedes Teil ein Grad genannt. Man bezeichnet die Einheit Grad mit <math>{}^\circ</math>.
[[Image:Gradskiva - 57°.gif||center]]
[[Image:Gradskiva - 57°.gif||center]]
-
*'''Radiant.''' Eine andere Winkeleinheit ist der Radiant. Der Radiant wird oft ''rad'' geschrieben. Ein Radiant wird definiert dadurch dass ein Kreis den Winkel <math>2\pi</math> rad hat.
+
*'''Radiant.''' Eine andere Winkeleinheit ist der Radiant. Der Radiant wird oft ''rad'' geschrieben. Ein Radiant wird definiert dadurch, dass ein Kreis den Winkel <math>2\pi</math> rad hat.
[[Image:Gradskiva - Radianer.gif||center]]
[[Image:Gradskiva - Radianer.gif||center]]
-
Ein Vollreis besteht aus <math>360^\circ</math> oder <math>2\pi</math> rad, und also ist
+
Ein Vollwinkel besteht aus <math>360^\circ</math> oder <math>2\pi</math> rad, also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians }
+
&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians }
-
= \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians,}\\
+
= \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians,}\\
-
&1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ
+
&1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ
-
= \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
+
= \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
Mit diesen Verhältnis kann man Winkeln zwischen den Einheiten Grad und Radiant umwandeln.
+
Mit diesem Verhältnis kann man Winkel von den Einheiten Grad in Radiant umwandeln.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 66: Zeile 68:
</div>
</div>
-
Manchmal spricht man von Winkeln die negativ oder größer als <math>360 \, ^{\circ}</math> sind. Dies bedeutet dass ein Punkt am Kreis durch mehreren Winkeln repräsentiert werden kann.
+
Manchmal spricht man von Winkeln, die negativ oder größer als <math>360 \, ^{\circ}</math> sind. Dies bedeutet, dass ein Punkt am Kreis durch mehrere Winkel repräsentiert werden kann.
<center>{{:4.1 - Bild - Die Winkeln 45°, -315° und 405°}}</center>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Winkeln 45°, -315° und 405°}}</center>
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Die Winkeln <math>-55^\circ</math> und <math>665^\circ
+
<li> Die Winkel <math>-55^\circ</math> und <math>665^\circ
-
</math> repräsentieren denselben Punkt nachdem
+
</math> repräsentieren denselben Punkt, weil
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li> Die Winkeln <math>\frac{3\pi}{7}</math> und <math>
+
<li> Die Winkel <math>\frac{3\pi}{7}</math> und <math>
-
-\frac{11\pi}{7}</math> repräsentieren denselben Punkt nachdem
+
-\frac{11\pi}{7}</math> repräsentieren denselben Punkt, weil
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li> Die Winkeln <math>36^\circ</math> und <math>
+
<li> Die Winkel <math>36^\circ</math> und <math>
-
216^\circ</math> repräsentieren nicht denselben Punkt nachdem
+
216^\circ</math> repräsentieren nicht denselben Punkt, weil
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
Neben dem Vollwinkel sind noch folgende Ausdrücke von Bedeutung:
 +
* Spitzer Winkel: Ein Winkel, der kleiner ist als <math> \frac{1}{4} </math> des Vollwinkels. Also für einen Winkel x: <math> 0 < x < 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} </math>
 +
* Rechter Winkel: Ein Winkel von genau <math> 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} </math>.
 +
* Stumpfer Winkel: Ein Winkel, der größer als <math> \frac{1}{4} </math> aber kleiner als <math> \frac{1}{2} </math> des Vollwinkels ist. Also für einen Winkel x: <math> 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} < x < 180^\circ \text{ bzw. } \pi </math>
-
== Abstand zwischen zwei Punkten ==
+
== B - Abstand zwischen zwei Punkten ==
-
Der Satz des Pythagoras ist einer der Berühmtesten Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras sagt dass wenn <math>a</math> und <math>b</math> die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind, und <math>c</math> die Hypotenuse eines Dreiecks ist, dann ist
+
Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras sagt: wenn <math>a</math> und <math>b</math> die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind und <math>c</math> die Hypotenuse, dann gilt:
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 110: Zeile 116:
|width="100%"| Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras:
|width="100%"| Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras:
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25</math>}}
-
und deshalb ist
+
und daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}</math>}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5}}
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</div>
</div>
-
Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.
+
Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden, um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.
<div class="regel">
<div class="regel">
'''Abstand zwischen zwei Punkten:'''
'''Abstand zwischen zwei Punkten:'''
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</div>
</div>
-
Die Gerade zwischen den beiden Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind.
+
Die Gerade zwischen den beiden Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks, wobei die Katheten parallel zu den Koordinatenachsen sind.
<center>{{:4.1 - Bild - Die Abstandsformel}}</center>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Abstandsformel}}</center>
-
Die Katheten des Dreiecks sind die Unterschiede in der ''x''- und ''y''-Richtung für die Punkte, also <math>|x-a|</math> und <math>|y-b|</math>. Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir den Abstand zwischen den Punkten.
+
Die Katheten des Dreiecks sind die Unterschiede in ''x''- bzw. in ''y''-Richtung der Punkte, also <math>|x-a|</math> und <math>|y-b|</math>. Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir den Abstand zwischen den Punkten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 136: Zeile 142:
<li>Der Abstand zwischen <math>(1,2)</math> und <math>(3,1)</math> ist
<li>Der Abstand zwischen <math>(1,2)</math> und <math>(3,1)</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
+
d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
-
= \sqrt{(-2)^2 + 1^2}
+
= \sqrt{(-2)^2 + 1^2}
-
= \sqrt{ 4+1}
+
= \sqrt{ 4+1}
-
= \sqrt{5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= \sqrt{5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
<li>Der Abstand zwischen <math>(-1,0)</math> und <math>(-2,-5)</math> ist
<li>Der Abstand zwischen <math>(-1,0)</math> und <math>(-2,-5)</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
+
d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
-
= \sqrt{1^2 + 5^2}
+
= \sqrt{1^2 + 5^2}
-
= \sqrt{1+25}
+
= \sqrt{1+25}
-
= \sqrt{26}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= \sqrt{26}\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
== Kreise ==
+
== C - Kreise ==
-
Ein Kreis besteht aus allen Punkten die auf den Abstand <math>r</math> von einen Punkt <math>(a,b)</math> liegen.
+
Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die auf dem Abstand <math>r</math> von einem bestimmten Punkt <math>(a,b)</math> liegen.
<center>{{:4.1 - Bild - Kreis}}</center>
<center>{{:4.1 - Bild - Kreis}}</center>
-
Der Abstand <math>r</math> ist der Radius des Kreises, und der punkt <math>(a,b)</math> ist der Mittelpunkt des Kreises. Das Bild zeigt andere Wichtige Begriffe eines Kreises.
+
Der Abstand <math>r</math> ist der Radius des Kreises und der Punkt <math>(a,b)</math> dessen Mittelpunkt. Das Bild zeigt andere wichtige Begriffe eines Kreises.
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 168: Zeile 174:
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Bild - Sekante}}
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Bild - Sekante}}
|-
|-
-
|align="center"|Diameter
+
|align="center"|Durchmesser
||
||
-
|align="center"|Tangent
+
|align="center"|Tangente
||
||
-
|align="center"| Chord
+
|align="center"|Sehne
||
||
-
|align="center"| Secant
+
|align="center"|Sekante
-
|-
+
-
|height="15px"|
+
|-
|-
|align="center"|{{:4.1 - Bild - Kreisbogen}}
|align="center"|{{:4.1 - Bild - Kreisbogen}}
Zeile 186: Zeile 190:
|align="center"|{{:4.1 - Bild - Kreissegment}}
|align="center"|{{:4.1 - Bild - Kreissegment}}
|-
|-
-
|align="center"| Arc of a circle
+
|align="center"|Kreisbogen
||
||
-
|align="center"| circumference
+
|align="center"|Umfang
||
||
-
|align="center"| sector of a circle
+
|align="center"|Sektor eines Kreises
||
||
-
|align="center"|segment of a circle
+
|align="center"|Segment eines Kreises
|}
|}
 +
 +
 +
Nützliche Formeln zur Berechnung des Kreisumfanges und der Kreisfläche.
 +
<div class="regel">
 +
{{Abgesetzte Formel|| Kreisumfang <math> = 2 \pi r </math>
 +
Kreisfläche <math> = \pi r^2 </math> }}
 +
</div>
 +
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 201: Zeile 213:
||Ein Kreisbogen ist in der Figur eingezeichnet.
||Ein Kreisbogen ist in der Figur eingezeichnet.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Bestimmen Sie die Länge des Kreisbogens
+
<li> Bestimme die Länge des Kreisbogens
<br>
<br>
<br>
<br>
Der Winkel <math>50^\circ</math> ist in Radianten
Der Winkel <math>50^\circ</math> ist in Radianten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
+
50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
-
= 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad }
+
= 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad }
-
= \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ rad. }</math>}}
+
= \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ rad. }</math>}}
</li>
</li>
</ol>
</ol>
Zeile 215: Zeile 227:
|}
|}
<ol style="list-style-type:none; padding-top:0; margin-top:0;">
<ol style="list-style-type:none; padding-top:0; margin-top:0;">
-
<li>Laut Definition des Radianten, ist die Länge des Kreisbogens, der Winkel in Radianten multipliziert mit den Radius,
+
<li>Laut Definition des Radianten ist die Länge des Kreisbogens der Winkel in Radianten multipliziert mit dem Radius
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{units }
+
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ Einheiten }
-
= \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }</math>}}</li>
+
= \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }</math>}}</li>
</ol>
</ol>
<ol type="a" start="2">
<ol type="a" start="2">
Zeile 226: Zeile 238:
Der Kreissektor nimmt den Anteil
Der Kreissektor nimmt den Anteil
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}</math>}}
+
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}</math>}}
-
der Fläche des Kreises auf. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors <math>\frac{5}{36}</math> von der ganzen Fläche des Kreises, welche <math>\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi</math> ist. Also ist die Fläche des Kreissektors
+
der Fläche des Kreises ein. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors <math>\frac{5}{36}</math> von der ganzen Fläche des Kreises, welche <math>\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi</math> ist. Also ist die Fläche des Kreissektors
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }</math>}}</li>
+
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Die Punkte <math>(x,y)</math> die auf den Kreis mit dem Mittelpunkt <math>(a,b)</math> und mit dem Radius <math>r</math> liegen, können durch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten beschrieben werden.
+
Die Punkte <math>(x,y)</math>, die auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt <math>(a,b)</math> und dem Radius <math>r</math> liegen, können durch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten beschrieben werden.
<div class="regel">
<div class="regel">
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 254: Zeile 266:
|width="100%"|
|width="100%"|
<ol type="a" start=2>
<ol type="a" start=2>
-
<li><math>x^2 + (y-1)^2 = 1\quad</math> ist <math>(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1</math> und ist also die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(0,1)</math> und dem Radius <math>\sqrt{1} = 1</math>.</li>
+
<li><math>x^2 + (y-1)^2 = 1\quad</math>: Es gilt <math>(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1</math>, also ist dies die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(0,1)</math> und dem Radius <math>\sqrt{1} = 1</math>.</li>
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + (y - 1)² = 1}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + (y - 1)² = 1}}
Zeile 260: Zeile 272:
|width="100%"|
|width="100%"|
<ol type="a" start=3>
<ol type="a" start=3>
-
<li><math>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad</math> ist <math>(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5</math> und also die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(-1,3)</math> und dem Radius <math>\sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236</math>.</li>
+
<li><math>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad</math>: es ist <math>(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5</math>, also ist dies Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(-1,3)</math> und dem Radius <math>\sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236</math>.</li>
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x + 1)² + (y - 3)² = 5}}
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x + 1)² + (y - 3)² = 5}}
Zeile 273: Zeile 285:
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Wir kontrollieren ob <math>x=1</math> und <math>y=2</math> die Gleichung des Kreises Erfüllen
+
Wir kontrollieren, ob <math>x=1</math> und <math>y=2</math> die Gleichung des Kreises erfüllen:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\mbox{Linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\
+
\mbox{linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\
-
&= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.}
+
&= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.
Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 4)² + y² = 13}}</center></li>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 4)² + y² = 13}}</center></li>
-
<li> Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis der den Mittelpunkt <math>(3,4)</math> hat, und durch den Punkt <math>(1,0)</math> geht.
+
<li> Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis, der den Mittelpunkt <math>(3,4)</math> hat und durch den Punkt <math>(1,0)</math> geht.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Nachdem der Punkt <math>(1,0)</math> auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesen Punkt und dem Mittelpunkt <math>(3,4)</math>, der Radius des Kreises sein. Also haben wir
+
Nachdem der Punkt <math>(1,0)</math> auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt <math>(3,4)</math> der Radius des Kreises sein. Also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}</math>}}
+
c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{}</math>}}
-
Und die Gleichung des Kreises ist daher
+
und die Gleichung des Kreises lautet:
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}</math>}}
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 3)² + (y - 4)² = 20}}</center></li>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 3)² + (y - 4)² = 20}}</center></li>
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''' Beispiel 8'''
''' Beispiel 8'''
-
Bestimmen Sie den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung <math>\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0</math>.
+
Bestimme den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung <math>\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0</math>.
-
Wir wollen die Gleichung des Kreises auf der Form
+
Wir wollen die Gleichung des Kreises auf die Form
{{Abgesetzte Formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2</math>}}
bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als <math>(a,b)</math> ablesen, und den Radius als <math>r</math>.
bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als <math>(a,b)</math> ablesen, und den Radius als <math>r</math>.
-
Wir benutzen zuerst quadratische Ergänzung für alle <math>x</math>-Terme auf der linken Seite
+
Wir benutzen zuerst die quadratische Ergänzung für alle <math>x</math>-Terme auf der linken Seite
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
+
\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
-
= \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1</math>}}
+
= \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1</math>}}
-
(Wir haben nur die unterstrichenen Terme manipuliert)
+
(Wir haben nur die unterstrichenen Terme verändert)
-
Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung für alle <math>y</math>-Terme
+
Jetzt benutzen wir die quadratische Ergänzung für alle <math>y</math>-Terme
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
+
(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
-
= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}</math>}}
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= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}</math>}}
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Die Linke Seite ist also
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Die linke Seite ist also
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2-4 </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2-4 </math>}}
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Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren erhalten wir
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Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}</math>}}
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Also hat der Kreis den Mittelpunkt <math>(1,-2)</math>, und den Radius <math>\sqrt{4}= 2</math>.
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Also hat der Kreis den Mittelpunkt <math>(1,-2)</math> und den Radius <math>\sqrt{4}= 2</math>.
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0}}</center>
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0}}</center>
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Bedenken Sie folgendes:'''
'''Bedenken Sie folgendes:'''
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'''Literaturhinweise'''
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Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references:
 
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[http://sv.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_sats Learn more about Pythagoras theorem in English Wikipedia ]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras Mehr über den Satz des Pythagoras in der Wikipedia ]
-
[http://mathworld.wolfram.com/Circle.html Read more in Mathworld about the circle ]
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[http://mathworld.wolfram.com/Circle.html Lies mehr über Kreise auf Mathworld (engl.)]
'''Nützliche Websites'''
'''Nützliche Websites'''
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[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Interactive experiments: the sine and cosine on the unit circle ] (Flash)
+
[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Interaktive Experimente: Sinus und Cosinus im Einheitskreis ] (Flash)
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Verschiedene Winkelmaße (Grade und Radianten)
  • Der Satz des Pythagoras
  • Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten
  • Die Gleichung eines Kreises

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können :

  • Winkel von Graden auf Radianten umwandeln.
  • Die Fläche und Länge eines Kreissektors berechnen.
  • Die Begriffe Kathete und Hypotenuse kennen.
  • Das Gesetz des Pythagoras kennen und beherrschen.
  • Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen.
  • Kreise zeichnen, die durch eine Gleichung definiert sind.
  • Die Begriffe Einheitskreis, Tangente, Radius, Durchmesser, Umkreis, Sehne und Kreissektor kennen.
  • Geometrische Probleme mit Kreisen lösen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Winkeleinheiten

Es gibt viele verschiedene Winkeleinheiten, die in verschiedenen Bereichen verwendet werden. Die zwei häufigsten sind Grad und Radiant.

  • Grad. Wenn man einen Kreis in 360 gleich große Stücke aufteilt, wird jedes Teil ein Grad genannt. Man bezeichnet die Einheit Grad mit \displaystyle {}^\circ.
  • Radiant. Eine andere Winkeleinheit ist der Radiant. Der Radiant wird oft rad geschrieben. Ein Radiant wird definiert dadurch, dass ein Kreis den Winkel \displaystyle 2\pi rad hat.


Ein Vollwinkel besteht aus \displaystyle 360^\circ oder \displaystyle 2\pi rad, also ist

\displaystyle \begin{align*}

&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians,}\\ &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.} \end{align*}

Mit diesem Verhältnis kann man Winkel von den Einheiten Grad in Radiant umwandeln.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad } = \frac{\pi}{6}\ \mbox{ rad }
  2. \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radians } = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{rad}\,) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

Manchmal spricht man von Winkeln, die negativ oder größer als \displaystyle 360 \, ^{\circ} sind. Dies bedeutet, dass ein Punkt am Kreis durch mehrere Winkel repräsentiert werden kann.

[Image]

Beispiel 2

  1. Die Winkel \displaystyle -55^\circ und \displaystyle 665^\circ repräsentieren denselben Punkt, weil
    \displaystyle

    -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}

  2. Die Winkel \displaystyle \frac{3\pi}{7} und \displaystyle -\frac{11\pi}{7} repräsentieren denselben Punkt, weil
    \displaystyle

    \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}

  3. Die Winkel \displaystyle 36^\circ und \displaystyle 216^\circ repräsentieren nicht denselben Punkt, weil
    \displaystyle

    36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Neben dem Vollwinkel sind noch folgende Ausdrücke von Bedeutung:

  • Spitzer Winkel: Ein Winkel, der kleiner ist als \displaystyle \frac{1}{4} des Vollwinkels. Also für einen Winkel x: \displaystyle 0 < x < 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2}
  • Rechter Winkel: Ein Winkel von genau \displaystyle 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} .
  • Stumpfer Winkel: Ein Winkel, der größer als \displaystyle \frac{1}{4} aber kleiner als \displaystyle \frac{1}{2} des Vollwinkels ist. Also für einen Winkel x: \displaystyle 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} < x < 180^\circ \text{ bzw. } \pi

B - Abstand zwischen zwei Punkten

Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras sagt: wenn \displaystyle a und \displaystyle b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind und \displaystyle c die Hypotenuse, dann gilt:

Satz des Pythagoras:
\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 3

Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras:
\displaystyle c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25

und daher ist

\displaystyle c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}

[Image]

Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden, um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand zwischen zwei Punkten:

Der Abstand \displaystyle d zwischen den Punkten \displaystyle (x,y) und \displaystyle (a,b) ist

\displaystyle d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}

Die Gerade zwischen den beiden Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks, wobei die Katheten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

[Image]

Die Katheten des Dreiecks sind die Unterschiede in x- bzw. in y-Richtung der Punkte, also \displaystyle |x-a| und \displaystyle |y-b|. Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir den Abstand zwischen den Punkten.

Beispiel 4

  1. Der Abstand zwischen \displaystyle (1,2) und \displaystyle (3,1) ist
    \displaystyle

    d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}

  2. Der Abstand zwischen \displaystyle (-1,0) und \displaystyle (-2,-5) ist
    \displaystyle

    d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}


C - Kreise

Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die auf dem Abstand \displaystyle r von einem bestimmten Punkt \displaystyle (a,b) liegen.

[Image]

Der Abstand \displaystyle r ist der Radius des Kreises und der Punkt \displaystyle (a,b) dessen Mittelpunkt. Das Bild zeigt andere wichtige Begriffe eines Kreises.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Durchmesser Tangente Sehne Sekante

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Kreisbogen Umfang Sektor eines Kreises Segment eines Kreises


Nützliche Formeln zur Berechnung des Kreisumfanges und der Kreisfläche.

Kreisumfang \displaystyle = 2 \pi r

Kreisfläche \displaystyle = \pi r^2


Beispiel 5

Ein Kreisbogen ist in der Figur eingezeichnet.
  1. Bestimme die Länge des Kreisbogens

    Der Winkel \displaystyle 50^\circ ist in Radianten
    \displaystyle

    50^\circ = 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ rad. }

[Image]

  1. Laut Definition des Radianten ist die Länge des Kreisbogens der Winkel in Radianten multipliziert mit dem Radius
    \displaystyle

    3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ Einheiten } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }

  1. Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors

    Der Kreissektor nimmt den Anteil
    \displaystyle

    \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}

    der Fläche des Kreises ein. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors \displaystyle \frac{5}{36} von der ganzen Fläche des Kreises, welche \displaystyle \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi ist. Also ist die Fläche des Kreissektors

    \displaystyle

    \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }

Die Punkte \displaystyle (x,y), die auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt \displaystyle (a,b) und dem Radius \displaystyle r liegen, können durch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten beschrieben werden.

Die Gleichung eines Kreises:
\displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 6

  1. \displaystyle (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (1,2) und dem Radius \displaystyle \sqrt{9} = 3.

[Image]

  1. \displaystyle x^2 + (y-1)^2 = 1\quad: Es gilt \displaystyle (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1, also ist dies die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (0,1) und dem Radius \displaystyle \sqrt{1} = 1.

[Image]

  1. \displaystyle (x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad: es ist \displaystyle (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5, also ist dies Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (-1,3) und dem Radius \displaystyle \sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236.

[Image]

Beispiel 7

  1. Liegt der Punkt \displaystyle (1,2) auf dem Kreis \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?

    Wir kontrollieren, ob \displaystyle x=1 und \displaystyle y=2 die Gleichung des Kreises erfüllen:
    \displaystyle \begin{align*}

    \mbox{linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\ &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.} \end{align*}

    Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.

    [Image]

  2. Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis, der den Mittelpunkt \displaystyle (3,4) hat und durch den Punkt \displaystyle (1,0) geht.

    Nachdem der Punkt \displaystyle (1,0) auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt \displaystyle (3,4) der Radius des Kreises sein. Also haben wir
    \displaystyle

    c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{}

    und die Gleichung des Kreises lautet:

    \displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

    [Image]


Beispiel 8

Bestimme den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.


Wir wollen die Gleichung des Kreises auf die Form

\displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2

bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als \displaystyle (a,b) ablesen, und den Radius als \displaystyle r.

Wir benutzen zuerst die quadratische Ergänzung für alle \displaystyle x-Terme auf der linken Seite

\displaystyle

\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(Wir haben nur die unterstrichenen Terme verändert)

Jetzt benutzen wir die quadratische Ergänzung für alle \displaystyle y-Terme

\displaystyle

(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Die linke Seite ist also

\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2-4

Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir

\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}

Also hat der Kreis den Mittelpunkt \displaystyle (1,-2) und den Radius \displaystyle \sqrt{4}= 2.

[Image]



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über den Satz des Pythagoras in der Wikipedia

Lies mehr über Kreise auf Mathworld (engl.)


Nützliche Websites

Interaktive Experimente: Sinus und Cosinus im Einheitskreis (Flash)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.1_Winkel_und_Kreise“