4.1 Winkel und Kreise

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
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-
{{Mall:Vald flik|[[4.1 Vinklar och cirklar|Teori]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[4.1 Winkel und Kreise|Theorie]]}}
-
{{Mall:Ej vald flik|[[4.1 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[4.1 Übungen|Übungen]]}}
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
+
*Verschiedene Winkelmaße (Grade und Radianten)
-
*Pythagoras sats
+
*Der Satz des Pythagoras
-
*Avståndsformeln i planet
+
*Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten
-
*Cirkelns ekvation
+
*Die Gleichung eines Kreises
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können :
-
*Omvandla mellan grader, radianer och varv.
+
*Winkel von Graden auf Radianten umwandeln.
-
*Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
+
*Die Fläche und Länge eines Kreissektors berechnen.
-
*Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
+
*Die Begriffe Kathete und Hypotenuse kennen.
-
*Formulera och använda Pythagoras sats.
+
*Das Gesetz des Pythagoras kennen und beherrschen.
-
*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
+
*Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen.
-
*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
+
*Kreise zeichnen, die durch eine Gleichung definiert sind.
-
*Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
+
*Die Begriffe Einheitskreis, Tangente, Radius, Durchmesser, Umkreis, Sehne und Kreissektor kennen.
-
*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.
+
*Geometrische Probleme mit Kreisen lösen.
}}
}}
-
== Vinkelmått ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.
+
== A - Winkeleinheiten ==
-
*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är <math>{}^\circ</math>.
+
Es gibt viele verschiedene Winkeleinheiten, die in verschiedenen Bereichen verwendet werden. Die zwei häufigsten sind Grad und Radiant.
-
[[Bild:Gradskiva - 57°.gif||center]]
+
*'''Grad.''' Wenn man einen Kreis in 360 gleich große Stücke aufteilt, wird jedes Teil ein Grad genannt. Man bezeichnet die Einheit Grad mit <math>{}^\circ</math>.
-
*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså <math>2\pi</math> radianer eftersom cirkelns omkrets är <math>2\pi r</math>, där <math>r</math> är cirkelns radie.
+
[[Image:Gradskiva - 57°.gif||center]]
-
[[Bild:Gradskiva - Radianer.gif||center]]
+
*'''Radiant.''' Eine andere Winkeleinheit ist der Radiant. Der Radiant wird oft ''rad'' geschrieben. Ein Radiant wird definiert dadurch, dass ein Kreis den Winkel <math>2\pi</math> rad hat.
 +
[[Image:Gradskiva - Radianer.gif||center]]
-
Ett helt varv är <math>360^\circ</math> eller <math>2\pi</math> radianer och det gör att
+
 
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
Ein Vollwinkel besteht aus <math>360^\circ</math> oder <math>2\pi</math> rad, also ist
-
&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer }
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
= \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\\
+
&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians }
-
&1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ
+
= \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians,}\\
-
= \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
+
&1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ
-
\end{align*}</math>}}
+
= \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
-
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.
+
\end{align*}</math>}}
 +
Mit diesem Verhältnis kann man Winkel von den Einheiten Grad in Radiant umwandeln.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ
<li><math>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ
-
= 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer }
+
= 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad }
-
= \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }</math></li>
+
= \frac{\pi}{6}\ \mbox{ rad }</math></li>
-
<li><math>\frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer }
+
<li><math>\frac{\pi}{8}\ \mbox { radians }
-
= \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,)
+
= \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{rad}\,)
= \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
= \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
= 22{,}5^\circ</math></li>
= 22{,}5^\circ</math></li>
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</div>
</div>
-
I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.
+
Manchmal spricht man von Winkeln, die negativ oder größer als <math>360 \, ^{\circ}</math> sind. Dies bedeutet, dass ein Punkt am Kreis durch mehrere Winkel repräsentiert werden kann.
-
<center>{{:4.1 - Figur - Vinklarna 45°, -315° och 405°}}</center>
+
<center>{{:4.1 - Bild - Die Winkeln 45°, -315° und 405°}}</center>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Vinklarna <math>-55^\circ</math> och <math>665^\circ
+
<li> Die Winkel <math>-55^\circ</math> und <math>665^\circ
-
</math> anger samma riktning eftersom
+
</math> repräsentieren denselben Punkt, weil
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Vinklarna <math>\frac{3\pi}{7}</math> och <math>
+
<li> Die Winkel <math>\frac{3\pi}{7}</math> und <math>
-
-\frac{11\pi}{7}</math> anger samma riktning eftersom
+
-\frac{11\pi}{7}</math> repräsentieren denselben Punkt, weil
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Vinklarna <math>36^\circ</math> och <math>
+
<li> Die Winkel <math>36^\circ</math> und <math>
-
216^\circ</math> anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
+
216^\circ</math> repräsentieren nicht denselben Punkt, weil
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
Neben dem Vollwinkel sind noch folgende Ausdrücke von Bedeutung:
 +
* Spitzer Winkel: Ein Winkel, der kleiner ist als <math> \frac{1}{4} </math> des Vollwinkels. Also für einen Winkel x: <math> 0 < x < 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} </math>
 +
* Rechter Winkel: Ein Winkel von genau <math> 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} </math>.
 +
* Stumpfer Winkel: Ein Winkel, der größer als <math> \frac{1}{4} </math> aber kleiner als <math> \frac{1}{2} </math> des Vollwinkels ist. Also für einen Winkel x: <math> 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} < x < 180^\circ \text{ bzw. } \pi </math>
-
== Avståndsformeln ==
+
== B - Abstand zwischen zwei Punkten ==
-
Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter <math>a</math> och <math>b</math>, och hypotenusa <math>c</math> gäller att
+
Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras sagt: wenn <math>a</math> und <math>b</math> die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind und <math>c</math> die Hypotenuse, dann gilt:
<div class="regel">
<div class="regel">
{|width="100%"
{|width="100%"
-
|width="100%"|'''Pythagoras sats:'''
+
|width="100%"|'''Satz des Pythagoras:'''
-
{{Fristående formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}</math>}}
-
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Pythagoras sats}}
+
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Satz des Pythagoras}}
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
{| width="100%"
{| width="100%"
-
|width="100%"|I triangeln till höger är
+
|width="100%"| Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras:
-
{{Fristående formel||<math>c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25</math>}}
-
och därför är hypotenusan <math>c</math> lika med
+
und daher ist
-
{{Fristående formel||<math>c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}</math>}}
-
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Rätvinklig triangel med sidor 3, 4 och 5}}
+
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5}}
|}
|}
</div>
</div>
-
Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.
+
Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden, um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Avståndsformeln:'''
+
'''Abstand zwischen zwei Punkten:'''
-
Avståndet <math>d</math> mellan två punkter med koordinater <math>(x,y)</math> och <math>(a,b)</math> är
+
Der Abstand <math>d</math> zwischen den Punkten <math>(x,y)</math> und <math>(a,b)</math> ist
-
{{Fristående formel||<math>d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.
+
Die Gerade zwischen den beiden Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks, wobei die Katheten parallel zu den Koordinatenachsen sind.
-
<center>{{:4.1 - Figur - Avståndsformeln}}</center>
+
<center>{{:4.1 - Bild - Die Abstandsformel}}</center>
-
Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. <math>|x-a|</math> respektive <math>|y-b|</math>. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
+
Die Katheten des Dreiecks sind die Unterschiede in ''x''- bzw. in ''y''-Richtung der Punkte, also <math>|x-a|</math> und <math>|y-b|</math>. Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir den Abstand zwischen den Punkten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Avståndet mellan <math>(1,2)</math> och <math>(3,1)</math> är
+
<li>Der Abstand zwischen <math>(1,2)</math> und <math>(3,1)</math> ist
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
+
d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
-
= \sqrt{(-2)^2 + 1^2}
+
= \sqrt{(-2)^2 + 1^2}
-
= \sqrt{ 4+1}
+
= \sqrt{ 4+1}
-
= \sqrt{5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= \sqrt{5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Avståndet mellan <math>(-1,0)</math> och <math>(-2,-5)</math> är
+
<li>Der Abstand zwischen <math>(-1,0)</math> und <math>(-2,-5)</math> ist
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
+
d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
-
= \sqrt{1^2 + 5^2}
+
= \sqrt{1^2 + 5^2}
-
= \sqrt{1+25}
+
= \sqrt{1+25}
-
= \sqrt{26}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= \sqrt{26}\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
== Cirklar ==
+
== C - Kreise ==
-
En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd <math>r</math> från en punkt <math>(a,b)</math>.
+
Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die auf dem Abstand <math>r</math> von einem bestimmten Punkt <math>(a,b)</math> liegen.
-
<center>{{:4.1 - Figur - Cirkel}}</center>
+
<center>{{:4.1 - Bild - Kreis}}</center>
-
 
+
Der Abstand <math>r</math> ist der Radius des Kreises und der Punkt <math>(a,b)</math> dessen Mittelpunkt. Das Bild zeigt andere wichtige Begriffe eines Kreises.
-
Avståndet <math>r</math> kallas för cirkelns radie och punkten <math>(a,b)</math> för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
+
{| align="center"
{| align="center"
-
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Figur - Diameter}}
+
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Bild - Diameter}}
|width="15px"|
|width="15px"|
-
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Figur - Tangent}}
+
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Bild - Tangente}}
|width="15px"|
|width="15px"|
-
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Figur - Korda}}
+
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Bild - Chordale eines Kreises}}
|width="15px"|
|width="15px"|
-
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Figur - Sekant}}
+
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Bild - Sekante}}
|-
|-
-
|align="center"|Diameter
+
|align="center"|Durchmesser
||
||
-
|align="center"|Tangent
+
|align="center"|Tangente
||
||
-
|align="center"|Korda
+
|align="center"|Sehne
||
||
-
|align="center"|Sekant
+
|align="center"|Sekante
-
|-
+
-
|height="15px"|
+
|-
|-
-
|align="center"|{{:4.1 - Figur - Cirkelbåge}}
+
|align="center"|{{:4.1 - Bild - Kreisbogen}}
||
||
-
|align="center"|{{:4.1 - Figur - Periferi}}
+
|align="center"|{{:4.1 - Bild - Umfang}}
||
||
-
|align="center"|{{:4.1 - Figur - Cirkelsektor}}
+
|align="center"|{{:4.1 - Bild - Kreissektor}}
||
||
-
|align="center"|{{:4.1 - Figur - Cirkelsegment}}
+
|align="center"|{{:4.1 - Bild - Kreissegment}}
|-
|-
-
|align="center"|Cirkelbåge
+
|align="center"|Kreisbogen
||
||
-
|align="center"|Periferi
+
|align="center"|Umfang
||
||
-
|align="center"|Cirkelsektor
+
|align="center"|Sektor eines Kreises
||
||
-
|align="center"|Cirkelsegment
+
|align="center"|Segment eines Kreises
|}
|}
 +
 +
 +
Nützliche Formeln zur Berechnung des Kreisumfanges und der Kreisfläche.
 +
<div class="regel">
 +
{{Abgesetzte Formel|| Kreisumfang <math> = 2 \pi r </math>
 +
Kreisfläche <math> = \pi r^2 </math> }}
 +
</div>
 +
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
{| width="100%"
{| width="100%"
-
||En cirkelsektor är given i figuren till höger.
+
||Ein Kreisbogen ist in der Figur eingezeichnet.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Bestäm cirkelbågens längd.
+
<li> Bestimme die Länge des Kreisbogens
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Medelpunktsvinkeln <math>50^\circ</math> blir i radianer
+
Der Winkel <math>50^\circ</math> ist in Radianten
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
+
50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
-
= 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer }
+
= 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad }
-
= \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }</math>}}
+
= \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ rad. }</math>}}
</li>
</li>
</ol>
</ol>
|align="right" valign="top"|
|align="right" valign="top"|
-
{{:4.1 - Figur - Cirkelsektor 50°}}
+
{{:4.1 - Bild - 50° Kreissektor}}
|}
|}
<ol style="list-style-type:none; padding-top:0; margin-top:0;">
<ol style="list-style-type:none; padding-top:0; margin-top:0;">
-
<li>På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
+
<li>Laut Definition des Radianten ist die Länge des Kreisbogens der Winkel in Radianten multipliziert mit dem Radius
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. }
+
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ Einheiten }
-
= \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }</math>}}</li>
+
= \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }</math>}}</li>
</ol>
</ol>
<ol type="a" start="2">
<ol type="a" start="2">
-
<li>Bestäm cirkelsektorns area.
+
<li>Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
+
Der Kreissektor nimmt den Anteil
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}</math>}}
+
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}</math>}}
-
och det betyder att dess area är <math>\frac{5}{36}</math> delar av cirkelns area som är <math>\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi</math>, dvs.
+
der Fläche des Kreises ein. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors <math>\frac{5}{36}</math> von der ganzen Fläche des Kreises, welche <math>\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi</math> ist. Also ist die Fläche des Kreissektors
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }</math>}}</li>
+
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
En punkt <math>(x,y)</math> ligger på cirkeln som har medelpunkt i <math>(a,b)</math> och radie <math>r</math> om dess avstånd till medelpunkten är lika med <math>r</math>. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
+
Die Punkte <math>(x,y)</math>, die auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt <math>(a,b)</math> und dem Radius <math>r</math> liegen, können durch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten beschrieben werden.
<div class="regel">
<div class="regel">
{| width="100%"
{| width="100%"
-
||'''Cirkelns ekvation:'''
+
||'''Die Gleichung eines Kreises: '''
-
{{Fristående formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}</math>}}
-
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Cirkelns ekvation}}
+
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Gleichung eines Kreises}}
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
{| width="100%"
{| width="100%"
|-
|-
|width="100%"|
|width="100%"|
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad</math> är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i <math>(1,2)</math> och radie <math>\sqrt{9} = 3</math>.</li>
+
<li><math>(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad</math> ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(1,2)</math> und dem Radius <math>\sqrt{9} = 3</math>.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Ekvationen (x - 1)² + (y - 2)² = 9}}
+
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 1)² + (y - 2)² = 9}}
|-
|-
|width="100%"|
|width="100%"|
<ol type="a" start=2>
<ol type="a" start=2>
-
<li><math>x^2 + (y-1)^2 = 1\quad</math> kan skrivas som <math>(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1</math> och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i <math>(0,1)</math> och radie <math>\sqrt{1} = 1</math>.</li>
+
<li><math>x^2 + (y-1)^2 = 1\quad</math>: Es gilt <math>(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1</math>, also ist dies die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(0,1)</math> und dem Radius <math>\sqrt{1} = 1</math>.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Ekvationen x² + (y - 1)² = 1}}
+
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + (y - 1)² = 1}}
|-
|-
|width="100%"|
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<ol type="a" start=3>
<ol type="a" start=3>
-
<li><math>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad</math> kan skrivas som <math>(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5</math> och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i <math>(-1,3)</math> och radie <math>\sqrt{5} \approx 2{,}236</math>.</li>
+
<li><math>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad</math>: es ist <math>(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5</math>, also ist dies Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt <math>(-1,3)</math> und dem Radius <math>\sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236</math>.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Ekvationen (x + 1)² + (y - 3)² = 5}}
+
|align="right"|{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x + 1)² + (y - 3)² = 5}}
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Ligger punkten <math>(1,2)</math> på cirkeln <math>(x-4)^2 +y^2=13</math>?
+
<li> Liegt der Punkt <math>(1,2)</math> auf dem Kreis <math>(x-4)^2 +y^2=13</math>?
<br>
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-
Stoppar vi in punktens koordinater <math>x=1</math> och <math>y=2</math> i cirkelns ekvation har vi att
+
Wir kontrollieren, ob <math>x=1</math> und <math>y=2</math> die Gleichung des Kreises erfüllen:
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\mbox{VL } &= (1-4)^2+2^2\\
+
\mbox{linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\
-
&= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{HL}\,\mbox{.}
+
&= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.
+
Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.
-
<center>{{:4.1 - Figur - Ekvationen (x - 4)² + y² = 13}}</center></li>
+
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 4)² + y² = 13}}</center></li>
-
<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i <math>(3,4)</math> och innehåller punkten <math>(1,0)</math>.
+
<li> Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis, der den Mittelpunkt <math>(3,4)</math> hat und durch den Punkt <math>(1,0)</math> geht.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Eftersom punkten <math>(1,0)</math> ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från <math>(1,0)</math> till medelpunkten <math>(3,4)</math>. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
+
Nachdem der Punkt <math>(1,0)</math> auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt <math>(3,4)</math> der Radius des Kreises sein. Also haben wir
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}</math>}}
+
c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{}</math>}}
-
Cirkelns ekvation är därför
+
und die Gleichung des Kreises lautet:
-
{{Fristående formel||<math>(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}</math>}}
-
<center>{{:4.1 - Figur - Ekvationen (x - 3)² + (y - 4)² = 20}}</center></li>
+
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung (x - 3)² + (y - 4)² = 20}}</center></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Zeile 296: Zeile 307:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
-
Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är <math>\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0</math>.
+
Bestimme den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung <math>\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0</math>.
-
Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen
+
Wir wollen die Gleichung des Kreises auf die Form
-
{{Fristående formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2</math>}}
-
för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är <math>(a,b)</math> och radien är <math>r</math>.
+
bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als <math>(a,b)</math> ablesen, und den Radius als <math>r</math>.
-
Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller <math>x</math> i vänsterledet
+
Wir benutzen zuerst die quadratische Ergänzung für alle <math>x</math>-Terme auf der linken Seite
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
+
\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
-
= \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1</math>}}
+
= \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1</math>}}
-
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).
+
(Wir haben nur die unterstrichenen Terme verändert)
-
Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller <math>y</math>
+
Jetzt benutzen wir die quadratische Ergänzung für alle <math>y</math>-Terme
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
+
(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
-
= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}</math>}}
+
= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}</math>}}
 +
Die linke Seite ist also
 +
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2-4 </math>}}
-
Vänsterledet är alltså lika med
+
Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2-4 </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}</math>}}
-
och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation
+
Also hat der Kreis den Mittelpunkt <math>(1,-2)</math> und den Radius <math>\sqrt{4}= 2</math>.
-
{{Fristående formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}</math>}}
+
-
Vi avläser att medelpunkten är <math>(1,-2)</math> och radien är <math>\sqrt{4}= 2</math>.
+
<center>{{:4.1 - Bild - Die Gleichung x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0}}</center>
-
 
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<center>{{:4.1 - Figur - Ekvationen x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0}}</center>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.1 Übungen|Übungen]]''' .
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[[4.1 Övningar|Övningar]]
 
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Råd för inläsning'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
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'''Grund- och slutprov'''
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Bedenken Sie folgendes:'''
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'''Tänk på att:'''
 
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'''Literaturhinweise'''
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'''Lästips'''
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Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
 
-
[http://sv.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_sats Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras Mehr über den Satz des Pythagoras in der Wikipedia ]
-
[http://mathworld.wolfram.com/Circle.html Läs mer i Mathworld om cirkeln]
+
[http://mathworld.wolfram.com/Circle.html Lies mehr über Kreise auf Mathworld (engl.)]
-
'''Länktips'''
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'''Nützliche Websites'''
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[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln] (Flash)
+
[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Interaktive Experimente: Sinus und Cosinus im Einheitskreis ] (Flash)
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Verschiedene Winkelmaße (Grade und Radianten)
  • Der Satz des Pythagoras
  • Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten
  • Die Gleichung eines Kreises

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können :

  • Winkel von Graden auf Radianten umwandeln.
  • Die Fläche und Länge eines Kreissektors berechnen.
  • Die Begriffe Kathete und Hypotenuse kennen.
  • Das Gesetz des Pythagoras kennen und beherrschen.
  • Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen.
  • Kreise zeichnen, die durch eine Gleichung definiert sind.
  • Die Begriffe Einheitskreis, Tangente, Radius, Durchmesser, Umkreis, Sehne und Kreissektor kennen.
  • Geometrische Probleme mit Kreisen lösen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Winkeleinheiten

Es gibt viele verschiedene Winkeleinheiten, die in verschiedenen Bereichen verwendet werden. Die zwei häufigsten sind Grad und Radiant.

  • Grad. Wenn man einen Kreis in 360 gleich große Stücke aufteilt, wird jedes Teil ein Grad genannt. Man bezeichnet die Einheit Grad mit \displaystyle {}^\circ.
  • Radiant. Eine andere Winkeleinheit ist der Radiant. Der Radiant wird oft rad geschrieben. Ein Radiant wird definiert dadurch, dass ein Kreis den Winkel \displaystyle 2\pi rad hat.


Ein Vollwinkel besteht aus \displaystyle 360^\circ oder \displaystyle 2\pi rad, also ist

\displaystyle \begin{align*}

&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radians } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radians,}\\ &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.} \end{align*}

Mit diesem Verhältnis kann man Winkel von den Einheiten Grad in Radiant umwandeln.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad } = \frac{\pi}{6}\ \mbox{ rad }
  2. \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radians } = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{rad}\,) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

Manchmal spricht man von Winkeln, die negativ oder größer als \displaystyle 360 \, ^{\circ} sind. Dies bedeutet, dass ein Punkt am Kreis durch mehrere Winkel repräsentiert werden kann.

[Image]

Beispiel 2

  1. Die Winkel \displaystyle -55^\circ und \displaystyle 665^\circ repräsentieren denselben Punkt, weil
    \displaystyle

    -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}

  2. Die Winkel \displaystyle \frac{3\pi}{7} und \displaystyle -\frac{11\pi}{7} repräsentieren denselben Punkt, weil
    \displaystyle

    \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}

  3. Die Winkel \displaystyle 36^\circ und \displaystyle 216^\circ repräsentieren nicht denselben Punkt, weil
    \displaystyle

    36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Neben dem Vollwinkel sind noch folgende Ausdrücke von Bedeutung:

  • Spitzer Winkel: Ein Winkel, der kleiner ist als \displaystyle \frac{1}{4} des Vollwinkels. Also für einen Winkel x: \displaystyle 0 < x < 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2}
  • Rechter Winkel: Ein Winkel von genau \displaystyle 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} .
  • Stumpfer Winkel: Ein Winkel, der größer als \displaystyle \frac{1}{4} aber kleiner als \displaystyle \frac{1}{2} des Vollwinkels ist. Also für einen Winkel x: \displaystyle 90^\circ \text{ bzw. } \frac{\pi}{2} < x < 180^\circ \text{ bzw. } \pi

B - Abstand zwischen zwei Punkten

Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras sagt: wenn \displaystyle a und \displaystyle b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind und \displaystyle c die Hypotenuse, dann gilt:

Satz des Pythagoras:
\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 3

Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras:
\displaystyle c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25

und daher ist

\displaystyle c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}

[Image]

Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden, um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand zwischen zwei Punkten:

Der Abstand \displaystyle d zwischen den Punkten \displaystyle (x,y) und \displaystyle (a,b) ist

\displaystyle d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}

Die Gerade zwischen den beiden Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks, wobei die Katheten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

[Image]

Die Katheten des Dreiecks sind die Unterschiede in x- bzw. in y-Richtung der Punkte, also \displaystyle |x-a| und \displaystyle |y-b|. Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir den Abstand zwischen den Punkten.

Beispiel 4

  1. Der Abstand zwischen \displaystyle (1,2) und \displaystyle (3,1) ist
    \displaystyle

    d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}

  2. Der Abstand zwischen \displaystyle (-1,0) und \displaystyle (-2,-5) ist
    \displaystyle

    d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}


C - Kreise

Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die auf dem Abstand \displaystyle r von einem bestimmten Punkt \displaystyle (a,b) liegen.

[Image]

Der Abstand \displaystyle r ist der Radius des Kreises und der Punkt \displaystyle (a,b) dessen Mittelpunkt. Das Bild zeigt andere wichtige Begriffe eines Kreises.

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Durchmesser Tangente Sehne Sekante

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

Kreisbogen Umfang Sektor eines Kreises Segment eines Kreises


Nützliche Formeln zur Berechnung des Kreisumfanges und der Kreisfläche.

Kreisumfang \displaystyle = 2 \pi r

Kreisfläche \displaystyle = \pi r^2


Beispiel 5

Ein Kreisbogen ist in der Figur eingezeichnet.
  1. Bestimme die Länge des Kreisbogens

    Der Winkel \displaystyle 50^\circ ist in Radianten
    \displaystyle

    50^\circ = 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ rad. }

[Image]

  1. Laut Definition des Radianten ist die Länge des Kreisbogens der Winkel in Radianten multipliziert mit dem Radius
    \displaystyle

    3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ Einheiten } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }

  1. Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors

    Der Kreissektor nimmt den Anteil
    \displaystyle

    \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}

    der Fläche des Kreises ein. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors \displaystyle \frac{5}{36} von der ganzen Fläche des Kreises, welche \displaystyle \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi ist. Also ist die Fläche des Kreissektors

    \displaystyle

    \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }

Die Punkte \displaystyle (x,y), die auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt \displaystyle (a,b) und dem Radius \displaystyle r liegen, können durch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten beschrieben werden.

Die Gleichung eines Kreises:
\displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 6

  1. \displaystyle (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (1,2) und dem Radius \displaystyle \sqrt{9} = 3.

[Image]

  1. \displaystyle x^2 + (y-1)^2 = 1\quad: Es gilt \displaystyle (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1, also ist dies die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (0,1) und dem Radius \displaystyle \sqrt{1} = 1.

[Image]

  1. \displaystyle (x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad: es ist \displaystyle (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5, also ist dies Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (-1,3) und dem Radius \displaystyle \sqrt{5} \approx 2\textrm{.}236.

[Image]

Beispiel 7

  1. Liegt der Punkt \displaystyle (1,2) auf dem Kreis \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?

    Wir kontrollieren, ob \displaystyle x=1 und \displaystyle y=2 die Gleichung des Kreises erfüllen:
    \displaystyle \begin{align*}

    \mbox{linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\ &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.} \end{align*}

    Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.

    [Image]

  2. Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis, der den Mittelpunkt \displaystyle (3,4) hat und durch den Punkt \displaystyle (1,0) geht.

    Nachdem der Punkt \displaystyle (1,0) auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt \displaystyle (3,4) der Radius des Kreises sein. Also haben wir
    \displaystyle

    c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{}

    und die Gleichung des Kreises lautet:

    \displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

    [Image]


Beispiel 8

Bestimme den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.


Wir wollen die Gleichung des Kreises auf die Form

\displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2

bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als \displaystyle (a,b) ablesen, und den Radius als \displaystyle r.

Wir benutzen zuerst die quadratische Ergänzung für alle \displaystyle x-Terme auf der linken Seite

\displaystyle

\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(Wir haben nur die unterstrichenen Terme verändert)

Jetzt benutzen wir die quadratische Ergänzung für alle \displaystyle y-Terme

\displaystyle

(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Die linke Seite ist also

\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2-4

Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir

\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}

Also hat der Kreis den Mittelpunkt \displaystyle (1,-2) und den Radius \displaystyle \sqrt{4}= 2.

[Image]



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über den Satz des Pythagoras in der Wikipedia

Lies mehr über Kreise auf Mathworld (engl.)


Nützliche Websites

Interaktive Experimente: Sinus und Cosinus im Einheitskreis (Flash)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.1_Winkel_und_Kreise“