3.4 Logarithmusgleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
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* Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.
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* Einfache Logarithmusgleichungen durch logarithmieren lösen.
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* Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
* Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
* Scheingleichungen erkennen.
* Scheingleichungen erkennen.
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* Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und den Exponent.
+
* Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.
}}
}}
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== Einfache Gleichungen ==
 
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Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein Paar Beispiele wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten.
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== A - Einfache Gleichungen ==
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Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
+
10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
-
e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
+
e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
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\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)
(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)
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''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
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Lösen Sie die Gleichungen
+
Löse die Gleichungen
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>10^x = 537\quad</math> hat die Lösung <math>x = \lg 537</math>.</li>
<li><math>10^x = 537\quad</math> hat die Lösung <math>x = \lg 537</math>.</li>
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<li><math>\lg x = 3 \quad</math> hat die Lösung <math>
<li><math>\lg x = 3 \quad</math> hat die Lösung <math>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
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<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> Von der Fefinition des Logarithmus bekommen wir <math>
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<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> Von der Definition des Logarithmus bekommen wir <math>
2x-4 = 10^2 = 100</math> und also <math>x = 52</math>.</li>
2x-4 = 10^2 = 100</math> und also <math>x = 52</math>.</li>
</ol>
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<ol type="a">
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
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Nachdem <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> ist die Linke Seite <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> und wir haben die Gleichung
+
Nachdem <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> ist die linke Seite <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> und wir haben die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
Diese Gleichung hat die Lösung <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, also <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>
Diese Gleichung hat die Lösung <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, also <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>
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<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
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Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3
{{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
und erhalten durch die Definition dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und also ist
+
und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
</ol>
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-
 
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In der Praxis erscheinen Gleichungen in der Form
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In vielen Anwendungen erscheinen Gleichungen auf der Form
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{{Abgesetzte Formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
-
wo <math>a</math> und <math>b</math>positive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachstem indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
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wobei <math>a</math> und <math> b</math> positive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachsten, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
-
 
+
also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.
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und also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.
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<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\,3^x = 20</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\,3^x = 20</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>
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<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000</math>.
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Wir dividieren beide Seiten durch 5000
Wir dividieren beide Seiten durch 5000
{{Abgesetzte Formel||<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
-
Indem wir beide Seiten logarithmieren, und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,
+
Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,
-
<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
+
<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
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-
Wir schreiben die linke Seite wie <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> mit den Logarithmengesetzen, und erhalten
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Wir schreiben die linke Seite als <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> mit den Potenzgesetzen und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so
Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>
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<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
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Wir logarithmieren beide Seiten, und verwenden das Logarithmengesetz <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
+
Wir logarithmieren beide Seiten und verwenden das Logarithmengesetz <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
-
Wir bringen <math>x</math> auf einer Seite
+
Wir bringen <math>x</math> auf eine Seite
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
-
Die lösung ist also
+
Die Lösung ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
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-
== Kompliziertere Gleichungen ==
+
== B - Kompliziertere Gleichungen ==
-
Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "<math>\ln x</math>" oder "<math>e^x</math>" als unbekannter Variabel betrachtet.
+
Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "<math>\ln x</math>" oder "<math>e^x</math>" als unbekannte Variable betrachtet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
Lösen Sie die Gleichung <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
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Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x}+2</math> um den Nenner zu eliminieren.
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x}+2</math>, um den Nenner zu eliminieren.
{{Abgesetzte Formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}
-
Nachdem <math>e^x</math> und <math>e^{-x}</math> immer positiv sind, für alle <math>x</math>, sind auch die Faktoren <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x} +2</math> positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.
+
Nachdem <math>e^x</math> und <math>e^{-x}</math> für alle <math>x</math> immer positiv sind, sind auch die Faktoren <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x} +2</math> positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.
Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung
Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung
-
{{Abgesetzte Formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{.}</math>}}
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wo wir uns von der Regel <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math> verwendet haben. Wir betrachten jetzt <math>e^x</math> als unbekannter Variabel. Die Lösung der Gleichung ist dann
+
Dabei haben wir <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math> verwendet. Wir betrachten jetzt <math>e^x</math> als unbekannte Variable. Die Lösung der Gleichung ist dann
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung erhalten wir die Antwort
+
Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten wir die Antwort
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
Zeile 168: Zeile 168:
''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
Lösen Sie die Gleichung <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
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Der Term <math>\ln\frac{1}{x}</math> kann wie <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> geschrieben werden, und wir erhalten so die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
+
Der Term <math>\ln\frac{1}{x}</math> kann als <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> geschrieben werden und wir erhalten so die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
-
wo wir <math>\ln x</math> als unbekannter Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\ln x</math> (dieser Faktor ist nicht null wenn <math>x \neq 1</math>) und erhalten die quadratische Gleichung
+
wo wir <math>\ln x</math> als unbekannte Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\ln x</math> (dieser Faktor ist nicht null wenn <math>x \neq 1</math>) und erhalten die quadratische Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
+
\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
-
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
+
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
-
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
+
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
Wir erhalten
Wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}}
+
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{}</math>}}
-
und also die Lösungen
+
und daher die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
+
x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
-
\quad \mbox{och} \quad
+
\quad \mbox{oder} \quad
-
x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
+
x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
== Scheinlösungen ==
+
== C - Scheinlösungen ==
-
Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass <math>e^{(\ldots)}</math> immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko dass wir Scheinlösungen bekommen.
+
Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass <math>e^{(\ldots)}</math> immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko, dass wir Scheinlösungen bekommen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
-
Lösen Sie die Gleichung <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
<br>
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-
Die Lösungen der Gleichung erfüllen
+
Wir suchen Lösungen der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}
-
wo beide Seiten positiv sind. Die Gleichung kann wie
+
wobei beide Seiten zusätzlich positiv ein müssen. Diese Gleichung kann auch als
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}
-
geschrieben werden, und wir erhalten die Wurzeln
+
geschrieben werden und wir erhalten die Wurzeln
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\textstyle x= -\frac{1}{2}
+
\textstyle x= -\frac{1}{2}
-
\quad\mbox{and}\quad
+
\quad\mbox{und}\quad
-
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}
+
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}
-
Jetzt testen wir ob beide Seiten von <math>(*)</math> positiv für unsere Lösungen sind:
+
Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von <math>(*)</math> positiv werden:
-
* Wenn <math>x= -\tfrac{1}{2}</math> sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
+
* Wenn <math>x= -\tfrac{1}{2}</math>, sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
-
* Wenn <math>x= \tfrac{1}{2}</math> sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.
+
* Wenn <math>x= \tfrac{1}{2}</math>, sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.
Die Gleichung hat also nur die eine Lösung <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
Die Gleichung hat also nur die eine Lösung <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
Zeile 236: Zeile 236:
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<br>
-
Der erste Term kann wie <math>e^{2x} = (e^x)^2</math> geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit den unbekannten Variabel <math>e^x</math>
+
Der erste Term kann als <math>e^{2x} = (e^x)^2</math> geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit der unbekannten Variablen <math>e^x</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 244: Zeile 244:
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Quadratische Ergänzung ergibt
+
Die quadratische Ergänzung ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
+
\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
-
&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
+
&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
-
\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
+
\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
-
&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
+
&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
und wir haben die Lösungen
und wir haben die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
+
t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
-
\quad\mbox{and}\quad
+
\quad\mbox{und}\quad
-
t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}
+
t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}
-
Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math> ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, nachdem <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten
+
Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math>, ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, da <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}
+
x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}
als die einzige Lösung der Gleichung.
als die einzige Lösung der Gleichung.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.4 Übungen|Übungen]]''' .
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[[3.4 Übungen|Übungen]]
 
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Bedenken Sie folgendes:'''
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'''Bedenke folgendes:'''
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Lernen Sie die Logarithmengesetze ordentlich.
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Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.
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Viele Studenten in den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
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Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Logarithmusgleichungen
  • Potenzgleichungen
  • Scheinlösungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.
  • Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
  • Scheingleichungen erkennen.
  • Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einfache Gleichungen

Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:

\displaystyle \begin{align*}

10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\ e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\ \end{align*}

(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)

Beispiel 1

Löse die Gleichungen

  1. \displaystyle 10^x = 537\quad hat die Lösung \displaystyle x = \lg 537.
  2. \displaystyle 10^{5x} = 537\quad gibt \displaystyle 5x = \lg 537, also \displaystyle x=\frac{1}{5} \lg 537.
  3. \displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad Wir erweitern beide Seiten mit \displaystyle e^x und dividieren beide Seiten durch 5, und erhalten \displaystyle \tfrac{3}{5}=e^x , also \displaystyle x=\ln\tfrac{3}{5}.
  4. \displaystyle \lg x = 3 \quad hat die Lösung \displaystyle x=10^3 = 1000.
  5. \displaystyle \lg(2x-4) = 2 \quad Von der Definition des Logarithmus bekommen wir \displaystyle 2x-4 = 10^2 = 100 und also \displaystyle x = 52.

Beispiel 2

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \,(\sqrt{10}\,)^x = 25.

    Nachdem \displaystyle \sqrt{10} = 10^{1/2} ist die linke Seite \displaystyle (\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2} und wir haben die Gleichung
    \displaystyle 10^{x/2} = 25\,\mbox{.}
    Diese Gleichung hat die Lösung \displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, also \displaystyle x = 2 \lg 25.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

    Wir multiplizieren beide Seiten mit 2, und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten
    \displaystyle 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}

    Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3

    \displaystyle \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}

    und erhalten durch die Definition, dass \displaystyle 2x = e^{-1/3}, und daher ist

    \displaystyle x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.}

In der Praxis erscheinen Gleichungen in der Form

\displaystyle a^x = b\,\mbox{,}

wobei \displaystyle a und \displaystyle b positive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachsten, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.

\displaystyle \lg a^x = \lg b

Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir

\displaystyle x \cdot \lg a = \lg b

also ist die Lösung \displaystyle \ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}.

Beispiel 3

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \,3^x = 20.

    Wir logarithmieren beide Seiten
    \displaystyle \lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}

    Die linke Seite ist \displaystyle \lg 3^x = x \cdot \lg 3, und daher haben wir

    \displaystyle x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000.

    Wir dividieren beide Seiten durch 5000
    \displaystyle 1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}

    Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung, \displaystyle \lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05,

    \displaystyle x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}

Beispiel 4

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2^x \cdot 3^x = 5.

    Wir schreiben die linke Seite als \displaystyle 2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x mit den Potenzgesetzen und erhalten
    \displaystyle 6^x = 5\,\mbox{.}

    Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so

    \displaystyle x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 5^{2x + 1} = 3^{5x}.

    Wir logarithmieren beide Seiten und verwenden das Logarithmengesetz \displaystyle \lg a^b = b \cdot \lg a
    \displaystyle \eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}

    Wir bringen \displaystyle x auf eine Seite

    \displaystyle \eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}

    Die Lösung ist also

    \displaystyle x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}


B - Kompliziertere Gleichungen

Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "\displaystyle \ln x" oder "\displaystyle e^x" als unbekannte Variable betrachtet.

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}.

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 3e^x+1 und \displaystyle e^{-x}+2, um den Nenner zu eliminieren.

\displaystyle 6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle e^x und \displaystyle e^{-x} für alle \displaystyle x immer positiv sind, sind auch die Faktoren \displaystyle 3e^x+1 und \displaystyle e^{-x} +2 positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.

Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung

\displaystyle 6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{.}

Dabei haben wir \displaystyle e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1 verwendet. Wir betrachten jetzt \displaystyle e^x als unbekannte Variable. Die Lösung der Gleichung ist dann

\displaystyle e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}

Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten wir die Antwort

\displaystyle x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}

Beispiel 6

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1.

Der Term \displaystyle \ln\frac{1}{x} kann als \displaystyle \ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x geschrieben werden und wir erhalten so die Gleichung

\displaystyle \frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}

wo wir \displaystyle \ln x als unbekannte Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle \ln x (dieser Faktor ist nicht null wenn \displaystyle x \neq 1) und erhalten die quadratische Gleichung

\displaystyle 1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}
\displaystyle (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}

für \displaystyle \ln x. Quadratische Ergänzung gibt

\displaystyle \begin{align*}

\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1 &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\ &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\ \end{align*}

Wir erhalten

\displaystyle

\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{}

und daher die Lösungen

\displaystyle

x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2} \quad \mbox{oder} \quad x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}


C - Scheinlösungen

Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass \displaystyle e^{(\ldots)} immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko, dass wir Scheinlösungen bekommen.

Beispiel 7

Löse die Gleichung \displaystyle \,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x).

Wir suchen Lösungen der Gleichung

\displaystyle 4x^2 - 2x = 1 - 2x\,, \displaystyle (*)

wobei beide Seiten zusätzlich positiv ein müssen. Diese Gleichung kann auch als

\displaystyle 4x^2 - 1= 0

geschrieben werden und wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle

\textstyle x= -\frac{1}{2} \quad\mbox{und}\quad x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}

Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von \displaystyle (*) positiv werden:

  • Wenn \displaystyle x= -\tfrac{1}{2}, sind beide Seiten \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0.
  • Wenn \displaystyle x= \tfrac{1}{2}, sind beide Seiten \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0.

Die Gleichung hat also nur die eine Lösung \displaystyle x= -\frac{1}{2}.

Beispiel 8

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}.

Der erste Term kann als \displaystyle e^{2x} = (e^x)^2 geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit der unbekannten Variablen \displaystyle e^x

\displaystyle (e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Wir ersetzen \displaystyle e^x mit \displaystyle t, um die Rechnungen zu vereinfachen

\displaystyle t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Die quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle \begin{align*}

\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\ \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\ \end{align*}

und wir haben die Lösungen

\displaystyle

t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\mbox{und}\quad t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}

Nachdem \displaystyle \sqrt3 > 1, ist \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0 und also ist nur \displaystyle t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3 eine mögliche Lösung, da \displaystyle e^x immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten

\displaystyle

x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)

als die einzige Lösung der Gleichung.



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenke folgendes:

Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.

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