3.4 Logarithmusgleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
{{Selected tab|[[3.4 Logarithmusgleichungen|Theorie]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[3.4 Logarithmusgleichungen|Theorie]]}}
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{{Not selected tab|[[3.4 Übungen|Übungen]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[3.4 Übungen|Übungen]]}}
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Logarithmic equations
+
* Logarithmusgleichungen
-
* Exponential equations
+
* Potenzgleichungen
-
* Spurious roots
+
* Scheinlösungen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
* To solve equations that contain powers and by taking logarithms obtain an equation of the first degree.
+
 
-
* Solve equations that contain logarithm or exponential expressions and which can be reduced to first or second order equations.
+
* Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.
-
* Deal with spurious roots, and know when they arise.
+
* Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
-
* To determine which of two logarithmic expressions is the largest by means of a comparison of bases / arguments.
+
* Scheingleichungen erkennen.
 +
* Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.
}}
}}
-
== Basic Equations ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
 +
 
 +
== A - Einfache Gleichungen ==
-
Equations where logarithms appear can vary a lot. Here are some examples where the solution is given almost immediately by the definition of a logarithm, that is,
+
Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
+
10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
-
e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
+
e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
(We consider only 10-logarithms or natural logarithms.)
+
(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Solve the equations
+
Löse die Gleichungen
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>10^x = 537\quad</math> has a solution <math>x = \lg 537</math>.</li>
+
<li><math>10^x = 537\quad</math> hat die Lösung <math>x = \lg 537</math>.</li>
-
<li><math>10^{5x} = 537\quad</math> gives <math>5x
+
<li><math>10^{5x} = 537\quad</math> gibt <math>5x
-
= \lg 537</math>, i.e. <math>x=\frac{1}{5} \lg 537</math>.</li>
+
= \lg 537</math>, also <math>x=\frac{1}{5} \lg 537</math>.</li>
<li><math>\frac{3}{e^x} = 5 \quad
<li><math>\frac{3}{e^x} = 5 \quad
-
</math> Multiplication of both sides with <math>e^x
+
</math> Wir erweitern beide Seiten mit <math>e^x
-
</math> and division by 5 gives <math>\tfrac{3}{5}=e^x
+
</math> und dividieren beide Seiten durch 5, und erhalten <math>\tfrac{3}{5}=e^x
-
</math>, which means that <math>x=\ln\tfrac{3}{5}</math>.</li>
+
</math>, also <math>x=\ln\tfrac{3}{5}</math>.</li>
-
<li><math>\lg x = 3 \quad</math> The definition gives directly <math>
+
<li><math>\lg x = 3 \quad</math> hat die Lösung <math>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
-
<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> From the definition we have <math>
+
<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> Von der Definition des Logarithmus bekommen wir <math>
-
2x-4 = 10^2 = 100</math> and it follows that <math>x = 52</math>.</li>
+
2x-4 = 10^2 = 100</math> und also <math>x = 52</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Solve the equation <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Since <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> the left-hand side is equal to <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> and the equation becomes
+
Nachdem <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> ist die linke Seite <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> und wir haben die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
-
This equation has a solution <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, ie. <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>
+
Diese Gleichung hat die Lösung <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, also <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>
-
<li>Solve the equation <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Multiply both sides by 2 and then subtracting 2 from both sides
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit 2, und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math> 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}</math>}}
-
Divide both sides by 3
+
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3
{{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Now, the definition directly gives <math>2x = e^{-1/3}</math>, which means that
+
und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
 
+
In der Praxis erscheinen Gleichungen in der Form
-
In many practical applications of exponential growth or decline there appear equations of the type
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
-
where <math>a</math> and <math>b</math> are positive numbers. These equations are best solved by taking the logarithm of both sides
+
wobei <math>a</math> und <math> b</math> positive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachsten, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}
-
and use the law of logarithms for powers
+
Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
-
 
+
also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.
-
which gives the solution <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Solve the equation <math>\,3^x = 20</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\,3^x = 20</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Take logarithms of both sides
+
Wir logarithmieren beide Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}</math>}}
-
The left-hand side can be written as <math>\lg 3^x = x \cdot \lg 3</math> giving
+
Die linke Seite ist <math>\lg 3^x = x \cdot \lg 3</math>, und daher haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Solve the equation <math>\ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Divide both sides by 5000
+
Wir dividieren beide Seiten durch 5000
{{Abgesetzte Formel||<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
-
This equation can be solved by taking the lg logarithm of both sides of and rewriting the left-hand side as <math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
+
Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,
 +
<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
Zeile 112: Zeile 114:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Solve the equation <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The left-hand side can be rewritten using the laws of exponents giving <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> and the equation becomes
+
Wir schreiben die linke Seite als <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> mit den Potenzgesetzen und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
-
This equation is solved in the usual way by taking logarithms giving
+
Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Solve the equation <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Take logarithms of both sides and use the laws of logarithms <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
+
Wir logarithmieren beide Seiten und verwenden das Logarithmengesetz <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
-
Collect <math>x</math> to one side
+
Wir bringen <math>x</math> auf eine Seite
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
-
The solution is
+
Die Lösung ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
Zeile 137: Zeile 139:
-
== Some more complicated equations ==
+
== B - Kompliziertere Gleichungen ==
-
Equations containing exponential or logarithmic expressions can sometimes be treated as first order or second order equations by considering "<math>\ln x</math>" or "<math>e^x</math>" as the unknown variable.
+
Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "<math>\ln x</math>" oder "<math>e^x</math>" als unbekannte Variable betrachtet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Solve the equation <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Multiply both sides by <math>3e^x+1</math> and <math>e^{-x}+2</math> to eliminate the denominators
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x}+2</math>, um den Nenner zu eliminieren.
{{Abgesetzte Formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}
-
Note that since <math>e^x</math> and <math>e^{-x}</math> are always positive regardless of the value of <math>x</math>, in this latest step we have multiplied the equation by factors <math>3e^x+1</math> and <math>e^{-x} +2</math>. Both of these factors are different from zero, so this step cannot introduce new (spurious) roots of the equation.
+
Nachdem <math>e^x</math> und <math>e^{-x}</math> für alle <math>x</math> immer positiv sind, sind auch die Faktoren <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x} +2</math> positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.
 +
 
 +
Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{.}</math>}}
 +
Dabei haben wir <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math> verwendet. Wir betrachten jetzt <math>e^x</math> als unbekannte Variable. Die Lösung der Gleichung ist dann
-
Simplify both sides of the equation
 
-
{{Abgesetzte Formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}</math>}}
 
-
where we used <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math>. If we treat <math>e^x</math> as the unknown variable, the equation is essentially a first order equation which has a solution
 
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Taking logarithms then gives the answer
+
Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten wir die Antwort
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
Solve the equation <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The term <math>\ln\frac{1}{x}</math> can be written as <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> and then the equation becomes
+
Der Term <math>\ln\frac{1}{x}</math> kann als <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> geschrieben werden und wir erhalten so die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
+
wo wir <math>\ln x</math> als unbekannte Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\ln x</math> (dieser Faktor ist nicht null wenn <math>x \neq 1</math>) und erhalten die quadratische Gleichung
-
where we can consider <math>\ln x</math> as a new unknown. We multiply both sides by <math>\ln x</math> (which is different from zero when <math>x \neq 1</math>) and this gives us a quadratic equation in <math>\ln x</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
Completing the square on the left-hand side
+
für <math>\ln x</math>. Quadratische Ergänzung gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
+
\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
-
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
+
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
-
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
+
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
We continue by taking the root giving
+
Wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}}
+
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{}</math>}}
-
This means that the equation has two solutions
+
und daher die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
+
x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
-
\quad \mbox{och} \quad
+
\quad \mbox{oder} \quad
-
x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
+
x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
== Spurious roots ==
+
== C - Scheinlösungen ==
-
When you solve equations you should also bear in mind that the arguments of logarithms have to be positive and that terms of the type <math>e^{(\ldots)}</math> can only have positive values. The risk is otherwise that you get spurious roots.
+
Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass <math>e^{(\ldots)}</math> immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko, dass wir Scheinlösungen bekommen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Solve the equation <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
For the equation to be satisfied the arguments <math>4x^2-2x</math> and <math>1-2x</math> must be equal,
+
Wir suchen Lösungen der Gleichung
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}
-
and also be positive. We solve the equation <math>(*)</math> by moving all of the terms to one side
+
wobei beide Seiten zusätzlich positiv ein müssen. Diese Gleichung kann auch als
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}
-
and take the root. This gives that
+
geschrieben werden und wir erhalten die Wurzeln
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\textstyle x= -\frac{1}{2}
+
\textstyle x= -\frac{1}{2}
-
\quad\mbox{and}\quad
+
\quad\mbox{und}\quad
-
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}
+
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}
-
We now check if both sides of <math>(*)</math> are positive
+
Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von <math>(*)</math> positiv werden:
-
* If <math>x= -\tfrac{1}{2}</math> then both are sides are equal to <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
+
* Wenn <math>x= -\tfrac{1}{2}</math>, sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
-
* If <math>x= \tfrac{1}{2}</math> then both are sides are equal to <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.
+
* Wenn <math>x= \tfrac{1}{2}</math>, sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.
-
So the logarithmic equation has only one solution <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
+
Die Gleichung hat also nur die eine Lösung <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
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<div class="exempel">
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''' Example 8'''
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''' Beispiel 8'''
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Solve the equation <math>\,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}</math>.
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}</math>.
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The first term can be written as <math>e^{2x} = (e^x)^2</math>. The whole equation is a quadratic with <math>e^x</math> as the unknown
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Der erste Term kann als <math>e^{2x} = (e^x)^2</math> geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit der unbekannten Variablen <math>e^x</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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The equation can be a little easier to manage if we write <math>t</math> instead of <math>e^x</math>,
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Wir ersetzen <math>e^x</math> mit <math>t</math>, um die Rechnungen zu vereinfachen
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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Complete the square for the left-hand side.
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Die quadratische Ergänzung ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
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\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
+
\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
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&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
+
&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
-
\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
+
\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
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&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
+
&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
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\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
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which gives solutions
+
und wir haben die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
+
t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
-
\quad\mbox{and}\quad
+
\quad\mbox{und}\quad
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t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}
+
t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}
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Since <math>\sqrt3 > 1</math> then <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> and it is only <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> that provides a solution to the original equation because <math>e^x</math> is always positive. Taking logarithms finally gives that
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Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math>, ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, da <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}
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x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}
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as the only solution to the equation.
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als die einzige Lösung der Gleichung.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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'''Study advice'''
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'''The basic and final tests'''
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Bedenke folgendes:'''
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'''Keep in mind that:'''
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Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.
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You may need to spend much time studying logarithms.
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Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
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Logarithms usually are dealt with summarily in high school. Therefore, many college students tend to encounter problems when it comes to calculations with logarithms.
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Logarithmusgleichungen
  • Potenzgleichungen
  • Scheinlösungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.
  • Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
  • Scheingleichungen erkennen.
  • Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einfache Gleichungen

Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:

\displaystyle \begin{align*}

10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\ e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\ \end{align*}

(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)

Beispiel 1

Löse die Gleichungen

  1. \displaystyle 10^x = 537\quad hat die Lösung \displaystyle x = \lg 537.
  2. \displaystyle 10^{5x} = 537\quad gibt \displaystyle 5x = \lg 537, also \displaystyle x=\frac{1}{5} \lg 537.
  3. \displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad Wir erweitern beide Seiten mit \displaystyle e^x und dividieren beide Seiten durch 5, und erhalten \displaystyle \tfrac{3}{5}=e^x , also \displaystyle x=\ln\tfrac{3}{5}.
  4. \displaystyle \lg x = 3 \quad hat die Lösung \displaystyle x=10^3 = 1000.
  5. \displaystyle \lg(2x-4) = 2 \quad Von der Definition des Logarithmus bekommen wir \displaystyle 2x-4 = 10^2 = 100 und also \displaystyle x = 52.

Beispiel 2

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \,(\sqrt{10}\,)^x = 25.

    Nachdem \displaystyle \sqrt{10} = 10^{1/2} ist die linke Seite \displaystyle (\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2} und wir haben die Gleichung
    \displaystyle 10^{x/2} = 25\,\mbox{.}
    Diese Gleichung hat die Lösung \displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, also \displaystyle x = 2 \lg 25.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

    Wir multiplizieren beide Seiten mit 2, und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten
    \displaystyle 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}

    Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3

    \displaystyle \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}

    und erhalten durch die Definition, dass \displaystyle 2x = e^{-1/3}, und daher ist

    \displaystyle x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.}

In der Praxis erscheinen Gleichungen in der Form

\displaystyle a^x = b\,\mbox{,}

wobei \displaystyle a und \displaystyle b positive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachsten, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.

\displaystyle \lg a^x = \lg b

Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir

\displaystyle x \cdot \lg a = \lg b

also ist die Lösung \displaystyle \ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}.

Beispiel 3

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \,3^x = 20.

    Wir logarithmieren beide Seiten
    \displaystyle \lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}

    Die linke Seite ist \displaystyle \lg 3^x = x \cdot \lg 3, und daher haben wir

    \displaystyle x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000.

    Wir dividieren beide Seiten durch 5000
    \displaystyle 1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}

    Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung, \displaystyle \lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05,

    \displaystyle x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}

Beispiel 4

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2^x \cdot 3^x = 5.

    Wir schreiben die linke Seite als \displaystyle 2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x mit den Potenzgesetzen und erhalten
    \displaystyle 6^x = 5\,\mbox{.}

    Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so

    \displaystyle x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 5^{2x + 1} = 3^{5x}.

    Wir logarithmieren beide Seiten und verwenden das Logarithmengesetz \displaystyle \lg a^b = b \cdot \lg a
    \displaystyle \eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}

    Wir bringen \displaystyle x auf eine Seite

    \displaystyle \eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}

    Die Lösung ist also

    \displaystyle x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}


B - Kompliziertere Gleichungen

Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "\displaystyle \ln x" oder "\displaystyle e^x" als unbekannte Variable betrachtet.

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}.

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 3e^x+1 und \displaystyle e^{-x}+2, um den Nenner zu eliminieren.

\displaystyle 6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle e^x und \displaystyle e^{-x} für alle \displaystyle x immer positiv sind, sind auch die Faktoren \displaystyle 3e^x+1 und \displaystyle e^{-x} +2 positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.

Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung

\displaystyle 6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{.}

Dabei haben wir \displaystyle e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1 verwendet. Wir betrachten jetzt \displaystyle e^x als unbekannte Variable. Die Lösung der Gleichung ist dann

\displaystyle e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}

Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten wir die Antwort

\displaystyle x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}

Beispiel 6

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1.

Der Term \displaystyle \ln\frac{1}{x} kann als \displaystyle \ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x geschrieben werden und wir erhalten so die Gleichung

\displaystyle \frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}

wo wir \displaystyle \ln x als unbekannte Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle \ln x (dieser Faktor ist nicht null wenn \displaystyle x \neq 1) und erhalten die quadratische Gleichung

\displaystyle 1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}
\displaystyle (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}

für \displaystyle \ln x. Quadratische Ergänzung gibt

\displaystyle \begin{align*}

\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1 &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\ &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\ \end{align*}

Wir erhalten

\displaystyle

\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{}

und daher die Lösungen

\displaystyle

x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2} \quad \mbox{oder} \quad x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}


C - Scheinlösungen

Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass \displaystyle e^{(\ldots)} immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko, dass wir Scheinlösungen bekommen.

Beispiel 7

Löse die Gleichung \displaystyle \,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x).

Wir suchen Lösungen der Gleichung

\displaystyle 4x^2 - 2x = 1 - 2x\,, \displaystyle (*)

wobei beide Seiten zusätzlich positiv ein müssen. Diese Gleichung kann auch als

\displaystyle 4x^2 - 1= 0

geschrieben werden und wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle

\textstyle x= -\frac{1}{2} \quad\mbox{und}\quad x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}

Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von \displaystyle (*) positiv werden:

  • Wenn \displaystyle x= -\tfrac{1}{2}, sind beide Seiten \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0.
  • Wenn \displaystyle x= \tfrac{1}{2}, sind beide Seiten \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0.

Die Gleichung hat also nur die eine Lösung \displaystyle x= -\frac{1}{2}.

Beispiel 8

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}.

Der erste Term kann als \displaystyle e^{2x} = (e^x)^2 geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit der unbekannten Variablen \displaystyle e^x

\displaystyle (e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Wir ersetzen \displaystyle e^x mit \displaystyle t, um die Rechnungen zu vereinfachen

\displaystyle t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Die quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle \begin{align*}

\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\ \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\ \end{align*}

und wir haben die Lösungen

\displaystyle

t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\mbox{und}\quad t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}

Nachdem \displaystyle \sqrt3 > 1, ist \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0 und also ist nur \displaystyle t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3 eine mögliche Lösung, da \displaystyle e^x immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten

\displaystyle

x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)

als die einzige Lösung der Gleichung.



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenke folgendes:

Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.

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