3.4 Logarithmusgleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
{{Vald flik|[[3.4 Logaritmekvationer|Teori]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[3.4 Logarithmusgleichungen|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[3.4 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[3.4 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Logaritmekvationer
+
* Logarithmusgleichungen
-
* Exponentialekvationer
+
* Potenzgleichungen
-
* Falska rötter.
+
* Scheinlösungen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
* Lösa ekvationer som innehåller logaritm- eller exponentialuttryck och som kan reduceras till första- eller andragradsekvationer.
+
 
-
* Hantera falska rötter och veta när de uppstår.
+
* Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.
 +
* Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
 +
* Scheingleichungen erkennen.
 +
* Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.
}}
}}
-
== Grundekvationer ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
 +
 
 +
== A - Einfache Gleichungen ==
-
Ekvationer där logaritmer behövs eller är inblandade förekommer i många olika fall. Först ges några exempel där lösningen ges nästan direkt genom definitionen av logaritm, dvs.
+
Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
+
10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
-
e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
+
e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
(Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer.)
+
(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Lös ekvationerna
+
Löse die Gleichungen
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>10^x = 537\quad</math> har lösningen <math>x = \lg 537</math>.</li>
+
<li><math>10^x = 537\quad</math> hat die Lösung <math>x = \lg 537</math>.</li>
-
<li><math>10^{5x} = 537\quad</math> ger att <math>5x
+
<li><math>10^{5x} = 537\quad</math> gibt <math>5x
-
= \lg 537</math>, dvs. <math>x=\frac{1}{5} \lg 537</math>.</li>
+
= \lg 537</math>, also <math>x=\frac{1}{5} \lg 537</math>.</li>
<li><math>\frac{3}{e^x} = 5 \quad
<li><math>\frac{3}{e^x} = 5 \quad
-
</math> Multiplikation av båda led med <math>e^x
+
</math> Wir erweitern beide Seiten mit <math>e^x
-
</math> och division med 5 ger att <math>\tfrac{3}{5}=e^x
+
</math> und dividieren beide Seiten durch 5, und erhalten <math>\tfrac{3}{5}=e^x
-
</math>, vilket betyder att <math>x=\ln\tfrac{3}{5}</math>.</li>
+
</math>, also <math>x=\ln\tfrac{3}{5}</math>.</li>
-
<li><math>\lg x = 3 \quad</math> Definitionen ger direkt att <math>
+
<li><math>\lg x = 3 \quad</math> hat die Lösung <math>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
-
<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> Från definitionen har vi att <math>
+
<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> Von der Definition des Logarithmus bekommen wir <math>
-
2x-4 = 10^2 = 100</math> och då följer att <math>x = 52</math>.</li>
+
2x-4 = 10^2 = 100</math> und also <math>x = 52</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Lös ekvationen <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Eftersom <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> är vänsterledet lika med <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> och ekvationen lyder
+
Nachdem <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> ist die linke Seite <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> und wir haben die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
-
Denna grundekvation har lösningen <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, dvs. <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>
+
Diese Gleichung hat die Lösung <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, also <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>
-
<li>Lös ekvationen <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Multiplicera båda led med 2 och subtrahera sedan 2 från båda led
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit 2, und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten
-
{{Fristående formel||<math> 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}</math>}}
-
Dividera båda led med 3
+
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3
-
{{Fristående formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Nu ger definitionen direkt att <math>2x = e^{-1/3}</math>, vilket betyder att
+
und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist
-
{{Fristående formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
+
{{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
In der Praxis erscheinen Gleichungen in der Form
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
 +
wobei <math>a</math> und <math> b</math> positive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachsten, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
-
I många praktiska tillämpningar rörande exponentiell tillväxt eller avtagande dyker det upp ekvationer av typen
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
+
-
där <math>a</math> och <math>b</math> är positiva tal. Dessa ekvationer löses enklast genom att ta logaritmen för båda led
+
-
{{Fristående formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}
+
Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir
-
och använda logaritmlagen för potenser
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
-
 
+
also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.
-
{{Fristående formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
+
-
 
+
-
vilket ger lösningen <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Lös ekvationen <math>\,3^x = 20</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\,3^x = 20</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Logaritmera båda led
+
Wir logarithmieren beide Seiten
-
{{Fristående formel||<math>\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}</math>}}
-
Vänsterledet kan skrivas som <math>\lg 3^x = x \cdot \lg 3</math> och då får vi att
+
Die linke Seite ist <math>\lg 3^x = x \cdot \lg 3</math>, und daher haben wir
-
{{Fristående formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2{,}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Lös ekvationen <math>\ 5000 \cdot 1{,}05^x = 10\,000</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Dividera båda led med 5000
+
Wir dividieren beide Seiten durch 5000
-
{{Fristående formel||<math>1{,}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
-
Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med lg och skriva om vänsterledet som <math>\lg 1{,}05^x = x\cdot\lg 1{,}05</math>,
+
Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,
-
{{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \quad ({}\approx 14{,}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Lös ekvationen <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Vänsterledet kan skrivas om med potenslagarna till <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> och ekvationen blir
+
Wir schreiben die linke Seite als <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> mit den Potenzgesetzen und erhalten
-
{{Fristående formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
-
Denna ekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får att
+
Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so
-
{{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0{,}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Lös ekvationen <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Logaritmera båda led och använd logaritmlagen <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
+
Wir logarithmieren beide Seiten und verwenden das Logarithmengesetz <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
-
{{Fristående formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
-
Samla <math>x</math> i ena ledet
+
Wir bringen <math>x</math> auf eine Seite
-
{{Fristående formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
-
Lösningen är
+
Die Lösung ist also
-
{{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
Zeile 135: Zeile 139:
-
== Några mer komplicerade ekvationer ==
+
== B - Kompliziertere Gleichungen ==
-
Ekvationer som innehåller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som förstagrads- eller andragradsekvationer genom att betrakta "<math>\ln x</math>" eller "<math>e^x</math>" som obekant.
+
Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "<math>\ln x</math>" oder "<math>e^x</math>" als unbekannte Variable betrachtet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Lös ekvationen <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Multiplicera båda led med <math>3e^x+1</math> och <math>e^{-x}+2</math> för att få bort nämnarna
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x}+2</math>, um den Nenner zu eliminieren.
-
{{Fristående formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}
-
Notera att eftersom <math>e^x</math> och <math>e^{-x}</math> alltid är positiva oavsett värdet på <math>x</math> så multiplicerar vi alltså ekvationen med faktorer <math>3e^x+1</math> och <math>e^{-x} +2</math> som är skilda från noll, så detta steg riskerar inte att introducera nya (falska) rötter till ekvationen.
+
Nachdem <math>e^x</math> und <math>e^{-x}</math> für alle <math>x</math> immer positiv sind, sind auch die Faktoren <math>3e^x+1</math> und <math>e^{-x} +2</math> positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.
-
Förenkla båda led
+
Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{.}</math>}}
-
där vi använt att <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math>. Betraktar vi nu <math>e^x</math> som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen
+
Dabei haben wir <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math> verwendet. Wir betrachten jetzt <math>e^x</math> als unbekannte Variable. Die Lösung der Gleichung ist dann
-
{{Fristående formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
-
En logaritmering ger sedan svaret
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
+
 
 +
Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten wir die Antwort
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
Lös ekvationen <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Termen <math>\ln\frac{1}{x}</math> kan skrivas som <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> och då blir ekvationen
+
Der Term <math>\ln\frac{1}{x}</math> kann als <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> geschrieben werden und wir erhalten so die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
+
wo wir <math>\ln x</math> als unbekannte Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\ln x</math> (dieser Faktor ist nicht null wenn <math>x \neq 1</math>) und erhalten die quadratische Gleichung
-
där vi kan betrakta <math>\ln x</math> som en ny obekant. Multiplicerar vi båda led med <math>\ln x</math> (som är skild från noll när <math>x \neq 1</math>) får vi en andragradsekvation i <math>\ln x</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Kvadratkomplettering av vänsterledet
+
für <math>\ln x</math>. Quadratische Ergänzung gibt
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
+
\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
-
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
+
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
-
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
+
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
följt av rotutdragning ger att
+
Wir erhalten
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}}
+
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{}</math>}}
-
Detta betyder att ekvationen har två lösningar
+
und daher die Lösungen
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
+
x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
-
\quad \mbox{och} \quad
+
\quad \mbox{oder} \quad
-
x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
+
x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
== Falska rötter ==
+
== C - Scheinlösungen ==
-
När man löser ekvationer gäller det också att tänka på att argument till logaritmer måste vara positiva och att uttryck av typen <math>e^{(\ldots)}</math> bara kan anta positiva värden. Risken är annars att man får med falska rötter.
+
Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass <math>e^{(\ldots)}</math> immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko, dass wir Scheinlösungen bekommen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Lös ekvationen <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
För att ekvationen ska vara uppfylld måste argumenten <math>4x^2-2x</math> och <math>1-2x</math> vara lika,
+
Wir suchen Lösungen der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}
-
och dessutom positiva. Vi löser ekvationen <math>(*)</math> genom att flytta över alla termer i ena ledet
+
wobei beide Seiten zusätzlich positiv ein müssen. Diese Gleichung kann auch als
-
{{Fristående formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}
-
och använder rotutdragning. Detta ger att
+
geschrieben werden und wir erhalten die Wurzeln
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\textstyle x= -\frac{1}{2}
+
\textstyle x= -\frac{1}{2}
-
\quad\mbox{och}\quad
+
\quad\mbox{und}\quad
-
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}
+
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}
-
Vi kontrollerar nu om båda led i <math>(*)</math> är positiva
+
Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von <math>(*)</math> positiv werden:
-
* Om <math>x= -\tfrac{1}{2}</math> blir båda led lika med <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
+
* Wenn <math>x= -\tfrac{1}{2}</math>, sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
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* Om <math>x= \tfrac{1}{2}</math> blir båda led lika med <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.
+
* Wenn <math>x= \tfrac{1}{2}</math>, sind beide Seiten <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.
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Alltså har logaritmekvationen bara en lösning <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
+
Die Gleichung hat also nur die eine Lösung <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
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<div class="exempel">
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'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
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Lös ekvationen <math>\,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}</math>.
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Den första termen kan vi skriva som <math>e^{2x} = (e^x)^2</math>. Hela ekvationen är alltså en andragradsekvation med <math>e^x</math> som obekant
+
Der erste Term kann als <math>e^{2x} = (e^x)^2</math> geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit der unbekannten Variablen <math>e^x</math>
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{{Fristående formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver <math>t</math> istället för <math>e^x</math>,
+
Wir ersetzen <math>e^x</math> mit <math>t</math>, um die Rechnungen zu vereinfachen
-
{{Fristående formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Kvadratkomplettera vänsterledet
+
Die quadratische Ergänzung ergibt
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
+
\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
-
&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
+
&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
-
\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
+
\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
-
&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
+
&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
vilket ger lösningarna
+
und wir haben die Lösungen
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{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
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t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
+
t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
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\quad\mbox{och}\quad
+
\quad\mbox{und}\quad
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t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}
+
t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}
-
Eftersom <math>\sqrt3 > 1</math> så är <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> och det är bara <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom <math>e^x</math> alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att
+
Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math>, ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, da <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten
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{{Fristående formel||<math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>
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x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}
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x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}
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är den enda lösningen till ekvationen.
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als die einzige Lösung der Gleichung.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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[[3.4 Övningar|Övningar]]
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.4 Übungen|Übungen]]''' .
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'''Råd för inläsning'''
 
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'''Grund- och slutprov'''
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Tipps fürs Lernen'''
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Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Tänk på att:'''
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'''Bedenke folgendes:'''
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Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.
+
Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.
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Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.
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Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Logarithmusgleichungen
  • Potenzgleichungen
  • Scheinlösungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.
  • Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
  • Scheingleichungen erkennen.
  • Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einfache Gleichungen

Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:

\displaystyle \begin{align*}

10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\ e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\ \end{align*}

(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)

Beispiel 1

Löse die Gleichungen

  1. \displaystyle 10^x = 537\quad hat die Lösung \displaystyle x = \lg 537.
  2. \displaystyle 10^{5x} = 537\quad gibt \displaystyle 5x = \lg 537, also \displaystyle x=\frac{1}{5} \lg 537.
  3. \displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad Wir erweitern beide Seiten mit \displaystyle e^x und dividieren beide Seiten durch 5, und erhalten \displaystyle \tfrac{3}{5}=e^x , also \displaystyle x=\ln\tfrac{3}{5}.
  4. \displaystyle \lg x = 3 \quad hat die Lösung \displaystyle x=10^3 = 1000.
  5. \displaystyle \lg(2x-4) = 2 \quad Von der Definition des Logarithmus bekommen wir \displaystyle 2x-4 = 10^2 = 100 und also \displaystyle x = 52.

Beispiel 2

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \,(\sqrt{10}\,)^x = 25.

    Nachdem \displaystyle \sqrt{10} = 10^{1/2} ist die linke Seite \displaystyle (\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2} und wir haben die Gleichung
    \displaystyle 10^{x/2} = 25\,\mbox{.}
    Diese Gleichung hat die Lösung \displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, also \displaystyle x = 2 \lg 25.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

    Wir multiplizieren beide Seiten mit 2, und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten
    \displaystyle 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}

    Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3

    \displaystyle \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}

    und erhalten durch die Definition, dass \displaystyle 2x = e^{-1/3}, und daher ist

    \displaystyle x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.}

In der Praxis erscheinen Gleichungen in der Form

\displaystyle a^x = b\,\mbox{,}

wobei \displaystyle a und \displaystyle b positive Zahlen sind. Diese Gleichungen löst man am einfachsten, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.

\displaystyle \lg a^x = \lg b

Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir

\displaystyle x \cdot \lg a = \lg b

also ist die Lösung \displaystyle \ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}.

Beispiel 3

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \,3^x = 20.

    Wir logarithmieren beide Seiten
    \displaystyle \lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}

    Die linke Seite ist \displaystyle \lg 3^x = x \cdot \lg 3, und daher haben wir

    \displaystyle x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2\textrm{.}727)\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 5000 \cdot 1\textrm{.}05^x = 10\,000.

    Wir dividieren beide Seiten durch 5000
    \displaystyle 1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}

    Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung, \displaystyle \lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05,

    \displaystyle x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}

Beispiel 4

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2^x \cdot 3^x = 5.

    Wir schreiben die linke Seite als \displaystyle 2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x mit den Potenzgesetzen und erhalten
    \displaystyle 6^x = 5\,\mbox{.}

    Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so

    \displaystyle x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0\textrm{.}898)\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 5^{2x + 1} = 3^{5x}.

    Wir logarithmieren beide Seiten und verwenden das Logarithmengesetz \displaystyle \lg a^b = b \cdot \lg a
    \displaystyle \eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}

    Wir bringen \displaystyle x auf eine Seite

    \displaystyle \eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}

    Die Lösung ist also

    \displaystyle x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}


B - Kompliziertere Gleichungen

Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "\displaystyle \ln x" oder "\displaystyle e^x" als unbekannte Variable betrachtet.

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}.

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 3e^x+1 und \displaystyle e^{-x}+2, um den Nenner zu eliminieren.

\displaystyle 6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle e^x und \displaystyle e^{-x} für alle \displaystyle x immer positiv sind, sind auch die Faktoren \displaystyle 3e^x+1 und \displaystyle e^{-x} +2 positiv (und nie null). Deshalb können hier keine Scheingleichungen entstehen.

Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung

\displaystyle 6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{.}

Dabei haben wir \displaystyle e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1 verwendet. Wir betrachten jetzt \displaystyle e^x als unbekannte Variable. Die Lösung der Gleichung ist dann

\displaystyle e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}

Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten wir die Antwort

\displaystyle x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}

Beispiel 6

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1.

Der Term \displaystyle \ln\frac{1}{x} kann als \displaystyle \ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x geschrieben werden und wir erhalten so die Gleichung

\displaystyle \frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}

wo wir \displaystyle \ln x als unbekannte Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle \ln x (dieser Faktor ist nicht null wenn \displaystyle x \neq 1) und erhalten die quadratische Gleichung

\displaystyle 1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}
\displaystyle (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}

für \displaystyle \ln x. Quadratische Ergänzung gibt

\displaystyle \begin{align*}

\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1 &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\ &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\ \end{align*}

Wir erhalten

\displaystyle

\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{}

und daher die Lösungen

\displaystyle

x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2} \quad \mbox{oder} \quad x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}


C - Scheinlösungen

Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass \displaystyle e^{(\ldots)} immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko, dass wir Scheinlösungen bekommen.

Beispiel 7

Löse die Gleichung \displaystyle \,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x).

Wir suchen Lösungen der Gleichung

\displaystyle 4x^2 - 2x = 1 - 2x\,, \displaystyle (*)

wobei beide Seiten zusätzlich positiv ein müssen. Diese Gleichung kann auch als

\displaystyle 4x^2 - 1= 0

geschrieben werden und wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle

\textstyle x= -\frac{1}{2} \quad\mbox{und}\quad x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}

Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von \displaystyle (*) positiv werden:

  • Wenn \displaystyle x= -\tfrac{1}{2}, sind beide Seiten \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0.
  • Wenn \displaystyle x= \tfrac{1}{2}, sind beide Seiten \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0.

Die Gleichung hat also nur die eine Lösung \displaystyle x= -\frac{1}{2}.

Beispiel 8

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}.

Der erste Term kann als \displaystyle e^{2x} = (e^x)^2 geschrieben werden. Also haben wir eine quadratische Gleichung mit der unbekannten Variablen \displaystyle e^x

\displaystyle (e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Wir ersetzen \displaystyle e^x mit \displaystyle t, um die Rechnungen zu vereinfachen

\displaystyle t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Die quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle \begin{align*}

\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\ \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\ \end{align*}

und wir haben die Lösungen

\displaystyle

t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\mbox{und}\quad t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}

Nachdem \displaystyle \sqrt3 > 1, ist \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0 und also ist nur \displaystyle t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3 eine mögliche Lösung, da \displaystyle e^x immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten

\displaystyle

x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)

als die einzige Lösung der Gleichung.



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenke folgendes:

Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.

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