3.3 Logarithmen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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'''Lernziele:''' | '''Lernziele:''' | ||
| - | Nach diesem Abschnitt | + | Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können: |
*Mit Basen und Exponenten rechnen | *Mit Basen und Exponenten rechnen | ||
*Die Bedeutung der Ausdrücke <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> und <math>\log_{a}</math> kennen. | *Die Bedeutung der Ausdrücke <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> und <math>\log_{a}</math> kennen. | ||
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}} | }} | ||
| - | == Logarithmus zur Basis 10 == | + | Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge). |
| + | |||
| + | == A - Logarithmus zur Basis 10 == | ||
Oft verwendet man Potenzen mit der Basis <math>10</math>, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel: | Oft verwendet man Potenzen mit der Basis <math>10</math>, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | ||
| - | + | 10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\ | |
| - | + | 10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.} | |
| - | + | \end{align*}</math>}} | |
Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass: | Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass: | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> | + | <li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> denn <math> |
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} | 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} | ||
| - | = 100\,000</math> | + | = 100\,000</math></li> |
| - | <li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> | + | <li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> denn <math> |
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} | ||
| - | = 0\textrm{.}0001</math> | + | = 0\textrm{.}0001</math></li> |
| - | <li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> | + | <li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> denn <math> |
| - | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math> | + | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math></li> |
| - | <li><math>\lg 1 = 0\quad</math> | + | <li><math>\lg 1 = 0\quad</math> denn <math> |
| - | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math> | + | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math></li> |
| - | <li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> | + | <li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> denn <math> |
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} | ||
| - | = 10^{78}</math> | + | = 10^{78}</math></li> |
| - | <li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> | + | <li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> denn <math> |
| - | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math> | + | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math></li> |
| - | <li><math>\lg (-10)</math> existiert nicht, | + | <li><math>\lg (-10)</math> existiert nicht, da <math> |
| - | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> nie -10 werden kann, egal wie man <math>a</math> wählt | + | 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> nie -10 werden kann, egal wie man <math>a</math> wählt</li> |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
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| - | == Verschiedene Basen == | + | == B - Verschiedene Basen == |
| - | Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math> | + | Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math> und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2". |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> | + | <li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> denn <math> |
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li> | 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li> | ||
| - | <li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> | + | <li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> denn <math> |
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li> | 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li> | ||
| - | <li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> | + | <li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> denn <math> |
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li> | 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li> | ||
| - | <li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> | + | <li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> denn <math> |
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} | 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} | ||
= \frac{1}{4}</math>.</li> | = \frac{1}{4}</math>.</li> | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> | + | <li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> denn <math> |
3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li> | 3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li> | ||
| - | <li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> | + | <li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> denn <math> |
5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li> | 5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li> | ||
| - | <li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> | + | <li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> denn <math> |
4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} | 4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} | ||
= \frac{1}{16}</math>.</li> | = \frac{1}{16}</math>.</li> | ||
<li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad | <li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad | ||
| - | </math> | + | </math> denn <math>b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} |
= \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (wenn <math>b>0</math> und <math>b\not=1</math>).</li> | = \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (wenn <math>b>0</math> und <math>b\not=1</math>).</li> | ||
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| - | Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten <math>\log_{\,10}</math>, sondern man schreibt ganz einfach lg | + | Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten <math>\log_{\,10}</math>, sondern man schreibt ganz einfach lg oder log. |
| - | == Der natürliche Logarithmus == | + | == C - Der natürliche Logarithmus == |
Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Die Logarithmen zur Basis ''e'' werden ''natürliche Logarithmen'' genannt. Statt <math>\log_{\,e}</math> schreibt man <math>\ln</math>, wenn man natürliche Logarithmen berechnet. | Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Die Logarithmen zur Basis ''e'' werden ''natürliche Logarithmen'' genannt. Statt <math>\log_{\,e}</math> schreibt man <math>\ln</math>, wenn man natürliche Logarithmen berechnet. | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> | + | <li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> denn <math> |
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li> | e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li> | ||
| - | <li><math> \ln e = 1\quad</math> | + | <li><math> \ln e = 1\quad</math> denn <math> |
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li> | e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li> | ||
| - | <li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> | + | <li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> denn <math> |
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} | e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} | ||
= \frac{1}{e^3}</math>.</li> | = \frac{1}{e^3}</math>.</li> | ||
| - | <li><math> \ln 1 = 0\quad</math> | + | <li><math> \ln 1 = 0\quad</math> denn <math> e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li> |
| - | + | <li>Wenn <math>y= e^{\,a}</math> dann ist <math>a = \ln y</math>.</li> | |
| - | <li> | + | |
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li> | <li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li> | ||
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li> | <li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li> | ||
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| - | == Logarithmengesetze == | + | == D - Logarithmengesetze == |
In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren). | In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren). | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | 35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324} | |
| - | + | = 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324} | |
| - | + | = 10^{\,3\textrm{.}2765}\,.</math>}} | |
Wenn wir auch wissen, dass <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (also <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) haben wir es geschafft, das Produkt | Wenn wir auch wissen, dass <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (also <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) haben wir es geschafft, das Produkt | ||
| Zeile 190: | Zeile 191: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} = | |
| - | + | 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}} | |
| - | + | ||
aber anderseits haben wir auch | aber anderseits haben wir auch | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}} | |
Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten: | Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten: | ||
| Zeile 203: | Zeile 203: | ||
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} | ||
| - | + | \log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt] | |
| - | + | \log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt] | |
| - | + | \log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\ | |
| - | + | \end{align*}</math>}} | |
</div> | </div> | ||
| Zeile 257: | Zeile 257: | ||
| - | == Basis ändern == | + | == E - Basis ändern == |
Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben. | Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben. | ||
| Zeile 265: | Zeile 265: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li> | + | <li> Schreibe <math>\lg 5</math> als einen natürlichen Logarithmus. |
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
| Zeile 281: | Zeile 281: | ||
Division durch <math>\ln 10</math> ergibt die Antwort | Division durch <math>\ln 10</math> ergibt die Antwort | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | \lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10} | |
| - | + | \qquad (\approx 0\textrm{.}699\,, | |
| - | + | \quad\text{also ist}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.} | |
</math>}}</li> | </math>}}</li> | ||
| - | <li> | + | <li> Schreibe den 2-Logarithmus von 100 als einen 10-Logarithmus, lg. |
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
| Zeile 294: | Zeile 294: | ||
erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten | erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}} | |
Nachdem <math>\lg a^b = b \lg a</math>, erhalten wir <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> und die rechte Seite ist einfach <math>\lg 100 = 2</math>. Dies gibt die Gleichung | Nachdem <math>\lg a^b = b \lg a</math>, erhalten wir <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> und die rechte Seite ist einfach <math>\lg 100 = 2</math>. Dies gibt die Gleichung | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}} | |
Mit Division durch <math>\lg 2</math> ergibt sich, dass | Mit Division durch <math>\lg 2</math> ergibt sich, dass | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | \log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2} | |
| - | + | \qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,, | |
| - | + | \quad\text{also ist}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}} | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| Zeile 311: | Zeile 311: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | \log_{\scriptstyle\,a} x | |
| - | + | = \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a} | |
| - | + | \,\mbox{.}</math>}} | |
Wenn wir zum Beispiel <math> 2^5 </math> zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10 | Wenn wir zum Beispiel <math> 2^5 </math> zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10 | ||
| Zeile 321: | Zeile 321: | ||
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen | und verwenden die Rechenregeln für Potenzen | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | 2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2} | |
| - | + | \quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}</math>}} | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Zeile 328: | Zeile 328: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li> | + | <li>Schreibe <math> 10^x </math> zur natürlichen Basis ''e''. |
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
| - | Zuerst schreiben wir 10 | + | Zuerst schreiben wir 10 zur Basis ''e'', |
{{Abgesetzte Formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}} | ||
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen | und verwenden die Rechenregeln für Potenzen | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | 10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10} | |
| - | + | \approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li> | |
| - | <li> | + | <li> Schreibe <math>e^{\,a}</math> zur Basis 10 |
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
Die Zahl <math>e</math> kann wie <math>e=10^{\lg e}</math> geschrieben, und daher ist | Die Zahl <math>e</math> kann wie <math>e=10^{\lg e}</math> geschrieben, und daher ist | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| - | + | e^a = (10^{\lg e})^a | |
| - | + | = 10^{\,a \cdot \lg e} | |
| - | + | \approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}</math>}} | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| + | <br><br> | ||
| + | Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype> | ||
| + | |||
| + | Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.3 Übungen|Übungen]]''' . | ||
| - | [[3.3 Übungen|Übungen]] | ||
<div class="inforuta" style="width:580px;"> | <div class="inforuta" style="width:580px;"> | ||
| Zeile 358: | Zeile 361: | ||
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' | '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' | ||
| - | Nachdem | + | Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | '''Bedenke folgendes: ''' | |
| - | + | Lerne die Logarithmengesetze ordentlich. | |
| + | Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen. | ||
| - | '''Reviews''' | ||
| - | + | '''Literaturhinweise''' | |
| + | Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt: | ||
| - | [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm Learn more about logarithms in English Wikipedia ] | ||
| - | [http:// | + | [http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Mehr über Logarithmen in der Wikipedia ] |
| + | [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Mehr über die Zahl ''e'' im "The MacTutor History of Mathematics" Archiv (engl.) ] | ||
'''Nützliche Websites''' | '''Nützliche Websites''' | ||
| - | [http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogGraph/logGraph.html | + | [http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogGraph/logGraph.html Experimente mit Logarithmen und Potenzen (engl.) ] |
| - | [http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogConcentration/LogConcentration.htm | + | [http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogConcentration/LogConcentration.htm Spiel logarithmus Memory (engl.)] |
| - | [http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/logger.htm | + | [http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/logger.htm Hilf dem Frosch auf seine Seerose im "log"-Spiel (engl.)] |
</div> | </div> | ||
Aktuelle Version
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Logarithmen
- Die Logarithmengesetze
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
- Mit Basen und Exponenten rechnen
- Die Bedeutung der Ausdrücke \displaystyle \ln, \displaystyle \lg, \displaystyle \log und \displaystyle \log_{a} kennen.
- Einfache Logarithmen mit der Definition des Logarithmus berechnen.
- Wissen, dass Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind.
- Die Bedeutung der Zahl \displaystyle e kennen.
- Die Logarithmengesetze verwenden, um logarithmische Ausdrücke zu vereinfachen.
- Wissen, wann die Logarithmengesetze gültig sind.
- Basis von Logarithmen ändern
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
A - Logarithmus zur Basis 10
Oft verwendet man Potenzen mit der Basis \displaystyle 10, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel:
| \displaystyle \begin{align*}
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\ 10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.} \end{align*} |
Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass:
- "der Exponent von 1000 3 ist", oder dass
- "der Exponent von 0,01 -2 ist".
Genauso wird der Logarithmus definiert. Formaler geschrieben haben wir:
- "Der Logarithmus von 1000 ist 3". Dies schreibt man \displaystyle \lg 1000 = 3,
- "Der Logarithmus von 0.01 ist -2". Dies schreibt man \displaystyle \lg 0\textrm{.}01 = -2.
Allgemeiner gilt folgendes:
- Der Logarithmus einer Zahl \displaystyle y wird \displaystyle \lg y genannt und ist der Exponent, der die Gleichung
| \displaystyle 10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} |
erfüllt. \displaystyle y muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus \displaystyle \lg y definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.
Beispiel 1
- \displaystyle \lg 100000 = 5\quad denn \displaystyle 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} = 100\,000
- \displaystyle \lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} = 0\textrm{.}0001
- \displaystyle \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}
- \displaystyle \lg 1 = 0\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1
- \displaystyle \lg 10^{78} = 78\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} = 10^{78}
- \displaystyle \lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50
- \displaystyle \lg (-10) existiert nicht, da \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}} nie -10 werden kann, egal wie man \displaystyle a wählt
Im Beispiel oben kann man leicht sehen, dass \displaystyle \lg 50 zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem \displaystyle 10^1 < 50 < 10^2. Um einen genaueren Wert von \displaystyle \lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.
Beispiel 2
- \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 100} = 100
- \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg a} = a
- \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50
B - Verschiedene Basen
Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man \displaystyle \log_{\,2} und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".
Beispiel 3
- \displaystyle \log_{\,2} 8 = 3\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8.
- \displaystyle \log_{\,2} 2 = 1\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2.
- \displaystyle \log_{\,2} 1024 = 10\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024.
- \displaystyle \log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.
Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz ähnlich.
Beispiel 4
- \displaystyle \log_{\,3} 9 = 2\quad denn \displaystyle 3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9.
- \displaystyle \log_{\,5} 125 = 3\quad denn \displaystyle 5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125.
- \displaystyle \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad denn \displaystyle 4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}.
- \displaystyle \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad denn \displaystyle b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} = \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}} (wenn \displaystyle b>0 und \displaystyle b\not=1).
Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten \displaystyle \log_{\,10}, sondern man schreibt ganz einfach lg oder log.
C - Der natürliche Logarithmus
Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl \displaystyle e \displaystyle ({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,). Die Logarithmen zur Basis e werden natürliche Logarithmen genannt. Statt \displaystyle \log_{\,e} schreibt man \displaystyle \ln, wenn man natürliche Logarithmen berechnet.
Beispiel 5
- \displaystyle \ln 10 \approx 2{,}3\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10.
- \displaystyle \ln e = 1\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e.
- \displaystyle \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{e^3}.
- \displaystyle \ln 1 = 0\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
- Wenn \displaystyle y= e^{\,a} dann ist \displaystyle a = \ln y.
- \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5
- \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x
Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.
D - Logarithmengesetze
In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).
Beispiel 6
Berechnen Sie \displaystyle \,35\cdot 54.
Wenn wir wissen, dass \displaystyle 35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} und \displaystyle 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324} (also \displaystyle \lg 35 \approx 1\textrm{.}5441 und \displaystyle \lg 54 \approx 1\textrm{.}7324), können wir das Produkt einfach berechnen:
| \displaystyle
35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324} = 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324} = 10^{\,3\textrm{.}2765}\,. |
Wenn wir auch wissen, dass \displaystyle 10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890 (also \displaystyle \lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765) haben wir es geschafft, das Produkt
| \displaystyle 35 \cdot 54 = 1890 |
nur mit Addition der Exponenten \displaystyle 1\textrm{.}5441 und \displaystyle 1\textrm{.}7324 zu berechnen.
Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich
| \displaystyle \log (ab) = \log a + \log b |
Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir
| \displaystyle
a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}} |
aber anderseits haben wir auch
| \displaystyle
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.} |
Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:
| \displaystyle \begin{align*}
\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt] \log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt] \log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\ \end{align*} |
Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.
Beispiel 7
- \displaystyle \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28
- \displaystyle \lg 6 - \lg 3 = \lg\frac{6}{3} = \lg 2
- \displaystyle 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25
- \displaystyle \lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2
Beispiel 8
- \displaystyle \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3
- \displaystyle \ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}
= \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right)
= \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right)
= \ln\frac{1}{\sqrt{e}}
\displaystyle \phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{} = \ln e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(} - \displaystyle \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81
= \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) - \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(} - \displaystyle \lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}
= 3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}
\displaystyle \phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}}{} = (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0
E - Basis ändern
Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.
Beispiel 9
- Schreibe \displaystyle \lg 5 als einen natürlichen Logarithmus.
Laut Definition ist \displaystyle \lg 5 die Zahl, die die Gleichung\displaystyle 10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.} erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir
\displaystyle \ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.} Mit dem Logarithmengesetz \displaystyle \ln a^b = b \ln a schreiben wir die linke Seite wie \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 und bekommen die Gleichung
\displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.} Division durch \displaystyle \ln 10 ergibt die Antwort
\displaystyle \lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10} \qquad (\approx 0\textrm{.}699\,, \quad\text{also ist}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}
- Schreibe den 2-Logarithmus von 100 als einen 10-Logarithmus, lg.
Laut Definition des Logarithmus steht fest, dass \displaystyle \log_2 100 die Gleichung\displaystyle 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100 erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten
\displaystyle \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}
Nachdem \displaystyle \lg a^b = b \lg a, erhalten wir \displaystyle \lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 und die rechte Seite ist einfach \displaystyle \lg 100 = 2. Dies gibt die Gleichung
\displaystyle \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}
Mit Division durch \displaystyle \lg 2 ergibt sich, dass
\displaystyle \log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2} \qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,, \quad\text{also ist}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}
Die allgemeine Formel, um die Basis von \displaystyle a zu \displaystyle b in Logarithmen zu ändern, lautet
| \displaystyle
\log_{\scriptstyle\,a} x = \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a} \,\mbox{.} |
Wenn wir zum Beispiel \displaystyle 2^5 zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10
| \displaystyle 2 = 10^{\lg 2} |
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
| \displaystyle
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2} \quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.} |
Beispiel 10
- Schreibe \displaystyle 10^x zur natürlichen Basis e.
Zuerst schreiben wir 10 zur Basis e,\displaystyle 10 = e^{\ln 10} und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
\displaystyle 10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10} \approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}
- Schreibe \displaystyle e^{\,a} zur Basis 10
Die Zahl \displaystyle e kann wie \displaystyle e=10^{\lg e} geschrieben, und daher ist\displaystyle e^a = (10^{\lg e})^a = 10^{\,a \cdot \lg e} \approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor 
Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .
Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
Bedenke folgendes:
Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.
Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
Literaturhinweise
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
Mehr über Logarithmen in der Wikipedia
Mehr über die Zahl e im "The MacTutor History of Mathematics" Archiv (engl.)
Nützliche Websites
Experimente mit Logarithmen und Potenzen (engl.)
