3.2 Wurzelgleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Vald flik|[[3.2 Rotekvationer|Theory]]}}
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{{Gewählter Tab|[[3.2 Wurzelgleichungen|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[3.2 Övningar|Exercises]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[3.2 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Contents: '''
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'''Inhalt: '''
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* Equations with roots of the type <math>\sqrt{ax+b}= cx +d </math>
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* Gleichungen auf der Form <math>\sqrt{ax+b}= cx +d </math>
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* Spurious roots
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* Scheinlösungen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Learning outcomes'''
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'''Lernziele'''
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After this section, you will have learned to:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
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*Solve by squaring, simple equations containing roots.
+
* Einfache Wurzelgleichungen durch Quadrieren lösen.
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*Manage spurious roots, and know when they might appear.
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* Scheinlösungen erkennen.
}}
}}
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== Equations with roots ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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There are many different types of equations containing roots, some such examples are
+
== Gleichungen mit Wurzeln ==
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{{Fristående formel||<math>\sqrt{x} + 3x = 2\,,</math>}}
+
Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel:
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{{Fristående formel||<math>\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,</math>}}
+
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{{Fristående formel||<math>\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}</math>}}
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To solve equations with roots we need to get rid of the root sign. The strategy to achieve this is to rewrite the equation so that root sign only appears on one side of the equals sign. Then one squares both sides of the equation (in the case of quadratic roots), so that the root sign disappears and solves the resulting (squared) equation. When one squares an equation, one must bear in mind that a solution to the resulting equation might not be a solution to the original equation. This is because some minus signs might disappear. One loses information when squaring. Both positive and negative quantities become positive after squaring. Therefore, we must examine the solutions that appear. We need to verify that they are not only solutions to the squared equation, but even to the original equation.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{x} + 3x = 2\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}</math>}}
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Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall, wo wir Quadratwurzeln haben) und löst die quadratische Gleichung, die daraus entsteht. Bei diesem Schritt muss man aber bedenken, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht unbedingt auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach dem Quadrieren positiv werden, entstehen sogenannte Scheinlösungen, welche die quadrierte Gleichung lösen, nicht aber die ursprüngliche Gleichung.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
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The minus disappears when squaring. Consider a simple (trivial) equation
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Wir betrachten folgende einfache Gleichung:
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{{Fristående formel||<math>x = 2\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = 2\mbox{.}</math>}}
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If we square both sides of this equation, we get
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Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir
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{{Fristående formel||<math>x^2 = 4\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 = 4\mbox{.}</math>}}
-
This new equation has two solutions <math>x = 2</math> or <math>x = -2</math>. The solution <math>x = 2</math> satisfies the original equation, while <math> x = -2</math> is a solution that arose because we squared the original equation.
+
Die neue Gleichung hat die Lösungen <math>x = 2</math> und <math>x = -2</math>. Die Lösung <math>x = 2</math> erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung <math> x = -2</math> die ursprüngliche Gleichung nicht löst. <math> x = -2</math> ist also eine Scheinlösung, die durch das Quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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''' Example 2'''
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''' Beispiel 2'''
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Solve the equation <math>\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x</math>.
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Löse die Gleichung <math>\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x</math>.
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Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>4(x - 1) = (1 - x)^2</math>}}
 +
Wir multiplizieren die rechte Seite aus (binomischen Formel)
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}</math>}}
 +
Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir als
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}</math>}}
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The two in in front of the root is a factor. We can divide both sides of the equation by 2, but we can also let the two remain where it is. If we square the equation as it is, we get
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schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind <math>x = 3 \pm 2</math>, also <math>x = 1</math> und <math>x = 5</math>.
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{{Fristående formel||<math>4(x - 1) = (1 - x)^2</math>}}
+
-
and we expand the square on the right-hand side giving
+
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{{Fristående formel||<math>4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}</math>}}
+
-
This is a quadratic equations, which can be written as
+
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{{Fristående formel||<math>x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
-
This can be solved by completing the square or by using the general solution. Either way the solutions are <math>x = 3 \pm 2</math>, i.e. <math>x = 1</math> or <math>x = 5</math>.
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Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko, dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen, ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
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* <math>x = 1</math> gibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0</math> und <math>\mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0</math>. Also <math>\mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite}</math> und die Gleichung ist erfüllt.
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* <math>x = 5</math> gibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4</math> und <math>\mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4</math>. Also <math>\mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite}</math> und die Gleichung ist nicht erfüllt.
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Since we squared the original equation, there is a risk that spurious roots have been introduced, and therefore we need to check whether <math>x=1</math> and <math>x=5</math> are also solutions to the original equation:
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Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung <math>x = 1</math>.
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* <math>x = 1</math> gives that <math>\mbox{LHS} = 2\sqrt{1 - 1} = 0</math> and <math>\mbox{RHS} = 1 - 1 = 0</math>. So <math>\mbox{LHS} = \mbox{RHS}</math> and the equation is satisfied!
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<center>{{:3.2 - Bild - Die Kurven y = 2√(x - 1) und y = 1 - x}}</center>
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* <math>x = 5</math> gives that <math>\mbox{LHS} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4</math> and <math>\mbox{RHS} = 1 - 5 = -4</math>. So <math>\mbox{LHS} \ne \mbox{RS}</math> and the equation is not satisfied!
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Thus the equation has only one solution <math>x = 1</math>.
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<center>{{:3.2 - Figur - Kurvorna y = 2√(x - 1) och y = 1 - x}}</center>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.2 Übungen|Übungen]]''' .
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[[3.2 Övningar|Exercises]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Study advice'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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'''The basic and final tests'''
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
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'''Bedenken Sie folgendes: '''
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Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht unbedingt Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
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'''Keep in mind that: '''
 
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When squaring an equation bear in mind that the solutions obtained might not be the solutions to the original equation, so called spurious roots. This is because potential minus signs disappear. One loses information when squaring. Therefore, one must verify that the solutions obtained, not only are solutions to the squared equation, but also are solutions to the original equation.
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'''Du solltest immer testen, ob Deine Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen'''
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'''You should always test the solution in the original equation containing roots.'''
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'''Literaturhinweise'''
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Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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'''Reviews'''
 
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For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following reference
+
[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - ein englischer Text im Web ]
-
[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - English online book for pre-university studies ]
 
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'''Nützliche Websites'''
-
'''Useful web sites'''
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[http://www.webmath.com/simpsqrt.html Was ist die Wurzel aus -? Webmath.com hilft Quadratwurzeln zu vereinfachen (eng.)]
-
[http://www.webmath.com/simpsqrt.html What is the root of -? Webmath.com helps you to simplify root expressions.
 
-
Exercises]
 
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Gleichungen auf der Form \displaystyle \sqrt{ax+b}= cx +d
  • Scheinlösungen

Lernziele

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Einfache Wurzelgleichungen durch Quadrieren lösen.
  • Scheinlösungen erkennen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

Gleichungen mit Wurzeln

Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel:

\displaystyle \sqrt{x} + 3x = 2\,,
\displaystyle \sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,
\displaystyle \sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}

Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall, wo wir Quadratwurzeln haben) und löst die quadratische Gleichung, die daraus entsteht. Bei diesem Schritt muss man aber bedenken, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht unbedingt auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach dem Quadrieren positiv werden, entstehen sogenannte Scheinlösungen, welche die quadrierte Gleichung lösen, nicht aber die ursprüngliche Gleichung.

Beispiel 1

Wir betrachten folgende einfache Gleichung:

\displaystyle x = 2\mbox{.}

Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir

\displaystyle x^2 = 4\mbox{.}

Die neue Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2. Die Lösung \displaystyle x = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung \displaystyle x = -2 die ursprüngliche Gleichung nicht löst. \displaystyle x = -2 ist also eine Scheinlösung, die durch das Quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x.

Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten und erhalten

\displaystyle 4(x - 1) = (1 - x)^2

Wir multiplizieren die rechte Seite aus (binomischen Formel)

\displaystyle 4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir als

\displaystyle x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}

schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind \displaystyle x = 3 \pm 2, also \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 5.

Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko, dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen, ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

  • \displaystyle x = 1 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist erfüllt.
  • \displaystyle x = 5 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist nicht erfüllt.

Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung \displaystyle x = 1.

[Image]



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung


Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht unbedingt Lösungen der ursprünglichen Gleichung.


Du solltest immer testen, ob Deine Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Understanding Algebra - ein englischer Text im Web


Nützliche Websites

Was ist die Wurzel aus -? Webmath.com hilft Quadratwurzeln zu vereinfachen (eng.)


Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.2_Wurzelgleichungen“