2.2 Lineare Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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* Gleichung einer Geraden
* Gleichung einer Geraden
* Geometrische Probleme
* Geometrische Probleme
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* Gebiete definiert durch lineare Gleichungen
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* durch lineare Gleichungen definierte Gebiete
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
*Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
*Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
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*Gleichungen zwischen den Formen ''y'' = ''kx'' + ''m'' und ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0. umzuwandeln.
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*Gleichungen zwischen den Formen ''y'' = ''kx'' + ''m'' und ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0. umwandeln.
*Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen.
*Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen.
* Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
* Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
-
* Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebieten berechnen.
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* Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebiete berechnen.
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== Lineare Gleichungen ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== A - Lineare Gleichungen ==
Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.
Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li>Lösen Sie die Gleichung <math>x+3=7</math>.<br/><br/>
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<li>Löse die Gleichung <math>x+3=7</math>.<br/><br/>
Wir subtrahieren <math>3</math> von beiden Seiten
Wir subtrahieren <math>3</math> von beiden Seiten
:<math>x+3-3=7-3</math>.
:<math>x+3-3=7-3</math>.
-
Die linke Seite ist danach <math>x</math>, und also ist unsere Gleichung gelöst:
+
Die linke Seite ist danach <math>x</math>, also ist unsere Gleichung gelöst:
:<math>x=7-3=4</math>.</li>
:<math>x=7-3=4</math>.</li>
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<li>Lösen Sie die Gleichung <math>3x=6</math>. <br/><br/>
+
<li>Löse die Gleichung <math>3x=6</math>. <br/><br/>
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Wier dividieren beide Seiten mit <math>3</math>
+
Wir dividieren beide Seiten mit <math>3</math>
:<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>.
:<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>.
Nachdem wir <math>3</math> auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
Nachdem wir <math>3</math> auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
:<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li>
:<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li>
-
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
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<li> Löse die Gleichung <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
Zuerst subtrahieren wir <math>1</math> von beiden Seiten, sodass <math>2x</math> alleine links steht
Zuerst subtrahieren wir <math>1</math> von beiden Seiten, sodass <math>2x</math> alleine links steht
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
-
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch <math>2</math>, und bekommen die Lösung:
+
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch <math>2</math> und bekommen die Lösung:
:<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li>
:<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li>
</ol>
</ol>
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'''Beispiel 2'''
'''Beispiel 2'''
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,2x-3=5x+7</math>.
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Löse die Gleichung <math>\,2x-3=5x+7</math>.
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'''Beispiel 3'''
'''Beispiel 3'''
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Lösen Sie (für <math>x</math>) die Gleichung <math>ax+7=3x-b</math>.
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Löse die Gleichung <math>ax+7=3x-b</math> nach <math> x </math> auf.
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{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
-
Jetzt sind alle Terme, die <math>x</math> enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor <math>x</math> herausheben
+
Jetzt sind alle Terme, die <math>x</math> enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor <math>x</math> ausklammern (Anwendung des Distributivgesetzes).
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
-
Wenn wir beide Seiten mit <math>a-3</math> dividieren, erhalten wir die Lösung
+
Wenn wir beide Seiten durch <math>a-3</math> dividieren, erhalten wir die Lösung
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}}
 +
 +
Beachte hierbei, dass <math>a</math> nicht <math>3</math> sein darf, da wir sonst durch Null teilen würden.
</div>
</div>
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
Lösen Sie die Gleichung <math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>.
-
Wir erweitern die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.
+
Wir multiplizieren die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung aus.
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
Lösen Sie die Gleichung <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>.
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</div>
</div>
-
 
+
== B - Geraden ==
-
== Gerade Linien ==
+
Gleichungen wie
Gleichungen wie
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</div>
</div>
-
schreiben kann, wo <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind.
+
schreiben kann, wobei <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind.
-
Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante <math>k</math> bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achse ist, und die Konstante <math>m</math> ist der Schnittpunkt von der Gerade mit der <math>y</math>-Achse.
+
Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante <math>k</math> bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achse ist und die Konstante <math>m</math> ist der Schnittpunkt der Geraden mit der <math>y</math>-Achse.
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m}}</center>
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m}}</center>
<center><small>Die Gerade ''y'' = ''kx'' + ''m'' hat die Steigung ''k'' und kreuzt die ''y''-Achse im Punkt (0,''m'')</small></center>
<center><small>Die Gerade ''y'' = ''kx'' + ''m'' hat die Steigung ''k'' und kreuzt die ''y''-Achse im Punkt (0,''m'')</small></center>
-
Die Konstante <math>k</math> wird die Steigung genannt, und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven <math>x</math>-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um <math>k</math> Einheiten in der positiven <math>y</math>-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:
+
Die Konstante <math>k</math> wird die Steigung genannt und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven <math>x</math>-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um <math>k</math> Einheiten in der positiven <math>y</math>-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:
*Aufwärts wenn <math>k>0</math>.
*Aufwärts wenn <math>k>0</math>.
*Abwärts wenn <math>k<0</math>.
*Abwärts wenn <math>k<0</math>.
-
Eine horizontale Gerade, die parallel mit der <math>x</math>-Achse ist, hat <math>k=0</math> während eine vertikale Gerade, parallel mit der <math>y</math>-Achse kein <math>k</math> hat (Eine vertikale Linie kann nicht wie <math>y=kx+m</math> geschrieben werden).
+
Eine horizontale Gerade, die parallel mit der <math>x</math>-Achse ist, hat <math>k=0</math> während eine vertikale Gerade, parallel mit der <math>y</math>-Achse nicht in der Form <math>y=kx+m</math> geschrieben werden kann (Wenn die Gerade auf der ''y''-Achse liegt, ist jeder Punkt der Gerade ein Schnittpunkt mit der ''y''-Achse, also gibt es zuviele mögliche <math>m</math>. Wenn die Gerade nicht auf der ''y''-Achse liegt, gibt es keinen reellen Schnittpunkt mit der ''y''-Achse, und darum kein <math> m </math>.).
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Zeichnen Sie die Gerade <math>y=2x-1</math>. <br/><br/>
+
<li> Zeichne die Gerade <math>y=2x-1</math>. <br/><br/>
-
Wenn wir die Gleichung mit der Standardform <math>y=kx+m</math> vergleichen, sehen wir, dass <math>k=2</math> und <math>m=-1</math>. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung <math>2</math> hat, und die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>(0,-1)</math> kreuzt. Sehen Sie die linke Figur.</li>
+
Wenn wir die Gleichung mit der Standardform <math>y=kx+m</math> vergleichen, sehen wir, dass <math>k=2</math> und <math>m=-1</math>. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung <math>2</math> hat und die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>(0,-1)</math> kreuzt. Siehe die Zeichnung unten links.</li>
-
<li>Zeichnen Sie die Gerade <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/>
+
<li>Zeichne die Gerade <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/>
-
Die Gleichung kann wie <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> geschrieben werden, und wir sehen, dass die Steigung <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> ist, und dass <math>m=2</math>. Siehe rechte Figur.
+
Die Gleichung kann wie <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> geschrieben werden. Wir sehen, dass die Steigung <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> ist, und dass <math>m=2</math>. Siehe die Zeichnung unten rechts.
</ol>
</ol>
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<center>{{:2.2 - Bild - Die Steigung von rechtwinkligen Geraden}}</center>
<center>{{:2.2 - Bild - Die Steigung von rechtwinkligen Geraden}}</center>
-
Die Gerade in der linken Figur hat die Steigung <math>k</math>, also entspricht <math>1</math> Einheit in die <math>x</math>-Richtung, <math>k</math> Einheiten in die <math>y</math>-Richtung. Falls die Gerade <math>90^\circ</math> im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Figur rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt <math>-\frac{1}{k}</math> ist, nachdem <math>-k</math> Einheiten in die <math>x</math>-Richtung <math>1</math> Einheit in die <math>y</math>-Richtung entsprechen.
+
Die Gerade in der linken Zeichnung hat die Steigung <math>k</math>, also entspricht <math>1</math> Einheit in die <math>x</math>-Richtung, <math>k</math> Einheiten in die <math>y</math>-Richtung. Falls die Gerade <math>90^\circ</math> im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Zeichnung rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt <math>-\frac{1}{k}</math> ist, nachdem <math>-k</math> Einheiten in die <math>x</math>-Richtung <math>1</math> Einheit in die <math>y</math>-Richtung entsprechen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 201: Zeile 205:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li> Die Geraden <math>y=3x-1</math> und <math>y=3x+5</math> sind parallel.
<li> Die Geraden <math>y=3x-1</math> und <math>y=3x+5</math> sind parallel.
-
<li> Die Geraden <math>y=x+1</math> und <math>y=2-x</math> sind rechtwinkelig.
+
<li> Die Geraden <math>y=x+1</math> und <math>y=2-x</math> sind orthogonal zueinander.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Zeile 209: Zeile 213:
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+by=c</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+by=c</math>}}
</div>
</div>
-
geschrieben werden, wo <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind.
+
geschrieben werden, wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 215: Zeile 219:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Bringen Sie die Gerade <math>y=5x+7</math> in die Form <math>ax+by=c</math>.<br/><br/>
+
<li>Bringe die Gerade <math>y=5x+7</math> in die Form <math>ax+by=c</math>.<br/><br/>
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten:<math>-5x+y=7</math>.</li>
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten:<math>-5x+y=7</math>.</li>
-
<li> Schreiben Sie die Gerade <math>2x+3y=-1</math> auf der Form <math>y=kx+m</math>.<br/><br/>
+
<li> Schreibe die Gerade <math>2x+3y=-1</math> auf der Form <math>y=kx+m</math>.<br/><br/>
-
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten
-
 
+
<br/><br/>
-
<li><math>3y=-2x-1 </math></li>
+
<math>3y=-2x-1 </math>
-
 
+
<br/><br/>
und dividieren beide Seiten durch <math>3</math>
und dividieren beide Seiten durch <math>3</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
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</div>
</div>
-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Here'''] you can see how an equation for a line can be obtained if we know the coordinates of two points on the line.
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Hier'''] wird gezeigt, wie die Gleichung einer Geraden aus zwei ihrer Punkte konstruiert werden kann.
-
 
+
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[http://www.theducation.se/hemsida//gymnasium_komvux/webbaserade_laromedel_och_webbstod/matematik_3000/experimentera_med_den_rata_linjen/index.asp '''Here'''] you can vary k and m and see how this affects the line's characteristics.
+
-
 
+
-
== Flächen in einem Koordinatensystem ==
+
== C - Flächen in einem Koordinatensystem ==
Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.
Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Zeichnen Sie das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>y\ge2</math> erfüllt. <br/><br/>
+
<li>Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>y\ge2</math> erfüllt. <br/><br/>
Das Gebiet besteht aus allen Punkten, <math>(x,y)</math>, wo die <math>y</math>-Koordinate größer oder gleich <math>2</math> ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=2</math>.<br/>
Das Gebiet besteht aus allen Punkten, <math>(x,y)</math>, wo die <math>y</math>-Koordinate größer oder gleich <math>2</math> ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=2</math>.<br/>
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y ≥ 2}}</center></li>
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y ≥ 2}}</center></li>
-
<li>Zeichnen Sie das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem dass die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt. <br/><br/>
+
<li>Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, dass die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt. <br/><br/>
Ein Punkt <math>(x,y)</math>, der die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt, muss eine <math>x</math>-Koordinate haben, die größer als die <math>y</math>-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden <math>y=x</math>.<br/>
Ein Punkt <math>(x,y)</math>, der die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt, muss eine <math>x</math>-Koordinate haben, die größer als die <math>y</math>-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden <math>y=x</math>.<br/>
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''' Beispiel 11'''
''' Beispiel 11'''
-
Zeichnen Sie das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>2 \le 3x+2y\le 4</math> erfüllt.
+
Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>2 \le 3x+2y\le 4</math> erfüllt.
Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden
Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden
-
{{Abgesetzte Formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> and <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> und <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}}
-
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiten Seiten, und dividieren danach beide Seiden durch <math>2</math>
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiten Seiten und dividieren danach beide Seiden durch <math>2</math>
-
{{Abgesetzte Formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> and <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> und <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}}
Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden <math>y = 1-\tfrac{3}{2}x</math>, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden <math>y= 2-\tfrac{3}{2}x</math> liegen.
Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden <math>y = 1-\tfrac{3}{2}x</math>, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden <math>y= 2-\tfrac{3}{2}x</math> liegen.
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Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=-x</math> und <math>y=x</math> liegen müssen. Dies entspricht, dass <math>-y\le x\le y</math>. Nachdem wir Begrenzungen für die <math>y</math>-Koordinate haben, wissen wir auch, dass <math>x</math> kleiner als <math>2</math> sein muss und größer als <math>-2</math>.
Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=-x</math> und <math>y=x</math> liegen müssen. Dies entspricht, dass <math>-y\le x\le y</math>. Nachdem wir Begrenzungen für die <math>y</math>-Koordinate haben, wissen wir auch, dass <math>x</math> kleiner als <math>2</math> sein muss und größer als <math>-2</math>.
-
Die Basis des Dreiecks ist <math>4</math>, und die Höhe ist <math>2</math>.
+
Die Grundseite (oder Basis) des Dreiecks ist <math>4</math> und die Höhe ist <math>2</math>.
-
Fie Fläche des Dreiecks ist daher <math> 4\cdot 2/2=4</math>.
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Die Fläche des Dreiecks ist daher <math> 4\cdot 2/2=4</math>.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.2 Übungen|Übungen]]''' .
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[[2.2 Übungen|Übungen]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
Zeile 303: Zeile 307:
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die Links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
+
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Bedenken Sie folgendes ... '''
+
'''Bedenke folgendes ... '''
-
Zeichnen Sie immer ihre eigenen Figuren wenn Sie geometrische Probleme lösen, und zeichnen Sie genau. Mit einer guten Figur sind Sie fast fertig, während eine schlechte Figur irreführend sein kann.
+
Fertige immer eine eigene kleine Zeichnung an, wenn Du geometrische Probleme lösen willst, und zeichne genau. Mit einer guten Zeichnung ist das Problem oft schon gelöst, während eine schlechte Zeichnung irreführend sein kann.
- 
-
<!--
 
-
'''Reviews'''
 
- 
-
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references:
 
- 
-
[http://matmin.kevius.com/linje.html Learn more about linear equations in Bruno Kevius mathematical glossary (Swedish).]
 
-
-->
 
'''Nützliche Websites'''
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experiment with Equations of a Straight Line]
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experimente mit Geradengleichungen (engl.)]
-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experiment with Archimedes Triangle & Squaring of Parabola.]
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experimente mit Archimedischen Dreiecken (engl.)]
</div>
</div>

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Lineare Gleichungen
  • Gleichung einer Geraden
  • Geometrische Probleme
  • durch lineare Gleichungen definierte Gebiete

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
  • Gleichungen zwischen den Formen y = kx + m und ax + by + c = 0. umwandeln.
  • Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen.
  • Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
  • Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebiete berechnen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Lineare Gleichungen

Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.

Beispiel 1

  1. Löse die Gleichung \displaystyle x+3=7.

    Wir subtrahieren \displaystyle 3 von beiden Seiten
    \displaystyle x+3-3=7-3.
    Die linke Seite ist danach \displaystyle x, also ist unsere Gleichung gelöst:
    \displaystyle x=7-3=4.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle 3x=6.

    Wir dividieren beide Seiten mit \displaystyle 3
    \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
    Nachdem wir \displaystyle 3 auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
    \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
  3. Löse die Gleichung \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}

    Zuerst subtrahieren wir \displaystyle 1 von beiden Seiten, sodass \displaystyle 2x alleine links steht
    \displaystyle 2x=5-1.
    Jetzt dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 2 und bekommen die Lösung:
    \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.

Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform \displaystyle ax=b gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach mit Division durch a, \displaystyle x=b/a (nur wenn \displaystyle a\not=0).

Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen, die notwendig sind, um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \,2x-3=5x+7.


Nachdem \displaystyle x links und rechts erscheint, subtrahieren wir von beiden Seiten der Gleichung \displaystyle 2x

\displaystyle 2x-3-2x=5x+7-2x

und jetzt kommt \displaystyle x nur in der rechten Seite vor

\displaystyle -3 = 3x+7 \; \mbox{.}

Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle -3 -7 = 3x +7-7

und erhalten \displaystyle 3x nur auf der rechten Seite der Gleichung

\displaystyle -10=3x\,\mbox{.}

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 3

\displaystyle \frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}

und erhalten die Lösung

\displaystyle x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}

Beispiel 3

Löse die Gleichung \displaystyle ax+7=3x-b nach \displaystyle x auf.


Indem wir \displaystyle 3x von beiden Seiten subtrahieren

\displaystyle ax+7-3x=3x-b-3x
\displaystyle ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}

und danach \displaystyle 7 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

\displaystyle ax+7-3x -7=-b-7
\displaystyle ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7

Jetzt sind alle Terme, die \displaystyle x enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor \displaystyle x ausklammern (Anwendung des Distributivgesetzes).

\displaystyle (a-3)x = -b-7\; \mbox{.}

Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle a-3 dividieren, erhalten wir die Lösung

\displaystyle x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}

Beachte hierbei, dass \displaystyle a nicht \displaystyle 3 sein darf, da wir sonst durch Null teilen würden.

Man sieht nicht immer deutlich, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.

Beispiel 4

Löse die Gleichung \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.

Wir multiplizieren die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung aus.

\displaystyle x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}
\displaystyle 4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}

Hier subtrahieren wir \displaystyle 4x^2 von beiden Seiten

\displaystyle -6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}

und addieren \displaystyle 6x zu beiden Seiten

\displaystyle 9 = 34x +49\; \mbox{.}

und subtrahieren \displaystyle 49 von beiden Seiten

\displaystyle -40=34x\; \mbox{.}

und schließlich dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 34

\displaystyle x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.


Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}

und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0

und vereinfachen den Zähler

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}

Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist).

\displaystyle 5x+4=0

und wir haben \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.

B - Geraden

Gleichungen wie

\displaystyle y = 2x+1
\displaystyle y = -x+3
\displaystyle y = \frac{1}{2} x -5

sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie

\displaystyle y = kx+m

schreiben kann, wobei \displaystyle k und \displaystyle m Konstanten sind.

Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante \displaystyle k bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur \displaystyle x-Achse ist und die Konstante \displaystyle m ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \displaystyle y-Achse.

[Image]

Die Gerade y = kx + m hat die Steigung k und kreuzt die y-Achse im Punkt (0,m)

Die Konstante \displaystyle k wird die Steigung genannt und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven \displaystyle x-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um \displaystyle k Einheiten in der positiven \displaystyle y-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:

  • Aufwärts wenn \displaystyle k>0.
  • Abwärts wenn \displaystyle k<0.

Eine horizontale Gerade, die parallel mit der \displaystyle x-Achse ist, hat \displaystyle k=0 während eine vertikale Gerade, parallel mit der \displaystyle y-Achse nicht in der Form \displaystyle y=kx+m geschrieben werden kann (Wenn die Gerade auf der y-Achse liegt, ist jeder Punkt der Gerade ein Schnittpunkt mit der y-Achse, also gibt es zuviele mögliche \displaystyle m. Wenn die Gerade nicht auf der y-Achse liegt, gibt es keinen reellen Schnittpunkt mit der y-Achse, und darum kein \displaystyle m .).

Beispiel 6

  1. Zeichne die Gerade \displaystyle y=2x-1.

    Wenn wir die Gleichung mit der Standardform \displaystyle y=kx+m vergleichen, sehen wir, dass \displaystyle k=2 und \displaystyle m=-1. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung \displaystyle 2 hat und die \displaystyle y-Achse im Punkt \displaystyle (0,-1) kreuzt. Siehe die Zeichnung unten links.
  2. Zeichne die Gerade \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 geschrieben werden. Wir sehen, dass die Steigung \displaystyle k= -\tfrac{1}{2} ist, und dass \displaystyle m=2. Siehe die Zeichnung unten rechts.

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[Image]

Line y = 2x - 1 Line y = 2 - x/2

Beispiel 7

Was ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte \displaystyle (2,1) und \displaystyle (5,3) geht?

Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir, dass \displaystyle 5-2=3 Einheiten entlang der Geraden in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle 3-1=2 Einheiten in der \displaystyle y-Richtung entsprechen. Also entspricht \displaystyle 1 Schritt in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} Schritte in der \displaystyle y-Richtung. Also ist die Steigung \displaystyle k= \frac{2}{3}.

Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden, die rechtwinkelig sind und die Steigungen \displaystyle k_1 und \displaystyle k_2 haben, dass \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, oder anders geschrieben \displaystyle k_1 k_2 = -1.

[Image]

Die Gerade in der linken Zeichnung hat die Steigung \displaystyle k, also entspricht \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle x-Richtung, \displaystyle k Einheiten in die \displaystyle y-Richtung. Falls die Gerade \displaystyle 90^\circ im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Zeichnung rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt \displaystyle -\frac{1}{k} ist, nachdem \displaystyle -k Einheiten in die \displaystyle x-Richtung \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle y-Richtung entsprechen.

Beispiel 8

  1. Die Geraden \displaystyle y=3x-1 und \displaystyle y=3x+5 sind parallel.
  2. Die Geraden \displaystyle y=x+1 und \displaystyle y=2-x sind orthogonal zueinander.

Alle Geraden(auch die vertikalen) können generell wie

\displaystyle ax+by=c

geschrieben werden, wobei \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind.

Beispiel 9

  1. Bringe die Gerade \displaystyle y=5x+7 in die Form \displaystyle ax+by=c.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten:\displaystyle -5x+y=7.
  2. Schreibe die Gerade \displaystyle 2x+3y=-1 auf der Form \displaystyle y=kx+m.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten

    \displaystyle 3y=-2x-1

    und dividieren beide Seiten durch \displaystyle 3
    \displaystyle y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}

Hier wird gezeigt, wie die Gleichung einer Geraden aus zwei ihrer Punkte konstruiert werden kann.

C - Flächen in einem Koordinatensystem

Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.

Beispiel 10

  1. Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, das die Ungleichung \displaystyle y\ge2 erfüllt.

    Das Gebiet besteht aus allen Punkten, \displaystyle (x,y), wo die \displaystyle y-Koordinate größer oder gleich \displaystyle 2 ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=2.

    [Image]

  2. Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, dass die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt.

    Ein Punkt \displaystyle (x,y), der die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt, muss eine \displaystyle x-Koordinate haben, die größer als die \displaystyle y-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden \displaystyle y=x.

    [Image]


    Dass die Gerade \displaystyle y=x gepunktet ist, heißt, dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört.

Beispiel 11

Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, das die Ungleichung \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4 erfüllt.

Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden

\displaystyle 3x+2y \ge 2 \quad und \displaystyle \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}

Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiten Seiten und dividieren danach beide Seiden durch \displaystyle 2

\displaystyle y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad und \displaystyle \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}

Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden \displaystyle y = 1-\tfrac{3}{2}x, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden \displaystyle y= 2-\tfrac{3}{2}x liegen.

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Das linke Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\ge 2 und das rechte Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\le 4.

Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.

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Das Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 2\le 3x+2y\le 4.

Beispiel 12

Die Geraden \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x und \displaystyle y=2 begrenzen ein Dreieck.

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Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen:

Die \displaystyle y-Koordinate muss geringer als \displaystyle 2 sein. Die \displaystyle y-Koordinate muss aber auch größer als \displaystyle 0 sein. Also muss gelten, dass \displaystyle 0\le y\le2.

Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=-x und \displaystyle y=x liegen müssen. Dies entspricht, dass \displaystyle -y\le x\le y. Nachdem wir Begrenzungen für die \displaystyle y-Koordinate haben, wissen wir auch, dass \displaystyle x kleiner als \displaystyle 2 sein muss und größer als \displaystyle -2.

Die Grundseite (oder Basis) des Dreiecks ist \displaystyle 4 und die Höhe ist \displaystyle 2.

Die Fläche des Dreiecks ist daher \displaystyle 4\cdot 2/2=4.



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes ...

Fertige immer eine eigene kleine Zeichnung an, wenn Du geometrische Probleme lösen willst, und zeichne genau. Mit einer guten Zeichnung ist das Problem oft schon gelöst, während eine schlechte Zeichnung irreführend sein kann.


Nützliche Websites

Experimente mit Geradengleichungen (engl.)

Experimente mit Archimedischen Dreiecken (engl.)

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