2.2 Lineare Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
{{Vald flik|[[2.2 Linjära uttryck|Theory]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[2.2 Lineare Gleichungen|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[2.2 Övningar|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[2.2 Übungen|Übungen]]}}
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Content:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*First degree equations
+
* Lineare Gleichungen
-
* Equation of a straight line
+
* Gleichung einer Geraden
-
*Geometrical problems
+
* Geometrische Probleme
-
*Regions that are defined using inequalities
+
* durch lineare Gleichungen definierte Gebiete
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned how to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Solve algebraic equations, which after simplification results in first degree equations.
+
*Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
-
*Convert between the forms ''y'' = ''kx'' + ''m'' and ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0.
+
*Gleichungen zwischen den Formen ''y'' = ''kx'' + ''m'' und ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0. umwandeln.
-
*Sketch straight lines from their equation.
+
*Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen.
-
* Solve geometric problems which contain straight lines.
+
* Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
-
*Sketch regions defined by linear inequalities and determine the area of these regions.
+
* Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebiete berechnen.
}}
}}
-
== First degree equations ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
To solve first degree equations (also known as linear equations) we perform calculation on both sides simultaneously, which gradually simplifies the equation and ultimately leads to <math>x</math> being alone on one side of the equation.
+
== A - Lineare Gleichungen ==
 +
 
 +
Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Solve the equation <math>x+3=7</math>.<br/><br/>
+
<li>Löse die Gleichung <math>x+3=7</math>.<br/><br/>
-
Subtract <math>3</math> from both sides
+
Wir subtrahieren <math>3</math> von beiden Seiten
:<math>x+3-3=7-3</math>.
:<math>x+3-3=7-3</math>.
-
The left-hand side then simplifies to <math>x</math> , and we get
+
Die linke Seite ist danach <math>x</math>, also ist unsere Gleichung gelöst:
:<math>x=7-3=4</math>.</li>
:<math>x=7-3=4</math>.</li>
-
<li>Solve the equation <math>3x=6</math>. <br/><br/>
+
<li>Löse die Gleichung <math>3x=6</math>. <br/><br/>
-
Divide both sides by <math>3</math>
+
Wir dividieren beide Seiten mit <math>3</math>
:<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>.
:<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>.
-
After having canceled <math>3</math> on the left-hand side, we have
+
Nachdem wir <math>3</math> auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
:<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li>
:<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li>
-
<li> Solve the equation <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
+
<li> Löse die Gleichung <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
-
First we subtract <math>1</math> from both sides to get <math>2x</math> on its own on the left-hand side
+
Zuerst subtrahieren wir <math>1</math> von beiden Seiten, sodass <math>2x</math> alleine links steht
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
-
Then we divide both sides by <math>2</math> and get the answer
+
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch <math>2</math> und bekommen die Lösung:
:<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li>
:<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
A first degree equations can be written in the normal form <math>ax=b</math>. The solution is then simply <math>x=b/a</math> (we must assume that <math>a\not=0</math>).
+
Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform <math>ax=b</math> gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach mit Division durch ''a'', <math>x=b/a</math> (nur wenn <math>a\not=0</math>).
-
The possible difficulties that may occur when you solve a first degree equations are thus not in themselves the form of the solution but rather the simplifications that may be needed to achieve the normal form. Below are a couple examples that have in common that an equation can be simplified to linear normal form and thus has a unique solution.
+
 
 +
Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen, die notwendig sind, um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
'''Beispiel 2'''
-
Solve the equation<math>\,2x-3=5x+7</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,2x-3=5x+7</math>.
-
Since <math>x</math> occurs on both the left- and right-hand sides we subtract <math>2x</math> from both sides
+
Nachdem <math>x</math> links und rechts erscheint, subtrahieren wir von beiden Seiten der Gleichung <math>2x</math>
-
{{Fristående formel||<math>2x-3-2x=5x+7-2x</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2x-3-2x=5x+7-2x</math>}}
-
and now <math>x</math> only appears on the right-hand side
+
und jetzt kommt <math>x</math> nur in der rechten Seite vor
-
{{Fristående formel||<math>-3 = 3x+7 \; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-3 = 3x+7 \; \mbox{.}</math>}}
-
Now we subtract 7 from both sides
+
Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>-3 -7 = 3x +7-7</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-3 -7 = 3x +7-7</math>}}
-
and get <math>3x</math> on its own on the right-hand side
+
und erhalten <math>3x</math> nur auf der rechten Seite der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>-10=3x\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-10=3x\,\mbox{.}</math>}}
-
The last step is to divide both sides by <math>3</math>
+
Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch <math>3</math>
-
{{Fristående formel||<math>\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}</math>}}
-
and this gives that
+
und erhalten die Lösung
-
{{Fristående formel||<math>x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
'''Beispiel 3'''
-
Solve for <math>x</math> in the equation <math>ax+7=3x-b</math>.
+
Löse die Gleichung <math>ax+7=3x-b</math> nach <math> x </math> auf.
-
By subtracting <math>3x</math> from both sides
+
Indem wir <math>3x</math> von beiden Seiten subtrahieren
-
{{Fristående formel||<math>ax+7-3x=3x-b-3x</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=3x-b-3x</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}</math>}}
-
and then subtract <math>7</math>
+
und danach <math>7</math> von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
-
We have gathered together all the terms that contain <math>x</math> on the left-hand side and all other terms on the right-hand side. Since the terms on the left-hand side have <math>x</math> as a common facto, r<math>x</math> can be factored out
+
Jetzt sind alle Terme, die <math>x</math> enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor <math>x</math> ausklammern (Anwendung des Distributivgesetzes).
-
{{Fristående formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
-
Divide both sides with <math>a-3</math> giving
+
Wenn wir beide Seiten durch <math>a-3</math> dividieren, erhalten wir die Lösung
-
{{Fristående formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}}
 +
 
 +
Beachte hierbei, dass <math>a</math> nicht <math>3</math> sein darf, da wir sonst durch Null teilen würden.
</div>
</div>
-
It is not always obvious that you are dealing with a first degree equation. In the following two examples simplifications turn the original equation into a first degree equation.
+
Man sieht nicht immer deutlich, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
-
 
+
-
Solve the equation<math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>.
+
 +
Löse die Gleichung <math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>.
-
Expand the quadratic expressions on both sides
+
Wir multiplizieren die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung aus.
-
{{Fristående formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}}
-
Subtract <math>4x^2</math> from both sides
+
Hier subtrahieren wir <math>4x^2</math> von beiden Seiten
-
{{Fristående formel||<math>-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}</math>}}
-
Add <math>6x</math> to both sides
+
und addieren <math>6x</math> zu beiden Seiten
-
{{Fristående formel||<math>9 = 34x +49\; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>9 = 34x +49\; \mbox{.}</math>}}
-
Subtract <math>49</math> from both sides
+
und subtrahieren <math>49</math> von beiden Seiten
-
{{Fristående formel||<math>-40=34x\; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-40=34x\; \mbox{.}</math>}}
-
Divide both sides by <math>34</math>
+
und schließlich dividieren wir beide Seiten durch <math>34</math>
-
{{Fristående formel||<math>x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Solve the equation <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>.
-
Collect both terms to one side
+
Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}</math>}}
-
Convert the terms so that they have the same denominator
+
und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0</math>}}
-
and simplify the numerator
+
und vereinfachen den Zähler
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
This equation only is satisfied when the numerator is equal to zero (whilst the denominator is not equal to zero);
+
Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist).
-
{{Fristående formel||<math>5x+4=0</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>5x+4=0</math>}}
-
which gives that <math>\,x = -\frac{4}{5}</math>.
+
und wir haben <math>\,x = -\frac{4}{5}</math>.
</div>
</div>
 +
== B - Geraden ==
-
== Straight lines ==
+
Gleichungen wie
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y = 2x+1</math>}}
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y = -x+3</math>}}
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y = \frac{1}{2} x -5 </math>}}
-
Functions such as
+
sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie
-
{{Fristående formel||<math>y = 2x+1</math>}}
+
-
{{Fristående formel||<math>y = -x+3</math>}}
+
-
{{Fristående formel||<math>y = \frac{1}{2} x -5 </math>}}
+
-
 
+
-
are examples of linear functions, and they generally can be put into the form
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>y = kx+m</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y = kx+m</math>}}
</div>
</div>
-
where <math>k</math> and <math>m</math> are constants.
+
schreiben kann, wobei <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind.
-
The graph of a linear function is always a straight line and the constant <math>k</math> indicates the slope of the line with respect to the <math>x</math>-axeln and <math>m</math> gives the <math>y</math>-coordinates of the point where the line intersects the <math>y</math>-axeln.
+
Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante <math>k</math> bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achse ist und die Konstante <math>m</math> ist der Schnittpunkt der Geraden mit der <math>y</math>-Achse.
-
<center>{{:2.2 - Figur - Linjen y = kx + m}}</center>
+
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m}}</center>
-
<center><small>The line ''y'' = ''kx'' + ''m'' has slope ''k'' and cuts the ''y''-axis at (0,''m'')</small></center>
+
<center><small>Die Gerade ''y'' = ''kx'' + ''m'' hat die Steigung ''k'' und kreuzt die ''y''-Achse im Punkt (0,''m'')</small></center>
-
+
-
The constant <math>k</math> is called the slope and means that a unit change in the positive <math>x</math>-direction along the line gives <math>k</math> units change in the positive <math>y</math>-direction. Thus if
+
-
*<math>k>0\,</math> the line slopes upwards,
+
Die Konstante <math>k</math> wird die Steigung genannt und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven <math>x</math>-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um <math>k</math> Einheiten in der positiven <math>y</math>-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:
-
*<math>k<0\,</math> the line slopes downwards.
+
*Aufwärts wenn <math>k>0</math>.
 +
*Abwärts wenn <math>k<0</math>.
-
For a horisontal line (parallel to the <math>x</math>-axis) <math>k=0</math> whereas a vertical line (parallel to the <math>y</math>-axis) does not have a <math>k</math> value ( a vertical line cannot be written in the form <math>y=kx+m</math>).
+
Eine horizontale Gerade, die parallel mit der <math>x</math>-Achse ist, hat <math>k=0</math> während eine vertikale Gerade, parallel mit der <math>y</math>-Achse nicht in der Form <math>y=kx+m</math> geschrieben werden kann (Wenn die Gerade auf der ''y''-Achse liegt, ist jeder Punkt der Gerade ein Schnittpunkt mit der ''y''-Achse, also gibt es zuviele mögliche <math>m</math>. Wenn die Gerade nicht auf der ''y''-Achse liegt, gibt es keinen reellen Schnittpunkt mit der ''y''-Achse, und darum kein <math> m </math>.).
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Sketch the line <math>y=2x-1</math>. <br/><br/>
+
<li> Zeichne die Gerade <math>y=2x-1</math>. <br/><br/>
-
Comparing with the standard equation <math>y=kx+m</math> we see that <math>k=2</math> and <math>m=-1</math>. This means that the line's slope is <math>2</math> and that it cuts the <math>y</math>-axis at <math>(0,-1)</math>. See the figure below to the left.</li>
+
Wenn wir die Gleichung mit der Standardform <math>y=kx+m</math> vergleichen, sehen wir, dass <math>k=2</math> und <math>m=-1</math>. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung <math>2</math> hat und die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>(0,-1)</math> kreuzt. Siehe die Zeichnung unten links.</li>
-
<li>Sketch the line <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/>
+
<li>Zeichne die Gerade <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/>
-
The equation of the line can be written as <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> , and then we see that its slope is <math>k= -\tfrac{1}{2}</math>and that <math>m=2</math>. See the figure below to the right.
+
Die Gleichung kann wie <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> geschrieben werden. Wir sehen, dass die Steigung <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> ist, und dass <math>m=2</math>. Siehe die Zeichnung unten rechts.
</ol>
</ol>
{| align="center" padding="20px"
{| align="center" padding="20px"
-
|align="center"|{{:2.2 - Figur - Linjen y = 2x - 1}}
+
|align="center"|{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = 2x - 1}}
|width="20px"|
|width="20px"|
-
|align="center"|{{:2.2 - Figur - Linjen y = 2 - x/2}}
+
|align="center"|{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = 2 - x/2}}
|-
|-
|align="center"|<small>Line ''y'' = 2''x'' - 1</small>
|align="center"|<small>Line ''y'' = 2''x'' - 1</small>
Zeile 185: Zeile 187:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
What is the slope of the straight line that passes through the points <math>(2,1)</math> and <math>(5,3)</math>?
+
Was ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte <math>(2,1)</math> und <math>(5,3)</math> geht?
-
 
+
Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir, dass <math>5-2=3</math> Einheiten entlang der Geraden in der <math>x</math>-Richtung <math>3-1=2</math> Einheiten in der <math>y</math>-Richtung entsprechen. Also entspricht <math>1</math> Schritt in der <math>x</math>-Richtung <math>k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}</math> Schritte in der <math>y</math>-Richtung. Also ist die Steigung <math>k= \frac{2}{3}</math>.
-
If we plot the points and draw the line in a coordinate system, we see that <math>5-2=3</math> steps in the <math>x</math>-direction corresponds to <math>3-1=2</math> steps in the <math>y</math>-direction along the line. This means that <math>1</math> step in the <math>x</math>-direction corresponds to <math>k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}</math> steps in the <math>y</math>-direction. So the line's slope is <math>k= \frac{2}{3}</math>.
+
-
 
+
-
<center>{{:2.2 - Figur - Linje genom punkterna (2,1) och (5,3)}}</center>
+
</div>
</div>
-
Two straight lines that are parallel clearly have the same slope. It is also possible to see (such as in the figure below) that for two lines having slopes <math>k_1</math> and <math>k_2</math> and also are perpendicular then <math>k_2 = -\frac{1}{k_1}</math>, which also can be written as <math>k_1 k_2 = -1</math>.
+
Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden, die rechtwinkelig sind und die Steigungen <math>k_1</math> und <math>k_2</math> haben, dass <math>k_2 = -\frac{1}{k_1}</math>, oder anders geschrieben <math>k_1 k_2 = -1</math>.
-
<center>{{:2.2 - Figur - Riktningskoefficient för vinkelräta linjer}}</center>
+
<center>{{:2.2 - Bild - Die Steigung von rechtwinkligen Geraden}}</center>
-
The straight line in the figure on the left has slope <math>k</math>, that is <math>1</math> step in the <math>x</math>--direction corresponds to <math>k</math> steps in the <math>y</math>-direction. If the line is rotated <math>90^\circ</math> clockwise, we get the line in the figure to the right, and that line has slope <math>-\frac{1}{k}</math> because now <math>-k</math> steps in the <math>x</math>-direction corresponds to <math>1</math> step in the <math>y</math>-direction
+
Die Gerade in der linken Zeichnung hat die Steigung <math>k</math>, also entspricht <math>1</math> Einheit in die <math>x</math>-Richtung, <math>k</math> Einheiten in die <math>y</math>-Richtung. Falls die Gerade <math>90^\circ</math> im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Zeichnung rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt <math>-\frac{1}{k}</math> ist, nachdem <math>-k</math> Einheiten in die <math>x</math>-Richtung <math>1</math> Einheit in die <math>y</math>-Richtung entsprechen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 8'''
+
''' Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> The lines <math>y=3x-1</math> and <math>y=3x+5</math> are parallel.
+
<li> Die Geraden <math>y=3x-1</math> und <math>y=3x+5</math> sind parallel.
-
<li> The lines <math>y=x+1</math> and <math>y=2-x</math> are perpendicular.
+
<li> Die Geraden <math>y=x+1</math> und <math>y=2-x</math> sind orthogonal zueinander.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
All straight lines (including vertical lines) can be put into the general form
+
Alle Geraden(auch die vertikalen) können generell wie
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>ax+by=c</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+by=c</math>}}
</div>
</div>
-
where <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> are constants.
+
geschrieben werden, wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Put the line <math>y=5x+7</math> into the form <math>ax+by=c</math>.<br/><br/>
+
<li>Bringe die Gerade <math>y=5x+7</math> in die Form <math>ax+by=c</math>.<br/><br/>
-
Move the <math>x</math>-term to the left-hand side: <math>-5x+y=7</math>.</li>
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten:<math>-5x+y=7</math>.</li>
-
<li> Put the line <math>2x+3y=-1</math> into the form <math>y=kx+m</math>.<br/><br/>
+
<li> Schreibe die Gerade <math>2x+3y=-1</math> auf der Form <math>y=kx+m</math>.<br/><br/>
-
Move the <math>x</math>-term to the right-hand side <math>3y=-2x-1</math>and divide both sides by <math>3</math>
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten
-
{{Fristående formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
<br/><br/>
 +
<math>3y=-2x-1 </math>
 +
<br/><br/>
 +
und dividieren beide Seiten durch <math>3</math>
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Here'''] you can see how an equation for a line can be obtained if we know the coordinates of two points on the line.
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Hier'''] wird gezeigt, wie die Gleichung einer Geraden aus zwei ihrer Punkte konstruiert werden kann.
-
[http://www.theducation.se/hemsida//gymnasium_komvux/webbaserade_laromedel_och_webbstod/matematik_3000/experimentera_med_den_rata_linjen/index.asp '''Here'''] you can vary k and m and see how this affects the line's characteristics.
+
== C - Flächen in einem Koordinatensystem ==
-
 
+
Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.
-
==Regions in a coordinate system ==
+
-
 
+
-
By geometrically interpreting inequalities, one can describe regions in the planet.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Sketch the region in the <math>x,y</math>-plane that satisfies <math>y\ge2</math>. <br/><br/>
+
<li>Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>y\ge2</math> erfüllt. <br/><br/>
-
The region is given by all the points <math>(x,y)</math> for which the <math>y</math>-coordinate is equal or greater than <math>2</math> that is all points on or above the line <math>y=2</math>.<br/>
+
Das Gebiet besteht aus allen Punkten, <math>(x,y)</math>, wo die <math>y</math>-Koordinate größer oder gleich <math>2</math> ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=2</math>.<br/>
-
<center>{{:2.2 - Figur - Området y ≥ 2}}</center></li>
+
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y ≥ 2}}</center></li>
-
<li>Sketch the region in the <math>x,y</math>-plane that satisfies <math>y < x</math>. <br/><br/>
+
<li>Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, dass die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt. <br/><br/>
-
A point<math>(x,y)</math> that satisfies the inequality <math>y < x</math> must have an <math>x</math>-coordinate that is larger than its <math>y</math>-coordinate. Thus the area consists of all the points to the right of the line <math>y=x</math>.<br/>
+
Ein Punkt <math>(x,y)</math>, der die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt, muss eine <math>x</math>-Koordinate haben, die größer als die <math>y</math>-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden <math>y=x</math>.<br/>
 +
 
 +
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y weniger als x}}</center>
-
<center>{{:2.2 - Figur - Området y mindre än x}}</center>
 
-
The fact that the line <math>y=x</math> is dotted means that the points on the line do not belong to the coloured area.
+
Dass die Gerade <math>y=x</math> gepunktet ist, heißt, dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 11'''
+
''' Beispiel 11'''
-
Sketch the region in the <math>x,y</math>-plane that satisfies <math>2 \le 3x+2y\le 4</math>.
+
Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>2 \le 3x+2y\le 4</math> erfüllt.
 +
Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden
-
The double inequality can be divided into two inequalities
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> und <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> and <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}}
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiten Seiten und dividieren danach beide Seiden durch <math>2</math>
-
We move the <math>x</math>-terms into the right-hand side and divide both sides by <math>2</math> giving
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> und <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> and <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}}
+
Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden <math>y = 1-\tfrac{3}{2}x</math>, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden <math>y= 2-\tfrac{3}{2}x</math> liegen.
-
The points that satisfy the first inequality are on and above the line <math>y \ge 1-\tfrac{3}{2}x</math> while the points that satisfy the other inequality are on or below the line <math>y\le 2-\tfrac{3}{2}x</math>.
+
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gebiete 3x + 2y ≥ 2 und 3x + 2y ≤ 4}}</center>
 +
<center><small>Das linke Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\ge 2</math> und das rechte Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\le 4</math>.</small></center>
-
<center>{{:2.2 - Figur - Områdena 3x + 2y ≥ 2 och 3x + 2y ≤ 4}}</center>
+
Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.
-
<center><small>The figure on the left shows the region <math>3x+2y\ge 2</math> and figure to the right shows the region <math>3x+2y\le 4</math>.</small></center>
+
-
 
+
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4}}</center>
-
Points that satisfy both inequalities form a band-like region where both coloured areas overlap.
+
<center><small>Das Bild zeigt das Gebiet <math>2\le 3x+2y\le 4</math>.</small></center>
-
 
+
-
<center>{{:2.2 - Figur - Området 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4}}</center>
+
-
<center><small>The figure shows the region<math>2\le 3x+2y\le 4</math>.</small></center>
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 12'''
+
''' Beispiel 12'''
-
If we draw the lines <math>y=x</math>, <math>y=-x</math> and <math>y=2</math> then these lines bound a triangle in a coordinate system.
+
Die Geraden <math>y=x</math>, <math>y=-x</math> und <math>y=2</math> begrenzen ein Dreieck.
 +
<center>{{:2.2 - Bild - Das Dreieck begrenzt von y = x, y = 2 und y = -x}}</center>
-
<center>{{:2.2 - Figur - Triangel begränsad av y = x, y = 2 och y = -x}}</center>
 
-
We find that for a point to lie in this triangle, it has to satisfy certain conditions.
+
Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen:
-
We see that its <math>y</math>-coordinate must be less than <math>2</math>. At the same time, we see that the triangle is bounded by <math> y=0</math>. below. Thus the <math>y</math> coordinates must be in the range <math> 0\le y\le2</math>.
+
Die <math>y</math>-Koordinate muss geringer als <math>2</math> sein. Die <math>y</math>-Koordinate muss aber auch größer als <math>0</math> sein. Also muss gelten, dass <math> 0\le y\le2</math>.
-
For the <math>x</math>-coordinate, the situation is a little more complicated. We see that the <math>x</math>-coordinate must satisfy the fact that all points lie above the lines <math>y=-x</math> and <math>y=x</math>. We see that this is satisfied if <math>-y\le x\le y</math>. Since we already have restricted the <math>y</math>-coordinates, we see that <math>x</math> cannot be larger than<math>2</math>
+
Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=-x</math> und <math>y=x</math> liegen müssen. Dies entspricht, dass <math>-y\le x\le y</math>. Nachdem wir Begrenzungen für die <math>y</math>-Koordinate haben, wissen wir auch, dass <math>x</math> kleiner als <math>2</math> sein muss und größer als <math>-2</math>.
-
or less than <math>-2</math>.
+
-
Thus the base of the triangle is <math>4</math> units of length and the height <math>2</math> units of length.
+
Die Grundseite (oder Basis) des Dreiecks ist <math>4</math> und die Höhe ist <math>2</math>.
-
The area of this triangle is therefore <math> 4\cdot 2/2=4</math> units of area.
+
Die Fläche des Dreiecks ist daher <math> 4\cdot 2/2=4</math>.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.2 Übungen|Übungen]]''' .
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[[2.2 Övningar|Exercises]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Study advice'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
-
'''Basic and final tests'''
+
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
+
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Keep in mind that ... '''
+
'''Bedenke folgendes ... '''
-
Draw your own diagrams when you solve geometrical problems and draw carefully and accurately! A good diagram can mean you are halfway to a solution, but a poor diagram may well fool you.
+
Fertige immer eine eigene kleine Zeichnung an, wenn Du geometrische Probleme lösen willst, und zeichne genau. Mit einer guten Zeichnung ist das Problem oft schon gelöst, während eine schlechte Zeichnung irreführend sein kann.
-
'''Reviews'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
 
+
-
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references:
+
-
 
+
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[http://matmin.kevius.com/linje.html Learn more about linear equations in Bruno Kevius mathematical glossary (Swedish).]
+
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-
 
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-
'''Länktips'''
+
-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experiment with Equations of a Straight Line]
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experimente mit Geradengleichungen (engl.)]
-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experiment with Archimedes Triangle & Squaring of Parabola.]
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experimente mit Archimedischen Dreiecken (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Lineare Gleichungen
  • Gleichung einer Geraden
  • Geometrische Probleme
  • durch lineare Gleichungen definierte Gebiete

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
  • Gleichungen zwischen den Formen y = kx + m und ax + by + c = 0. umwandeln.
  • Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen.
  • Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
  • Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebiete berechnen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Lineare Gleichungen

Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.

Beispiel 1

  1. Löse die Gleichung \displaystyle x+3=7.

    Wir subtrahieren \displaystyle 3 von beiden Seiten
    \displaystyle x+3-3=7-3.
    Die linke Seite ist danach \displaystyle x, also ist unsere Gleichung gelöst:
    \displaystyle x=7-3=4.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle 3x=6.

    Wir dividieren beide Seiten mit \displaystyle 3
    \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
    Nachdem wir \displaystyle 3 auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
    \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
  3. Löse die Gleichung \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}

    Zuerst subtrahieren wir \displaystyle 1 von beiden Seiten, sodass \displaystyle 2x alleine links steht
    \displaystyle 2x=5-1.
    Jetzt dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 2 und bekommen die Lösung:
    \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.

Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform \displaystyle ax=b gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach mit Division durch a, \displaystyle x=b/a (nur wenn \displaystyle a\not=0).

Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen, die notwendig sind, um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \,2x-3=5x+7.


Nachdem \displaystyle x links und rechts erscheint, subtrahieren wir von beiden Seiten der Gleichung \displaystyle 2x

\displaystyle 2x-3-2x=5x+7-2x

und jetzt kommt \displaystyle x nur in der rechten Seite vor

\displaystyle -3 = 3x+7 \; \mbox{.}

Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle -3 -7 = 3x +7-7

und erhalten \displaystyle 3x nur auf der rechten Seite der Gleichung

\displaystyle -10=3x\,\mbox{.}

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 3

\displaystyle \frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}

und erhalten die Lösung

\displaystyle x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}

Beispiel 3

Löse die Gleichung \displaystyle ax+7=3x-b nach \displaystyle x auf.


Indem wir \displaystyle 3x von beiden Seiten subtrahieren

\displaystyle ax+7-3x=3x-b-3x
\displaystyle ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}

und danach \displaystyle 7 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

\displaystyle ax+7-3x -7=-b-7
\displaystyle ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7

Jetzt sind alle Terme, die \displaystyle x enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor \displaystyle x ausklammern (Anwendung des Distributivgesetzes).

\displaystyle (a-3)x = -b-7\; \mbox{.}

Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle a-3 dividieren, erhalten wir die Lösung

\displaystyle x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}

Beachte hierbei, dass \displaystyle a nicht \displaystyle 3 sein darf, da wir sonst durch Null teilen würden.

Man sieht nicht immer deutlich, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.

Beispiel 4

Löse die Gleichung \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.

Wir multiplizieren die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung aus.

\displaystyle x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}
\displaystyle 4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}

Hier subtrahieren wir \displaystyle 4x^2 von beiden Seiten

\displaystyle -6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}

und addieren \displaystyle 6x zu beiden Seiten

\displaystyle 9 = 34x +49\; \mbox{.}

und subtrahieren \displaystyle 49 von beiden Seiten

\displaystyle -40=34x\; \mbox{.}

und schließlich dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 34

\displaystyle x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.


Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}

und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0

und vereinfachen den Zähler

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}

Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist).

\displaystyle 5x+4=0

und wir haben \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.

B - Geraden

Gleichungen wie

\displaystyle y = 2x+1
\displaystyle y = -x+3
\displaystyle y = \frac{1}{2} x -5

sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie

\displaystyle y = kx+m

schreiben kann, wobei \displaystyle k und \displaystyle m Konstanten sind.

Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante \displaystyle k bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur \displaystyle x-Achse ist und die Konstante \displaystyle m ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \displaystyle y-Achse.

[Image]

Die Gerade y = kx + m hat die Steigung k und kreuzt die y-Achse im Punkt (0,m)

Die Konstante \displaystyle k wird die Steigung genannt und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven \displaystyle x-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um \displaystyle k Einheiten in der positiven \displaystyle y-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:

  • Aufwärts wenn \displaystyle k>0.
  • Abwärts wenn \displaystyle k<0.

Eine horizontale Gerade, die parallel mit der \displaystyle x-Achse ist, hat \displaystyle k=0 während eine vertikale Gerade, parallel mit der \displaystyle y-Achse nicht in der Form \displaystyle y=kx+m geschrieben werden kann (Wenn die Gerade auf der y-Achse liegt, ist jeder Punkt der Gerade ein Schnittpunkt mit der y-Achse, also gibt es zuviele mögliche \displaystyle m. Wenn die Gerade nicht auf der y-Achse liegt, gibt es keinen reellen Schnittpunkt mit der y-Achse, und darum kein \displaystyle m .).

Beispiel 6

  1. Zeichne die Gerade \displaystyle y=2x-1.

    Wenn wir die Gleichung mit der Standardform \displaystyle y=kx+m vergleichen, sehen wir, dass \displaystyle k=2 und \displaystyle m=-1. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung \displaystyle 2 hat und die \displaystyle y-Achse im Punkt \displaystyle (0,-1) kreuzt. Siehe die Zeichnung unten links.
  2. Zeichne die Gerade \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 geschrieben werden. Wir sehen, dass die Steigung \displaystyle k= -\tfrac{1}{2} ist, und dass \displaystyle m=2. Siehe die Zeichnung unten rechts.

[Image]

[Image]

Line y = 2x - 1 Line y = 2 - x/2

Beispiel 7

Was ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte \displaystyle (2,1) und \displaystyle (5,3) geht?

Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir, dass \displaystyle 5-2=3 Einheiten entlang der Geraden in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle 3-1=2 Einheiten in der \displaystyle y-Richtung entsprechen. Also entspricht \displaystyle 1 Schritt in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} Schritte in der \displaystyle y-Richtung. Also ist die Steigung \displaystyle k= \frac{2}{3}.

Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden, die rechtwinkelig sind und die Steigungen \displaystyle k_1 und \displaystyle k_2 haben, dass \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, oder anders geschrieben \displaystyle k_1 k_2 = -1.

[Image]

Die Gerade in der linken Zeichnung hat die Steigung \displaystyle k, also entspricht \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle x-Richtung, \displaystyle k Einheiten in die \displaystyle y-Richtung. Falls die Gerade \displaystyle 90^\circ im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Zeichnung rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt \displaystyle -\frac{1}{k} ist, nachdem \displaystyle -k Einheiten in die \displaystyle x-Richtung \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle y-Richtung entsprechen.

Beispiel 8

  1. Die Geraden \displaystyle y=3x-1 und \displaystyle y=3x+5 sind parallel.
  2. Die Geraden \displaystyle y=x+1 und \displaystyle y=2-x sind orthogonal zueinander.

Alle Geraden(auch die vertikalen) können generell wie

\displaystyle ax+by=c

geschrieben werden, wobei \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind.

Beispiel 9

  1. Bringe die Gerade \displaystyle y=5x+7 in die Form \displaystyle ax+by=c.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten:\displaystyle -5x+y=7.
  2. Schreibe die Gerade \displaystyle 2x+3y=-1 auf der Form \displaystyle y=kx+m.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten

    \displaystyle 3y=-2x-1

    und dividieren beide Seiten durch \displaystyle 3
    \displaystyle y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}

Hier wird gezeigt, wie die Gleichung einer Geraden aus zwei ihrer Punkte konstruiert werden kann.

C - Flächen in einem Koordinatensystem

Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.

Beispiel 10

  1. Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, das die Ungleichung \displaystyle y\ge2 erfüllt.

    Das Gebiet besteht aus allen Punkten, \displaystyle (x,y), wo die \displaystyle y-Koordinate größer oder gleich \displaystyle 2 ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=2.

    [Image]

  2. Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, dass die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt.

    Ein Punkt \displaystyle (x,y), der die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt, muss eine \displaystyle x-Koordinate haben, die größer als die \displaystyle y-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden \displaystyle y=x.

    [Image]


    Dass die Gerade \displaystyle y=x gepunktet ist, heißt, dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört.

Beispiel 11

Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, das die Ungleichung \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4 erfüllt.

Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden

\displaystyle 3x+2y \ge 2 \quad und \displaystyle \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}

Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiten Seiten und dividieren danach beide Seiden durch \displaystyle 2

\displaystyle y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad und \displaystyle \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}

Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden \displaystyle y = 1-\tfrac{3}{2}x, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden \displaystyle y= 2-\tfrac{3}{2}x liegen.

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Das linke Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\ge 2 und das rechte Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\le 4.

Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.

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Das Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 2\le 3x+2y\le 4.

Beispiel 12

Die Geraden \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x und \displaystyle y=2 begrenzen ein Dreieck.

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Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen:

Die \displaystyle y-Koordinate muss geringer als \displaystyle 2 sein. Die \displaystyle y-Koordinate muss aber auch größer als \displaystyle 0 sein. Also muss gelten, dass \displaystyle 0\le y\le2.

Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=-x und \displaystyle y=x liegen müssen. Dies entspricht, dass \displaystyle -y\le x\le y. Nachdem wir Begrenzungen für die \displaystyle y-Koordinate haben, wissen wir auch, dass \displaystyle x kleiner als \displaystyle 2 sein muss und größer als \displaystyle -2.

Die Grundseite (oder Basis) des Dreiecks ist \displaystyle 4 und die Höhe ist \displaystyle 2.

Die Fläche des Dreiecks ist daher \displaystyle 4\cdot 2/2=4.



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes ...

Fertige immer eine eigene kleine Zeichnung an, wenn Du geometrische Probleme lösen willst, und zeichne genau. Mit einer guten Zeichnung ist das Problem oft schon gelöst, während eine schlechte Zeichnung irreführend sein kann.


Nützliche Websites

Experimente mit Geradengleichungen (engl.)

Experimente mit Archimedischen Dreiecken (engl.)

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