2.1 Algebraische Ausdrücke

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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(→A - Das Distributivgesetz)
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* Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.
* Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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'''Was ist eigentlich ein algebraischer Ausdruck?'''
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Statt Ausdruck kann man auch Term sagen: Es sind Summen und Produkte, die Variablen enthalten. Bei einem "algebraischer Ausdruck" kommen von den Variablen auch Potenzen vor. Haben alle Potenzen einen natürlichen Exponenten nennt man den algebraischen Ausdruck auch ganzrationalen Ausdruck oder Polynom in einer bestimmten Variable. Ein Bruch von zwei ganzrationalen Ausdrücken heisst ein gebrochen rationaler Ausdruck.
== A - Das Distributivgesetz ==
== A - Das Distributivgesetz ==
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Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation von Klammern mit einem Faktor.
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Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation einer Addition in einer Klammer mit einem Faktor außerhalb der Klammer.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
-
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
+
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
-
&= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
+
&= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
-
+ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
+
+ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
-
(a+b)\,(c+d)
+
(a+b)\,(c+d)
-
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
+
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
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Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz zweimal und multiplizieren <math>c</math> und <math>d</math> mit ihren jeweiligen Klammern.
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Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz und multiplizieren <math>c</math> und <math>d</math> mit ihren jeweiligen Klammern.
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
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</div>
</div>
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Es gibt zwei wichtige Sonderfälle von dieser Regel, nämlich wenn <math>a+b</math> und <math>c+d</math> gleich sind.
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Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von dieser Regel, nämlich wenn <math>a+b = c+d</math> ist.
<div class="regel">
<div class="regel">
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</div>
</div>
-
Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Ausdruck in seine Faktoren zu zerlegen.
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Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch "einen Ausdruck faktorisieren".
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</ol>
</ol>
</div>
</div>
- 
== C - Differenz von zwei Quadraten ==
== C - Differenz von zwei Quadraten ==
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{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
-
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
+
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
-
= a^2 -ab+ab-b^2
+
= a^2 -ab+ab-b^2
-
= a^2 -b^2\mbox{.}</math>}}
+
= a^2 -b^2\mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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-
== D - Rationale Ausdrücke ==
+
== D - Gebrochen rationale Ausdrücke ==
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Rechnungen mit rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.
+
Rechnungen mit gebrochen rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.
-
Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für rationale Ausdrücke.
+
Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für gebrochen rationale Ausdrücke.
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
-
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
+
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
-
\quad \mbox{und} \quad
+
\quad \mbox{und} \quad
-
\frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
+
\frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
-
= \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
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</div>
</div>
-
Man kann den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.
+
Man kann den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
-
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
+
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
-
= \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
+
= \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
-
= \dots</math>}}
+
= \dots</math>}}
-
Dies gilt auch umgekehrt, nämlich, dass man den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.
+
Dies gilt auch umgekehrt, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
-
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
+
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
-
= \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
-
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
+
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
-
= \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
+
= \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
-
= \frac{x-1-x}{x(x-1)}
+
= \frac{x-1-x}{x(x-1)}
-
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
-
Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden.
+
Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Brüche.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
+
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>
-
(x+1)(x+2)</math> <br><br>
+
Das kleinste gemeinsame Vielfache von <math>x+1</math> und <math> x+2</math> ist <math> (x+1)(x+2) </math>. Darum ist <math>
 +
(x+1)(x+2)</math> der kleinste gemeinsame Nenner von <math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>. <br><br>
Wir erweitern den ersten Bruch mit <math>(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)</math>
Wir erweitern den ersten Bruch mit <math>(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
+
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
-
&= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
+
&= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
-
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
+
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
 +
 
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
x^2</math><br><br>
x^2</math><br><br>
-
Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bekommen.
+
Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
-
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
+
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
-
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
 +
 
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
Wie erweitern den ersten Bruch mit <math>x(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)^2</math>
Wie erweitern den ersten Bruch mit <math>x(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)^2</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
+
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
-
&= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
+
&= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
-
- \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
- \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
+
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
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<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x(x-1)(x+1)</math><br><br>
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x(x-1)(x+1)</math><br><br>
-
Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben <math>x(x-1)(x+1)</math>
+
Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie den gemeinsamen Nenner <math>x(x-1)(x+1)</math> haben.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
+
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
-
&= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
+
&= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
-
- \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
- \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
+
&= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
-
- \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
- \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
+
&= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
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<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
<li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
-
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}
+
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
-
= \left\{\,\mbox{Kleinste gemeinsamer Nenner}
+
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
-
= (x+2)(x-2)\,\right\}</math><br/><br/>
+
= \left\{\,\mbox{Kleinster gemeinsamer Nenner}
 +
= (x+2)(x-2)\,\right\}
 +
</math><br/><br/>
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
= \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
= \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
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</ol>
</ol>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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[[2.1 Übungen|Übungen]]
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.1 Übungen|Übungen]]''' .
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Aktuelle Version

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Inhalt:

  • Das Distributivgesetz
  • Binomische Formeln
  • Differenz von zwei Quadraten
  • Rationale Ausdrücke

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Algebraische Ausdrücke vereinfachen.
  • Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren.
  • Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


Was ist eigentlich ein algebraischer Ausdruck?

Statt Ausdruck kann man auch Term sagen: Es sind Summen und Produkte, die Variablen enthalten. Bei einem "algebraischer Ausdruck" kommen von den Variablen auch Potenzen vor. Haben alle Potenzen einen natürlichen Exponenten nennt man den algebraischen Ausdruck auch ganzrationalen Ausdruck oder Polynom in einer bestimmten Variable. Ein Bruch von zwei ganzrationalen Ausdrücken heisst ein gebrochen rationaler Ausdruck.

A - Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation einer Addition in einer Klammer mit einem Faktor außerhalb der Klammer.


[Image]

Beispiel 1

  1. \displaystyle 4(x+y) = 4x + 4y
  2. \displaystyle 2(a-b) = 2a -2b
  3. \displaystyle x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}
  4. \displaystyle a(x+y+z) = ax + ay + az

Das Distributivgesetz erklärt auch, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll: Ein Minuszeichen vor einer Klammer entspricht dem Wechsel des Vorzeichens von allen Zahlen in der Klammer. Siehe dazu Beispiel 2a. und 2b.

Beispiel 2

  1. \displaystyle -(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y
  2. \displaystyle -(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x
    Wobei wir im letzten Schritt \displaystyle -(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.} verwendet haben
  3. \displaystyle -(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3
    \displaystyle \phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3
  4. \displaystyle x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2
    \displaystyle \phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2

Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern.

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)
  2. \displaystyle xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)
  3. \displaystyle 2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)
  4. \displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1

B - Die binomischen Formeln

Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten

\displaystyle (a+b)(c+d)

und \displaystyle (a+b) als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer \displaystyle (c+d) multipliziert wird, bekommen wir

\displaystyle \eqalign{

\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr (a+b)\,(c+d) &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}

Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz und multiplizieren \displaystyle c und \displaystyle d mit ihren jeweiligen Klammern.

\displaystyle (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}

Um sich an die Formel zu erinnern, kann man wie folgt denken:

[Image]

Beispiel 4

  1. \displaystyle (x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2
    \displaystyle \phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2
  2. \displaystyle 3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)
    \displaystyle \phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y
  3. \displaystyle (1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2
    \displaystyle \phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2 wobei wir folgende Rechnung benutzt haben \displaystyle -x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von dieser Regel, nämlich wenn \displaystyle a+b = c+d ist.

Binomische Formeln

\displaystyle (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
\displaystyle (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2

Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.

Beispiel 5

  1. \displaystyle (x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4
  2. \displaystyle (-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9
    wobei \displaystyle (-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}
  3. \displaystyle (x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16
  4. \displaystyle (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x
  5. \displaystyle (2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)
    \displaystyle \phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8
  6. \displaystyle (x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8

Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch "einen Ausdruck faktorisieren".

Beispiel 6

  1. \displaystyle x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2
  2. \displaystyle x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2
  3. \displaystyle x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2

C - Differenz von zwei Quadraten

Es gibt auch eine dritte binomische Formel, diese lautet:

Die Differenz von zwei Quadraten:

\displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 -b^2

Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.

\displaystyle (a+b)(a-b)

= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2\mbox{.}

Beispiel 7

  1. \displaystyle (x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2
  2. \displaystyle (x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2
  3. \displaystyle (y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2
  4. \displaystyle x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)
    \displaystyle \phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)


D - Gebrochen rationale Ausdrücke

Rechnungen mit gebrochen rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.

Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für gebrochen rationale Ausdrücke.

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}

= \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{und} \quad \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}
  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}

Man kann den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.

\displaystyle \frac{x+2}{x+1}

= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)} = \dots

Dies gilt auch umgekehrt, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.

\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }

= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}
  2. \displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}

Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben


\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}

= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}

Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Brüche.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad Das kleinste gemeinsame Vielfache von \displaystyle x+1 und \displaystyle x+2 ist \displaystyle (x+1)(x+2) . Darum ist \displaystyle (x+1)(x+2) der kleinste gemeinsame Nenner von \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad.

    Wir erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle (x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.} \end{align*}

  2. \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2

    Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben.
    \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}

    = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}

  3. \displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2(x+1)^2(x+2)

    Wie erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle x(x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)^2
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.} \end{align*}

  4. \displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1)

    Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie den gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1) haben.
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.} \end{align*}

Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche kürzen zu können, müssen sie in ihre Faktoren zerlegt werden, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb sollten die Ausdrücke immer faktorisiert bleiben, solange man nicht mit den Rechnungen fertig ist.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \left\{\,\mbox{Kleinster gemeinsamer Nenner} = (x+2)(x-2)\,\right\}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}
  2. \displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}

    \displaystyle \phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}



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Bedenke folgendes:

Vorsicht! Ein Rechenfehler kann die ganze Rechnung zerstören.

Rechne lieber in mehreren Schritten als in einem Schritt, falls Du Dich unsicher fühlst.

Das Erweitern von Ausdrücken ist oft unnötig, da Du den Ausdruck später vielleicht kürzen musst.


Reviews

Mehr über Algebra in der Wikipedia

Understanding Algebra - ein englischer Text im Web


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