2.1 Algebraische Ausdrücke

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
* Das Distributivgesetz
* Das Distributivgesetz
-
* Squaring rules
+
* Binomische Formeln
-
* Difference of two squares
+
* Differenz von zwei Quadraten
-
* Rational expressions
+
* Rationale Ausdrücke
}}
}}
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Simplify complex algebraic expressions.
+
* Algebraische Ausdrücke vereinfachen.
-
*Factorise expressions using squaring rules and the difference of two squares rule.
+
* Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren.
-
*Expand expressions using squaring rules and the difference of two squares rule.
+
* Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.
}}
}}
-
== Das Distributivgesetz ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Das Distributivgesetz ist die Regel die für die Multiplikation von Klammern mit einen Faktor.
+
 
 +
'''Was ist eigentlich ein algebraischer Ausdruck?'''
 +
 
 +
Statt Ausdruck kann man auch Term sagen: Es sind Summen und Produkte, die Variablen enthalten. Bei einem "algebraischer Ausdruck" kommen von den Variablen auch Potenzen vor. Haben alle Potenzen einen natürlichen Exponenten nennt man den algebraischen Ausdruck auch ganzrationalen Ausdruck oder Polynom in einer bestimmten Variable. Ein Bruch von zwei ganzrationalen Ausdrücken heisst ein gebrochen rationaler Ausdruck.
 +
 
 +
== A - Das Distributivgesetz ==
 +
 
 +
Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation einer Addition in einer Klammer mit einem Faktor außerhalb der Klammer.
Zeile 47: Zeile 54:
</div>
</div>
-
Das Distributivgesetz erklärt auch wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll, nämlich dass ein Minuszeichen vor einer Klammer dasselbe ist wie wenn man alle Zeichen in den Ausdruck wechselt.
+
Das Distributivgesetz erklärt auch, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll: Ein Minuszeichen vor einer Klammer entspricht dem Wechsel des Vorzeichens von allen Zahlen in der Klammer. Siehe dazu Beispiel 2a. und 2b.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 56: Zeile 63:
<li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x
<li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x
= -x^2 +x</math><br/>
= -x^2 +x</math><br/>
-
where we have in the final step used <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}</math></li>
+
Wobei wir im letzten Schritt <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}</math> verwendet haben</li>
<li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x
<li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x
+ (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/>
+ (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/>
Zeile 65: Zeile 72:
</div>
</div>
-
Das Distributivgesetz kann auch in verkehrter Reihenfolge benutzt werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.
+
Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 78: Zeile 85:
</div>
</div>
 +
== B - Die binomischen Formeln ==
-
== Die binomische Formeln ==
+
Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten
-
 
+
-
Das Distributivgesetz kann verwendet werden um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}}
-
und <math>(a+b)</math> als einen Faktor betrachten der mit der Klammer <math>(c+d)</math> multipliziert wird, bekommen wir
+
und <math>(a+b)</math> als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer <math>(c+d)</math> multipliziert wird, bekommen wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
-
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
+
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
-
&= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
+
&= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
-
+ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
+
+ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
-
(a+b)\,(c+d)
+
(a+b)\,(c+d)
-
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
+
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
-
Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz zweimal, und multiplizieren <math>c</math> und <math>d</math> mit ihren jeweiligen Klammern.
+
Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz und multiplizieren <math>c</math> und <math>d</math> mit ihren jeweiligen Klammern.
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
-
Um sich an die Formel zu erinnern kann man wie folgt denken:
+
Um sich an die Formel zu erinnern, kann man wie folgt denken:
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal}}</center>
Zeile 115: Zeile 121:
= 2-x-2x+x^2</math><br/>
= 2-x-2x+x^2</math><br/>
<math>\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2</math>
<math>\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2</math>
-
where we have used <math>-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2</math>.
+
wobei wir folgende Rechnung benutzt haben <math>-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2</math>.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von diese Regel, nämlich wenn <math>a+b</math> und <math>c+d</math> gleich sind.
+
Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von dieser Regel, nämlich wenn <math>a+b = c+d</math> ist.
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 135: Zeile 141:
<li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li>
<li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li>
<li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br>
<li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br>
-
: where <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}</math></li>
+
: wobei <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}</math></li>
<li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2
<li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2
= x^4 -8x^2 +16</math></li>
= x^4 -8x^2 +16</math></li>
Zeile 151: Zeile 157:
</div>
</div>
-
Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden um einen Ausdruck in seine Faktoren zu zerlegen.
+
Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch "einen Ausdruck faktorisieren".
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 164: Zeile 170:
</div>
</div>
 +
== C - Differenz von zwei Quadraten ==
-
== Differenz von zwei Quadraten ==
+
Es gibt auch eine dritte binomische Formel, diese lautet:
-
 
+
-
Es gibt auch eine dritte binomische Formel, und sie lautet:
+
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 174: Zeile 179:
</div>
</div>
-
Diese Formel kann hergeleitet werden indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.
+
Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
-
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
+
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
-
= a^2 -ab+ab-b^2
+
= a^2 -ab+ab-b^2
-
= a^2 -b^2\mbox{.}</math>}}
+
= a^2 -b^2\mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 195: Zeile 200:
-
== Rationale Ausdrücke ==
+
== D - Gebrochen rationale Ausdrücke ==
-
Rechnungen mit rationalen Ausdrücken sind sehr ähnlich Rechnungen mit Brüchen
+
Rechnungen mit gebrochen rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.
-
Alle Rechenregeln die für Brüche gelten, gelten auch für Rationale Ausdrücke,
+
Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für gebrochen rationale Ausdrücke.
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
-
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
+
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
-
\quad \mbox{and} \quad
+
\quad \mbox{und} \quad
-
\frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
+
\frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
-
= \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
Zeile 223: Zeile 228:
</div>
</div>
-
Ban kann den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils den selben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie mit Brüchen erweitern.
+
Man kann den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
-
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
+
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
-
= \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
+
= \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
-
= \dots</math>}}
+
= \dots</math>}}
-
Das umgekehrte geht auch, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils den selben Ausdruck dividiert. Dies nennt man wie bei Brüchen auch kürzen.
+
Dies gilt auch umgekehrt, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
-
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
+
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
-
= \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 244: Zeile 249:
<li><math>\frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}</math></li>
<li><math>\frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}</math></li>
<li><math>\frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)}
<li><math>\frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)}
-
= \left\{\,\text{Difference of two squares}\,\right\}
+
= \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\}
= \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)}
= \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)}
= \frac{x-y}{x+2}</math></li>
= \frac{x-y}{x+2}</math></li>
Zeile 250: Zeile 255:
</div>
</div>
-
Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben,
+
Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
-
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
+
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
-
= \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
+
= \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
-
= \frac{x-1-x}{x(x-1)}
+
= \frac{x-1-x}{x(x-1)}
-
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
-
Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner des Brüchen finden.
+
Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Brüche.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 265: Zeile 270:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
+
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>
-
(x+1)(x+2)</math> <br><br>
+
Das kleinste gemeinsame Vielfache von <math>x+1</math> und <math> x+2</math> ist <math> (x+1)(x+2) </math>. Darum ist <math>
-
Wir erweitern den ersten Bruck mit <math>(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)</math>
+
(x+1)(x+2)</math> der kleinste gemeinsame Nenner von <math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>. <br><br>
 +
Wir erweitern den ersten Bruch mit <math>(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
+
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
-
&= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
+
&= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
-
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
+
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
 +
 
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
x^2</math><br><br>
x^2</math><br><br>
-
Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bekommen.
+
Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
-
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
+
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
-
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
 +
 
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
Wie erweitern den ersten Bruch mit <math>x(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)^2</math>
Wie erweitern den ersten Bruch mit <math>x(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)^2</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
+
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
-
&= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
+
&= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
-
- \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
- \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
+
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
 +
 
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x(x-1)(x+1)</math><br><br>
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x(x-1)(x+1)</math><br><br>
-
Wir müssen alle Brüche erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben<math>x(x-1)(x+1)</math>
+
Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie den gemeinsamen Nenner <math>x(x-1)(x+1)</math> haben.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
+
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
-
&= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
+
&= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
-
- \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
- \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
+
&= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
-
- \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
- \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
+
&= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
To simplify large expressions, it is often necessary to both cancel factors and multiply numerators and denominators by factors. As cancellation implies that we have performed factorisations, it is obvious we should try to keep expressions (such as the denominator) factorised and not expand something that we will later need to factorise.
+
Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche kürzen zu können, müssen sie in ihre Faktoren zerlegt werden, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb sollten die Ausdrücke immer faktorisiert bleiben, solange man nicht mit den Rechnungen fertig ist.
Zeile 315: Zeile 324:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
<li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
-
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}
+
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
-
= \left\{\,\mbox{MGN}
+
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
-
= (x+2)(x-2)\,\right\}</math><br/><br/>
+
= \left\{\,\mbox{Kleinster gemeinsamer Nenner}
 +
= (x+2)(x-2)\,\right\}
 +
</math><br/><br/>
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
= \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
= \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
Zeile 339: Zeile 350:
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
<br><br>
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
-
[[2.1 Übungen|Übungen]]
+
Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.1 Übungen|Übungen]]''' .
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'''Tipps fürs lernen'''
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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Vorsicht! Ein Rechenfehler kann die ganze Rechnung zerstören.
Vorsicht! Ein Rechenfehler kann die ganze Rechnung zerstören.
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Rechnen Sie lieber in mehreren Schritten alls in einen Schritt falls Sie sich unsicher fühlen.
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Inhalt:

  • Das Distributivgesetz
  • Binomische Formeln
  • Differenz von zwei Quadraten
  • Rationale Ausdrücke

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Algebraische Ausdrücke vereinfachen.
  • Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren.
  • Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


Was ist eigentlich ein algebraischer Ausdruck?

Statt Ausdruck kann man auch Term sagen: Es sind Summen und Produkte, die Variablen enthalten. Bei einem "algebraischer Ausdruck" kommen von den Variablen auch Potenzen vor. Haben alle Potenzen einen natürlichen Exponenten nennt man den algebraischen Ausdruck auch ganzrationalen Ausdruck oder Polynom in einer bestimmten Variable. Ein Bruch von zwei ganzrationalen Ausdrücken heisst ein gebrochen rationaler Ausdruck.

A - Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation einer Addition in einer Klammer mit einem Faktor außerhalb der Klammer.


[Image]

Beispiel 1

  1. \displaystyle 4(x+y) = 4x + 4y
  2. \displaystyle 2(a-b) = 2a -2b
  3. \displaystyle x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}
  4. \displaystyle a(x+y+z) = ax + ay + az

Das Distributivgesetz erklärt auch, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll: Ein Minuszeichen vor einer Klammer entspricht dem Wechsel des Vorzeichens von allen Zahlen in der Klammer. Siehe dazu Beispiel 2a. und 2b.

Beispiel 2

  1. \displaystyle -(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y
  2. \displaystyle -(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x
    Wobei wir im letzten Schritt \displaystyle -(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.} verwendet haben
  3. \displaystyle -(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3
    \displaystyle \phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3
  4. \displaystyle x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2
    \displaystyle \phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2

Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern.

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)
  2. \displaystyle xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)
  3. \displaystyle 2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)
  4. \displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1

B - Die binomischen Formeln

Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten

\displaystyle (a+b)(c+d)

und \displaystyle (a+b) als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer \displaystyle (c+d) multipliziert wird, bekommen wir

\displaystyle \eqalign{

\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr (a+b)\,(c+d) &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}

Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz und multiplizieren \displaystyle c und \displaystyle d mit ihren jeweiligen Klammern.

\displaystyle (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}

Um sich an die Formel zu erinnern, kann man wie folgt denken:

[Image]

Beispiel 4

  1. \displaystyle (x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2
    \displaystyle \phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2
  2. \displaystyle 3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)
    \displaystyle \phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y
  3. \displaystyle (1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2
    \displaystyle \phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2 wobei wir folgende Rechnung benutzt haben \displaystyle -x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von dieser Regel, nämlich wenn \displaystyle a+b = c+d ist.

Binomische Formeln

\displaystyle (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
\displaystyle (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2

Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.

Beispiel 5

  1. \displaystyle (x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4
  2. \displaystyle (-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9
    wobei \displaystyle (-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}
  3. \displaystyle (x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16
  4. \displaystyle (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x
  5. \displaystyle (2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)
    \displaystyle \phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8
  6. \displaystyle (x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8

Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch "einen Ausdruck faktorisieren".

Beispiel 6

  1. \displaystyle x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2
  2. \displaystyle x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2
  3. \displaystyle x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2

C - Differenz von zwei Quadraten

Es gibt auch eine dritte binomische Formel, diese lautet:

Die Differenz von zwei Quadraten:

\displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 -b^2

Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.

\displaystyle (a+b)(a-b)

= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2\mbox{.}

Beispiel 7

  1. \displaystyle (x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2
  2. \displaystyle (x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2
  3. \displaystyle (y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2
  4. \displaystyle x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)
    \displaystyle \phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)


D - Gebrochen rationale Ausdrücke

Rechnungen mit gebrochen rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.

Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für gebrochen rationale Ausdrücke.

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}

= \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{und} \quad \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}
  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}

Man kann den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.

\displaystyle \frac{x+2}{x+1}

= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)} = \dots

Dies gilt auch umgekehrt, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.

\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }

= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}
  2. \displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}

Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben


\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}

= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}

Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Brüche.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad Das kleinste gemeinsame Vielfache von \displaystyle x+1 und \displaystyle x+2 ist \displaystyle (x+1)(x+2) . Darum ist \displaystyle (x+1)(x+2) der kleinste gemeinsame Nenner von \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad.

    Wir erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle (x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.} \end{align*}

  2. \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2

    Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben.
    \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}

    = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}

  3. \displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2(x+1)^2(x+2)

    Wie erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle x(x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)^2
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.} \end{align*}

  4. \displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1)

    Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie den gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1) haben.
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.} \end{align*}

Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche kürzen zu können, müssen sie in ihre Faktoren zerlegt werden, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb sollten die Ausdrücke immer faktorisiert bleiben, solange man nicht mit den Rechnungen fertig ist.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \left\{\,\mbox{Kleinster gemeinsamer Nenner} = (x+2)(x-2)\,\right\}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}
  2. \displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}

    \displaystyle \phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}



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