2.1 Algebraische Ausdrücke

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
-
{{Selected tab|[[2.1 Algebraische Ausdrücke|Theory]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[2.1 Algebraische Ausdrücke|Theorie]]}}
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{{Not selected tab|[[2.1 Übungen|Übungen]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[2.1 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Distributive law
+
* Das Distributivgesetz
-
* Squaring rules
+
* Binomische Formeln
-
*Difference of two squares
+
* Differenz von zwei Quadraten
-
* Rational expressions
+
* Rationale Ausdrücke
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned how to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Simplify complex algebraic expressions.
+
* Algebraische Ausdrücke vereinfachen.
-
*Factorise expressions using squaring rules and the difference of two squares rule.
+
* Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren.
-
*Expand expressions using squaring rules and the difference of two squares rule.
+
* Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.
}}
}}
-
== Distributive Law ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
 +
 
 +
 
 +
'''Was ist eigentlich ein algebraischer Ausdruck?'''
 +
 
 +
Statt Ausdruck kann man auch Term sagen: Es sind Summen und Produkte, die Variablen enthalten. Bei einem "algebraischer Ausdruck" kommen von den Variablen auch Potenzen vor. Haben alle Potenzen einen natürlichen Exponenten nennt man den algebraischen Ausdruck auch ganzrationalen Ausdruck oder Polynom in einer bestimmten Variable. Ein Bruch von zwei ganzrationalen Ausdrücken heisst ein gebrochen rationaler Ausdruck.
 +
 
 +
== A - Das Distributivgesetz ==
 +
 
 +
Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation einer Addition in einer Klammer mit einem Faktor außerhalb der Klammer.
-
The distributive law specifies how to multiply a bracketed expression by a factor.
 
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz}}</center>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 46: Zeile 54:
</div>
</div>
-
Using the distributive law, we can also see how to tackle
+
Das Distributivgesetz erklärt auch, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll: Ein Minuszeichen vor einer Klammer entspricht dem Wechsel des Vorzeichens von allen Zahlen in der Klammer. Siehe dazu Beispiel 2a. und 2b.
-
a minus sign in front of a bracketed expression.
+
-
The rule says that a bracket with a minus sign in front can be
+
-
eliminated if all the terms inside the brackets, switch signs.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 58: Zeile 63:
<li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x
<li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x
= -x^2 +x</math><br/>
= -x^2 +x</math><br/>
-
where we have in the final step used <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}</math></li>
+
Wobei wir im letzten Schritt <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}</math> verwendet haben</li>
<li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x
<li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x
+ (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/>
+ (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/>
Zeile 67: Zeile 72:
</div>
</div>
-
If the distributive law is applied in reverse we say we “factor” the expression.
+
Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern.
-
One often would like to to factorise out as large a numerical factor as possible.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 81: Zeile 85:
</div>
</div>
 +
== B - Die binomischen Formeln ==
-
== Squaring rules ==
+
Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten
-
 
+
-
The distributive law occasionally has to be used repeatedly to deal with larger expressions.
+
-
If we consider
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}}
-
and regard <math>a+b</math> as a factor that multiplies the bracketed expression <math>(c+d)</math> we get
+
und <math>(a+b)</math> als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer <math>(c+d)</math> multipliziert wird, bekommen wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
-
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
+
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
-
&= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
+
&= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
-
+ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
+
+ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
-
(a+b)\,(c+d)
+
(a+b)\,(c+d)
-
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
+
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
-
Then the <math>c</math> and the <math>d</math> are multiplied into their respective brackets,
+
Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz und multiplizieren <math>c</math> und <math>d</math> mit ihren jeweiligen Klammern.
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
-
A mnemonic for this formula is:
+
Um sich an die Formel zu erinnern, kann man wie folgt denken:
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal}}</center>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 119: Zeile 121:
= 2-x-2x+x^2</math><br/>
= 2-x-2x+x^2</math><br/>
<math>\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2</math>
<math>\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2</math>
-
where we have used <math>-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2</math>.
+
wobei wir folgende Rechnung benutzt haben <math>-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2</math>.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Two important special cases of the above formula are when <math>a+b</math> and <math>c+d</math> are the same expression
+
Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von dieser Regel, nämlich wenn <math>a+b = c+d</math> ist.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Squaring rules '''
+
'''Binomische Formeln'''
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2</math>}}
</div>
</div>
-
These formulas are called the first and second squaring rules
+
Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li>
<li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li>
<li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br>
<li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br>
-
: where <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}</math></li>
+
: wobei <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}</math></li>
<li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2
<li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2
= x^4 -8x^2 +16</math></li>
= x^4 -8x^2 +16</math></li>
Zeile 155: Zeile 157:
</div>
</div>
-
The squaring rules are also used in the reverse direction to factorise expressions.
+
Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch "einen Ausdruck faktorisieren".
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 168: Zeile 170:
</div>
</div>
 +
== C - Differenz von zwei Quadraten ==
-
== Difference of two squares ==
+
Es gibt auch eine dritte binomische Formel, diese lautet:
-
 
+
-
A third special case of the first formula in the last section is the difference of two squares rule.
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Difference of two squares:'''
+
'''Die Differenz von zwei Quadraten:'''
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b) = a^2 -b^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b) = a^2 -b^2</math>}}
</div>
</div>
-
This formula can be obtained directly by expanding the left hand side
+
Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
-
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
+
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
-
= a^2 -ab+ab-b^2
+
= a^2 -ab+ab-b^2
-
= a^2 -b^2\mbox{.}</math>}}
+
= a^2 -b^2\mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 199: Zeile 200:
-
== Rational expressions==
+
== D - Gebrochen rationale Ausdrücke ==
-
Calculations of fractions containing algebraic expressions are largely similar to ordinary calculations with fractions.
+
Rechnungen mit gebrochen rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.
-
Multiplication and division of fractions containing algebraic expressions follow the same rules that apply to ordinary fractions,
+
Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für gebrochen rationale Ausdrücke.
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
-
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
+
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
-
\quad \mbox{and} \quad
+
\quad \mbox{und} \quad
-
\frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
+
\frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
-
= \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 8'''
+
''' Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 227: Zeile 228:
</div>
</div>
-
A fractional expression can have its numerator and denominator multiplied by the same factor
+
Man kann den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
-
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
+
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
-
= \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
+
= \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
-
= \dots</math>}}
+
= \dots</math>}}
 +
 
 +
Dies gilt auch umgekehrt, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.
-
The opposite of this, is cancellation, where we delete factors that the numerator and denominator have in common
 
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
-
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
+
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
-
= \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 247: Zeile 249:
<li><math>\frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}</math></li>
<li><math>\frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}</math></li>
<li><math>\frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)}
<li><math>\frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)}
-
= \left\{\,\text{Difference of two squares}\,\right\}
+
= \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\}
= \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)}
= \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)}
= \frac{x-y}{x+2}</math></li>
= \frac{x-y}{x+2}</math></li>
Zeile 253: Zeile 255:
</div>
</div>
-
When fractional expressions are added or subtracted, they may need to be converted so that they have the same denominator before the numerators can be combined together,
+
Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
-
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
+
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
-
= \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
+
= \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
-
= \frac{x-1-x}{x(x-1)}
+
= \frac{x-1-x}{x(x-1)}
-
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
-
One normally tries to convert the fractions by multiplying the numerators and denominators by minimal factors to facilitate the calculations. The lowest common denominator (LCD) is the common denominator which contains the least number of factors.
+
Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Brüche.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math> has <math>\ \text{LCD}
+
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>
-
= (x+1)(x+2)</math> <br><br>
+
Das kleinste gemeinsame Vielfache von <math>x+1</math> und <math> x+2</math> ist <math> (x+1)(x+2) </math>. Darum ist <math>
-
Convert the first term using <math>(x+2)</math> and the second term using <math>(x+1)</math>
+
(x+1)(x+2)</math> der kleinste gemeinsame Nenner von <math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>. <br><br>
 +
Wir erweitern den ersten Bruch mit <math>(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
+
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
-
&= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
+
&= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
-
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
+
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
-
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> has <math>\ \text{LCD}
+
 
-
= x^2</math><br><br>
+
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
-
We only need to convert the first term to get a common denominator
+
x^2</math><br><br>
 +
Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
-
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
+
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
-
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> has <math>\
+
 
-
\text{LCD}= x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
+
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
-
The first term is converted using <math>x(x+2)</math> while the other term is converted using <math>(x+1)^2</math>
+
Wie erweitern den ersten Bruch mit <math>x(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)^2</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
+
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
-
&= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
+
&= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
-
- \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
- \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
+
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
-
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> has <math>\
+
 
-
\text{LCD}=x(x-1)(x+1)</math><br><br>
+
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x(x-1)(x+1)</math><br><br>
-
We must convert all the terms so that they have the common denominator <math>x(x-1)(x+1)</math>
+
 
 +
Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie den gemeinsamen Nenner <math>x(x-1)(x+1)</math> haben.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
+
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
-
&= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
+
&= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
-
- \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
- \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
+
&= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
-
- \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
- \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
-
&= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
+
&= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
\end{align*}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
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To simplify large expressions, it is often necessary to both cancel factors and multiply numerators and denominators by factors. As cancellation implies that we have performed factorisations, it is obvious we should try to keep expressions (such as the denominator) factorised and not expand something that we will later need to factorise.
+
Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche kürzen zu können, müssen sie in ihre Faktoren zerlegt werden, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb sollten die Ausdrücke immer faktorisiert bleiben, solange man nicht mit den Rechnungen fertig ist.
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''' Example 11'''
+
''' Beispiel 11'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
<li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
-
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}
+
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
-
= \left\{\,\mbox{MGN}
+
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
-
= (x+2)(x-2)\,\right\}</math><br/><br/>
+
= \left\{\,\mbox{Kleinster gemeinsamer Nenner}
 +
= (x+2)(x-2)\,\right\}
 +
</math><br/><br/>
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
= \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
= \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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[[2.1 Übungen|Übungen]]
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.1 Übungen|Übungen]]''' .
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'''Study advice'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
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-
'''The basic and final tests'''
+
-
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
+
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
 +
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Keep in mind that: '''
 
-
Be careful. If you make a mistake somewhere the rest of the calculation will be wrong.
+
'''Bedenke folgendes: '''
-
Use many intermediate steps. If you are unsure of a calculation do it in many small steps rather than one big step.
+
Vorsicht! Ein Rechenfehler kann die ganze Rechnung zerstören.
-
Do not expand unnecessarily. You later may be forced to factorise what you earlier expanded.
+
Rechne lieber in mehreren Schritten als in einem Schritt, falls Du Dich unsicher fühlst.
 +
Das Erweitern von Ausdrücken ist oft unnötig, da Du den Ausdruck später vielleicht kürzen musst.
-
'''Reviews
 
-
'''
 
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra Learn more about algebra in the English Wikipedia ]
+
'''Reviews'''
-
[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - English text on the Web ]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Algebra Mehr über Algebra in der Wikipedia ]
 +
[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - ein englischer Text im Web ]
-
'''Useful web sites'''
 
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Das Distributivgesetz
  • Binomische Formeln
  • Differenz von zwei Quadraten
  • Rationale Ausdrücke

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Algebraische Ausdrücke vereinfachen.
  • Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren.
  • Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


Was ist eigentlich ein algebraischer Ausdruck?

Statt Ausdruck kann man auch Term sagen: Es sind Summen und Produkte, die Variablen enthalten. Bei einem "algebraischer Ausdruck" kommen von den Variablen auch Potenzen vor. Haben alle Potenzen einen natürlichen Exponenten nennt man den algebraischen Ausdruck auch ganzrationalen Ausdruck oder Polynom in einer bestimmten Variable. Ein Bruch von zwei ganzrationalen Ausdrücken heisst ein gebrochen rationaler Ausdruck.

A - Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation einer Addition in einer Klammer mit einem Faktor außerhalb der Klammer.


[Image]

Beispiel 1

  1. \displaystyle 4(x+y) = 4x + 4y
  2. \displaystyle 2(a-b) = 2a -2b
  3. \displaystyle x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}
  4. \displaystyle a(x+y+z) = ax + ay + az

Das Distributivgesetz erklärt auch, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll: Ein Minuszeichen vor einer Klammer entspricht dem Wechsel des Vorzeichens von allen Zahlen in der Klammer. Siehe dazu Beispiel 2a. und 2b.

Beispiel 2

  1. \displaystyle -(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y
  2. \displaystyle -(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x
    Wobei wir im letzten Schritt \displaystyle -(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.} verwendet haben
  3. \displaystyle -(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3
    \displaystyle \phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3
  4. \displaystyle x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2
    \displaystyle \phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2

Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern.

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)
  2. \displaystyle xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)
  3. \displaystyle 2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)
  4. \displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1

B - Die binomischen Formeln

Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten

\displaystyle (a+b)(c+d)

und \displaystyle (a+b) als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer \displaystyle (c+d) multipliziert wird, bekommen wir

\displaystyle \eqalign{

\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr (a+b)\,(c+d) &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}

Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz und multiplizieren \displaystyle c und \displaystyle d mit ihren jeweiligen Klammern.

\displaystyle (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}

Um sich an die Formel zu erinnern, kann man wie folgt denken:

[Image]

Beispiel 4

  1. \displaystyle (x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2
    \displaystyle \phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2
  2. \displaystyle 3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)
    \displaystyle \phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y
  3. \displaystyle (1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2
    \displaystyle \phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2 wobei wir folgende Rechnung benutzt haben \displaystyle -x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von dieser Regel, nämlich wenn \displaystyle a+b = c+d ist.

Binomische Formeln

\displaystyle (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
\displaystyle (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2

Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.

Beispiel 5

  1. \displaystyle (x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4
  2. \displaystyle (-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9
    wobei \displaystyle (-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}
  3. \displaystyle (x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16
  4. \displaystyle (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x
  5. \displaystyle (2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)
    \displaystyle \phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8
  6. \displaystyle (x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8

Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch "einen Ausdruck faktorisieren".

Beispiel 6

  1. \displaystyle x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2
  2. \displaystyle x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2
  3. \displaystyle x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2

C - Differenz von zwei Quadraten

Es gibt auch eine dritte binomische Formel, diese lautet:

Die Differenz von zwei Quadraten:

\displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 -b^2

Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.

\displaystyle (a+b)(a-b)

= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2\mbox{.}

Beispiel 7

  1. \displaystyle (x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2
  2. \displaystyle (x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2
  3. \displaystyle (y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2
  4. \displaystyle x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)
    \displaystyle \phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)


D - Gebrochen rationale Ausdrücke

Rechnungen mit gebrochen rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.

Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für gebrochen rationale Ausdrücke.

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}

= \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{und} \quad \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}
  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}

Man kann den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.

\displaystyle \frac{x+2}{x+1}

= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)} = \dots

Dies gilt auch umgekehrt, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.

\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }

= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}
  2. \displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}

Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben


\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}

= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}

Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Brüche.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad Das kleinste gemeinsame Vielfache von \displaystyle x+1 und \displaystyle x+2 ist \displaystyle (x+1)(x+2) . Darum ist \displaystyle (x+1)(x+2) der kleinste gemeinsame Nenner von \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad.

    Wir erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle (x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.} \end{align*}

  2. \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2

    Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben.
    \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}

    = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}

  3. \displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2(x+1)^2(x+2)

    Wie erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle x(x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)^2
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.} \end{align*}

  4. \displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1)

    Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie den gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1) haben.
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.} \end{align*}

Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche kürzen zu können, müssen sie in ihre Faktoren zerlegt werden, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb sollten die Ausdrücke immer faktorisiert bleiben, solange man nicht mit den Rechnungen fertig ist.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \left\{\,\mbox{Kleinster gemeinsamer Nenner} = (x+2)(x-2)\,\right\}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}
  2. \displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}

    \displaystyle \phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}



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