1.1 Verschiedene Zahlen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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'''Lernziele'''
'''Lernziele'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt sollst Du ...
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* Die vier Grundrechenarten der Arithmetik beherrschen.
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* ... die vier Grundrechenarten der Arithmetik beherrschen.
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* Den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
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* ... den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
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* Brüche als Dezimalzahlen schreiben, und umgekehrt.
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* ... Brüche als Dezimalzahlen und Dezimalzahlen als Brüche schreiben können.
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* Den Wert zweier Zahlen vergleichen zu können.
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* ... den Wert zweier Zahlen vergleichen können.
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* Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden.
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* ... Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden können.
}}
}}
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== Rechnungen mit Zahlen ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== A. Rechnungen mit Zahlen ==
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{{Abgesetzte Formel||<math>5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}</math>}}
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Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist immer eine nicht negative Zahl. Um den Abstand zu berechnen, muss man also die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Der Abstand zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3. Den Abstand schreibt man als Betrag der Differenz, also
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Mit dem Unterschied zwischen zwei Zahlen meint man meistens die kleinere Zahl subtrahiert von der größeren Zahl. Der Unterschied zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3.
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{{Abgesetzte Formel||<math>| 5-2| = |2-5|=3\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}</math>}}
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Dass bei der Addition, Multiplikation und dem Abstand die Reihenfolge egal ist, bedeutet, dass für diese Operationen das Kommutativgesetz gilt.
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== Operatorrangfolge ==
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<div class="regel">
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'''Kommutativgesetz'''
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{{Abgesetzte Formel||<math>a+b = b+a </math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math> a \cdot b = b \cdot a </math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math> | a -b | = | b -a | </math>}}
 +
Für <math> a,b \in \Bbb{R}</math>
 +
</div>
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Für die Addition und die Multiplikation gilt auch das Assoziativgesetz:
 +
<div class="regel">
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'''Assoziativgesetz'''
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{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)+c = a + (b +c) </math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math> (a \cdot b) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c) </math>}}
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für <math> a,b \in \Bbb{R}</math>
 +
</div>
-
In den Fällen, wo ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig, die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:
+
== B - Operatorrangfolge ==
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*Klammern (die innersten Klammern zuerst)
+
Wenn ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:
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*Multiplikation und Division (von links nach rechts)
+
-
*Addition und Subtraktion (von links nach rechts)
+
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1. Klammern (die innersten Klammern zuerst) <br>
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2. Multiplikation und Division <br>
 +
3. Addition und Subtraktion <br>
 +
 +
Man sagt auch "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", wobei Multiplikation und Division als Punktrechnung gelten und Addition und Subtraktion als Strichrechnung.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</div>
</div>
-
=== "Unsichtbare" Klammern ===
+
=== C -"Unsichtbare" Klammern ===
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Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare klammern" gibt.
+
Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare Klammern" gibt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{8+4}{2+4}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{8+4}{2+4}</math>}}
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muss als <math>(8 + 4 )/(2 + 4)</math> geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort <math>2</math> gibt. Ein häufiger Fehler ist dass man stattdessen <math>8 + 4/2 + 4</math> schreibt. Dies interpretiert der Rechner als <math>8 + 2 + 4 = 14</math>.
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muss als <math>(8 + 4 )/(2 + 4)</math> geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort <math>2</math> gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen <math>8 + 4/2 + 4</math> schreibt. Dies interpretiert der Rechner als <math>8 + (4/2) + 4 = 14 </math> (nach Punkt-vor-Strich-Regel) oder als <math>(8 + 4)/2 + 4 = 10</math>. (Wenn er die Punkt-vor-Strich-Regel nicht berücksichtigt)
-
 
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== D - Verschiedene Zahlen ==
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== Verschiedene Zahlen ==
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Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:
Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:
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-
Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man '''R'''. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an, da eine Zahl rechts von einer anderen Zahl immer größer ist.
+
Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man <math>\Bbb{R}</math>. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < <math> \sqrt{2} </math> oder <math> - \frac{4}{3} < e </math>.
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Die reellen Zahlen unterscheidet man i folgenden Mengen von Zahlen:
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In den reellen Zahlen gibt es folgende Mengen von Zahlen:
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''Natürliche Zahlen'' (normalerweise mit '''N''' bezeichnet)
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''Natürliche Zahlen'' (normalerweise mit <math>\Bbb{N}</math> bezeichnet)
Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ...
Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ...
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Wir schreiben auch <math>\Bbb{N} = \{ 0,1,2, ... \} </math> und benutzen <math> a \in \Bbb{N}</math> , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist.
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Dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, schreiben wir als <math>\Bbb{N} \subset \Bbb{R}</math>.
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''Ganze Zahlen'' ('''Z''')
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''Ganze Zahlen'' (<math>\Bbb{Z}</math>)
Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
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Wir schreiben auch <math>\Bbb{Z} = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} </math> und benutzen <math> n \in \Bbb{Z}</math>, um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist.
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Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, und die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: <math> \Bbb{N} \subset \Bbb{Z} \subset \Bbb{R}</math>.
-
''Rationale Zahlen'' ('''Q''')
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''Rationale Zahlen'' (<math>\Bbb{Q}</math>)
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Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die ein Bruch ganzer Zahlen sind, zum Beispiel,
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Die rationalen Zahlen sind die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und deren Nenner nicht 0 ist. Die folgenden Zahlen sind Beispiele für rationale Zahlen
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{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{etc.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128} \in \Bbb{Q}</math>}}
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 +
Wir schreiben auch <math>\Bbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 \} </math>.
Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:
Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:
{{Abgesetzte Formel||<math>-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}</math>}}
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Wir schreiben dafür auch <math> \Bbb{Z} \subset \Bbb{Q} \subset \Bbb{R}</math>.
Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:
Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}</math>}}
 +
 +
Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.
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<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
<li> Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
<li> Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}
-
= \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5}
+
= \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5}
-
= \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}</math>}}
+
= \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}</math>}}
</li>
</li>
-
<li> "a">
 
<li> Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
<li> Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}
-
= \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7}
+
= \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7}
-
\quad\mbox{etc.}</math>}}
+
\quad\mbox{etc.}</math>}}
</li>
</li>
</ol>
</ol>
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-
Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen
+
Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:
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<math>\sqrt{2}</math> und <math>\sqrt{3}</math>, aber auch andere Zahlen, wie <math>\pi</math>
+
<math>\sqrt{2}</math> und <math>\sqrt{3}</math>, aber auch andere Zahlen, wie <math>\pi</math>.
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=== Dezimaldarstellung ===
+
=== E - Dezimaldarstellung ===
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Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit beliebiger Anzahl von Dezimalen. Ziffern vor dem Komma werden mit <math>1, 10, 100, ...</math> multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit <math>1/10, 1/100, 1/1000, ...</math> multipliziert werden.
+
Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Dezimalstellen. Dezimalstellen werden auch Nachkommastellen genannt.
<center>{{:1.1 - Bild - Dezimalform}}</center>
<center>{{:1.1 - Bild - Dezimalform}}</center>
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Um eine Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, werden Ziffern vor dem Komma mit <math>1, 10, 100, ...</math> multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit <math> \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, ...</math> multipliziert werden.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 193: Zeile 224:
</div>
</div>
 +
Die Brüche <math> \frac{5}{10} , \frac{8}{10000} </math> und <math> \frac{12 345 678}{10000} </math> heißen auch Dezimalbrüche, weil ihr Nenner eine Potenz von 10 ist und zehn auf lateinisch decem heißt.
-
Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt. Also ist <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> gleich "3 durch 4", oder 0,75.
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Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt (z.B. ist <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> gleich "3 durch 4", oder 0,75). Manche rationale Zahlen können auch auf einen Dezimalbruch erweitert werden (z.B. ist <math> \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 </math>).
Mehr über [http://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Division Schriftliche Division] auf Wikipedia.
Mehr über [http://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Division Schriftliche Division] auf Wikipedia.
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\frac{1}{2} = 0{.}5 = 0{.}5\underline{0}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\overline{0}</math></li>
-
<li><math>\frac{1}{3} = 0{.}333333\,\ldots = 0{,}\underline{3}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\overline{3}</math></li>
-
<li><math> \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\underline{6}</math></li>
+
<li><math> \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\overline{6}</math></li>
-
<li><math>\frac{1}{7} =0{.}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\overline{142857}</math></li>
</ol>
</ol>
-
(Die unterstrichenen Zahlen wiederholen sich)
+
(Die Zahlen, über denen sich ein Strich befindet, wiederholen sich unendlich oft.)
</div>
</div>
-
Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos lang wiederholt. Dies gilt genau für die rationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
+
Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos oft wiederholt. (Gegebenenfalls wiederholt sich die 0 unendlich oft. Siehe Bsp. 5 a.) Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.
Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.
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'''Beispiel 8'''
'''Beispiel 8'''
-
Die Zahl <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> ist rational, nachdem sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als Bruch zu schreiben, machen wir folgendes:
+
Die Zahl <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> ist rational, weil sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als Bruch in der Form <math> x= \frac{m}{n} </math> mit <math> m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0</math> zu schreiben, machen wir folgendes:
Wenn wir die Zahl mit <math>10</math> multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts.
Wenn wir die Zahl mit <math>10</math> multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}}
-
Die Zahlen <math>1000\,x</math> und <math>10\,x</math> haben dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen,
+
Die Zahlen <math>1000\,x</math> und <math>10\,x</math> haben nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}}
-
muss eine ganze Zahl sein, nachdem die Dezimalen einander aufheben.
+
muss eine ganze Zahl sein, weil die Dezimalen nach dem Komma einander aufheben.
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}}
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</div>
</div>
-
=== Rundung ===
+
=== F - Rundung ===
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-
Das Symbol <math>\approx</math> (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist
+
Das Symbol <math>\approx</math> (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
'''Beispiel 9'''
'''Beispiel 9'''
-
Rundung bis 3 Dezimalstellen:
+
Rundung auf 3 Dezimalstellen genau:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>1{,}0004 \approx 1,000</math></li>
<li><math>1{,}0004 \approx 1,000</math></li>
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'''Beispiel 10'''
'''Beispiel 10'''
-
Rundung bis 4 Dezimalstellen:
+
Rundung auf 4 Dezimalstellen nach genau:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\pi \approx 3{,}1416 </math></li>
<li><math>\pi \approx 3{,}1416 </math></li>
Zeile 293: Zeile 325:
</div>
</div>
 +
== G - Zahlen vergleichen ==
-
== Zahlen vergleichen ==
 
-
 
+
Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen &gt; (größer als), &lt; (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit dem selben Nenner schreibt.
-
Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwändet man die Verhältniszeichen &gt; (größer als), &lt; (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale zahlen mit gemeinsamen Nenner schreibt.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 304: Zeile 335:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Welche von den Zahlen <math>x=\frac{1}{3}</math> und <math>y=0{,}33</math> ist am größten?<br/><br/>
+
<li>Welche der beiden Zahlen <math>x=\frac{1}{3}</math> und <math>y=0{,}33</math> ist die größere?<br/><br/>
Folgendes gilt:
Folgendes gilt:
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{and}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}</math>}}
+
<math>x =\frac{1}{3} \text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} </math> haben den gemeinsamen Nenner <math> 3 \cdot 100 = 300 </math>, sodass
-
Also ist <math>x>y</math> nachdem <math>100/300 > 99/300</math>.<br/><br/>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}</math>}}
-
Oder man schreibt man beide Zahlen sls Dezimalzahlen, und sieht dass <math>1/3>0{,}33</math> nachdem <math>1/3 = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33</math>.</li>
+
Weil <math> 100 > 99 </math> gilt für die Brüche mit dem selben Nenner 300, dass <math>\frac{100}{300} > \frac{99}{300}</math> und darum ist <math>x>y</math>.
 +
<br/><br/>
 +
Oder man schreibt beide Zahlen als Dezimalzahlen und sieht, dass <math>\frac{1}{3}>0{,}33</math> weil <math>\frac{1}{3} = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33</math>.</li>
-
<li>Welche von den Zahlen <math>\frac{2}{5}</math> und <math>\frac{3}{7}</math> ist am größten?<br/><br/>
+
<li>Welche Zahl ist größer: <math>\frac{2}{5}</math> oder <math>\frac{3}{7}</math>?<br/><br/>
-
Wir schreiben die Zahlen mit gemeinsamen Nenner, also <math>35</math>
+
Wir schreiben die Zahlen mit dem gemeinsamen Nenner <math>5 \cdot 7 = 35</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}</math>}}
-
Also ist <math>\frac{3}{7}>\frac{2}{5}</math> nachdem <math>\frac{15}{35} > \frac{14}{35}</math>.</li>
+
Also ist <math>\frac{3}{7}>\frac{2}{5}</math> , weil <math>\frac{15}{35} > \frac{14}{35}</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
[[1.1 Übungen|Übungen]]
+
<div class="exempel">
 +
'''Beispiel 12'''
 +
<ol type="a">
 +
<li> Gegeben sind die reellen Zahlen <math>x,y,z</math> also <math> x,y,z \in \Bbb{R}</math>, für die gilt <math>x < y</math>. <br>
 +
Frage: Welche der beiden Zahlen ist grösser <math>x+z</math> oder <math>y+z</math>?<br/><br/>
 +
Antwort: <br>
 +
Wegen <math>x < y </math> liegt <math>x </math> links von <math>y</math> auf der Zahlengeraden.<br>
 +
Die Addition von <math>z</math> verschiebt die Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> auf der Zahlengeraden auf die gleiche Weise: Für <math>z > 0 </math> werden <math>x </math> und <math>y</math> um <math>|z|</math> nach rechts verschoben, für <math>z < 0</math> werden <math>x</math> und <math>y</math> um <math>|z|</math> nach links verschoben. Da beide Zahlen gleich weit verschoben werden, ändert sich nicht, dass <math>x</math> links von <math>y</math> liegt und <math>x+z</math> liegt weiterhin links von <math>y+z</math>.<br>
 +
Also ist <math>y+z</math> die größere Zahl.
 +
<br><br>
 +
<li> Es sind <math> x,y \in \Bbb{R}</math> und <math>x < y</math>. Frage: welche der beiden Zahlen <math>-x , -y </math> ist größter als die andere?<br/><br/>
 +
Antwort: <br>
 +
Wegen <math>x < y</math> liegt <math>x</math> links von <math>y</math> auf der Zahlengeraden.<br>
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<math>-x</math> ist die Gegenzahl von <math>x</math>: Wenn <math>x > 0</math> ist, also rechts von 0 liegt, so liegt <math>-x</math> links von der Null und <math>-x < 0</math>. Wenn aber <math>x < 0</math> ist, also links von 0 liegt, dann liegt <math>-x</math> rechts von der Null und <math>-x > 0</math>. Ebenso ist <math>-y</math> die Gegenzahl von <math>y</math>.<br>
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Wenn wir statt <math>x</math> und <math>y</math> die Gegenzahlen <math>-x</math> und <math>-y</math> betrachten, ist es dasselbe als wenn wir <math>x</math> und <math>y</math> an <math>0</math> spiegeln: Wenn <math>x</math> links von <math>y</math> liegt, dann liegt <math>-x</math> rechts von <math>-y</math> und <math>-y < -x</math>.<br>
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Also ist <math>-x</math> die größere der beiden Zahlen.<br><br>
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Dies ist eine bekannte Rechenregel: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl (z.B. -1) verändert die Ungleichung ihre Richtung: <math> x < y </math> gilt dann und nur dann, wenn <math> -y < -x</math> gilt.<br>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem du mit der Theorie fertig bist, sollst du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in deiner "Student Lounge"
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in deiner "Student Lounge"
'''Vorsicht'''
'''Vorsicht'''
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Viele Lösungen sind falsch aufgrund von Tippfehlern.
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Sei so genau und exakt, wie es geht, beim Rechnen und beim Eingeben deiner Ergebnisse. So vermeidest du auch Fehler auf Grund von Tippfehlern.
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'''Literaturhinweise'''
'''Literaturhinweise'''
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For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
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Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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[http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Learn more about arithmetic in the English Wikipedia ]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Grundrechenart Mehr über die Grundrechenarten in der Wikipedia ]
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[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Who discovered zero? Read more in "The MacTutor History of Mathematics archive"]
+
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Wer hat die Null entdeckt ? Eine Antwort findest Du im "The MacTutor History of Mathematics archive" (engl.)]
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[http://www.mathsisfun.com/long_division.html Long division]
+
[http://www.mathsisfun.com/long_division.html Schriftliche Division (engl.)]
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[http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... Did you know that 0,999... = 1?]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch Wisst Ihr, dass 0,999... = 1 gilt?]
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'''Nützliche Websites'''
'''Nützliche Websites'''
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How many colours are needed to colour a map? How many times does one need to shuffle a deck of cards? What is the greatest prime number? Are there any "lucky numbers"? What is the most beautiful number? Listen to the famous writer and mathematician Simon Singh, who among other things, tells about the magic numbers 4 and 7, about the prime numbers, about Keplers piles and about the concept of zero.
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Wieviele Farben werden gebraucht um eine Karte einzufärben? Wie oft sollten Karten gemischt werden? Welche Primzahl ist die Größte? Gibt es "Glückszahlen"? Höre dem berühmten Autor und Mathematiker Simon Singh zu, wenn er von Primzahlen, den magischen Zahlen 4 und 7 und dem Konzept der Null erzählt.
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[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml Listen to the BBC programmes "5 Numbers" ]
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[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml Hör Dir die BBC Sendung "5 Numbers" an (engl.)]
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[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/another5.shtml Listen to the BBC programmes "Another 5 numbers"]
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[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/another5.shtml Hör Dir die BBC Sendung "Another 5 numbers" an (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Natürliche Zahlen
  • Negative Zahlen
  • Operatorrangfolge und Klammern
  • Rationale Zahlen
  • Irrationale Zahlen (Übersicht)
  • Reelle Zahlen

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollst Du ...

  • ... die vier Grundrechenarten der Arithmetik beherrschen.
  • ... den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
  • ... Brüche als Dezimalzahlen und Dezimalzahlen als Brüche schreiben können.
  • ... den Wert zweier Zahlen vergleichen können.
  • ... Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden können.


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


A. Rechnungen mit Zahlen

Rechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechenarten der Arithmetik. Folgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechenarten und sind daher in der Mathematik sehr wichtig:


[Image]


Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal

\displaystyle 3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}

Bei der Subtraktion dagegen kommt es auf die Reihenfolge an.

\displaystyle 5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}

Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist immer eine nicht negative Zahl. Um den Abstand zu berechnen, muss man also die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Der Abstand zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3. Den Abstand schreibt man als Betrag der Differenz, also

\displaystyle | 5-2| = |2-5|=3\,\mbox{.}


Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}

Bei der Division hingegen wieder nicht.

\displaystyle \frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}

Dass bei der Addition, Multiplikation und dem Abstand die Reihenfolge egal ist, bedeutet, dass für diese Operationen das Kommutativgesetz gilt.

Kommutativgesetz

\displaystyle a+b = b+a
\displaystyle a \cdot b = b \cdot a
\displaystyle | a -b | = | b -a |

Für \displaystyle a,b \in \Bbb{R}

Für die Addition und die Multiplikation gilt auch das Assoziativgesetz:

Assoziativgesetz

\displaystyle (a+b)+c = a + (b +c)
\displaystyle (a \cdot b) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c)

für \displaystyle a,b \in \Bbb{R}

B - Operatorrangfolge

Wenn ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:

1. Klammern (die innersten Klammern zuerst)
2. Multiplikation und Division
3. Addition und Subtraktion

Man sagt auch "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", wobei Multiplikation und Division als Punktrechnung gelten und Addition und Subtraktion als Strichrechnung.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 3-(2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2
  2. \displaystyle 3-2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12
  3. \displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5- \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+ \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))} \displaystyle \qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)} = 5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26

C -"Unsichtbare" Klammern

Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare Klammern" gibt.

Beispiel 2

  1. \displaystyle \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2} = 6
  2. \displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2
  3. \displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2

Dies muss man besonders beachten, wenn man einen Taschenrechner benutzt.

\displaystyle \frac{8+4}{2+4}

muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort \displaystyle 2 gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + (4/2) + 4 = 14 (nach Punkt-vor-Strich-Regel) oder als \displaystyle (8 + 4)/2 + 4 = 10. (Wenn er die Punkt-vor-Strich-Regel nicht berücksichtigt)

D - Verschiedene Zahlen

Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:


[Image]


Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man \displaystyle \Bbb{R}. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < \displaystyle \sqrt{2} oder \displaystyle - \frac{4}{3} < e .


In den reellen Zahlen gibt es folgende Mengen von Zahlen:


Natürliche Zahlen (normalerweise mit \displaystyle \Bbb{N} bezeichnet)

Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ... Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{N} = \{ 0,1,2, ... \} und benutzen \displaystyle a \in \Bbb{N} , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist. Dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, schreiben wir als \displaystyle \Bbb{N} \subset \Bbb{R}.


Ganze Zahlen (\displaystyle \Bbb{Z})

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{Z} = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} und benutzen \displaystyle n \in \Bbb{Z}, um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist. Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, und die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: \displaystyle \Bbb{N} \subset \Bbb{Z} \subset \Bbb{R}.


Rationale Zahlen (\displaystyle \Bbb{Q})

Die rationalen Zahlen sind die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und deren Nenner nicht 0 ist. Die folgenden Zahlen sind Beispiele für rationale Zahlen

\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128} \in \Bbb{Q}

Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 \} .

Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:

\displaystyle -1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}

Wir schreiben dafür auch \displaystyle \Bbb{Z} \subset \Bbb{Q} \subset \Bbb{R}.

Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:

\displaystyle 2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}

Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.


Beispiel 3

  1. Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}

    = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}

  2. Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
    \displaystyle \frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}

    = \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{etc.}

Irrationale Zahlen


Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:


\displaystyle \sqrt{2} und \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, wie \displaystyle \pi.

E - Dezimaldarstellung

Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Dezimalstellen. Dezimalstellen werden auch Nachkommastellen genannt.

[Image]

Um eine Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, werden Ziffern vor dem Komma mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, ... multipliziert werden.

Beispiel 4

\displaystyle 1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}

Die Brüche \displaystyle \frac{5}{10} , \frac{8}{10000} und \displaystyle \frac{12 345 678}{10000} heißen auch Dezimalbrüche, weil ihr Nenner eine Potenz von 10 ist und zehn auf lateinisch decem heißt.

Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt (z.B. ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75). Manche rationale Zahlen können auch auf einen Dezimalbruch erweitert werden (z.B. ist \displaystyle \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 ).

Mehr über Schriftliche Division auf Wikipedia.

Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\overline{0}
  2. \displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\overline{3}
  3. \displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\overline{6}
  4. \displaystyle \frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\overline{142857}

(Die Zahlen, über denen sich ein Strich befindet, wiederholen sich unendlich oft.)


Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos oft wiederholt. (Gegebenenfalls wiederholt sich die 0 unendlich oft. Siehe Bsp. 5 a.) Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.


Beispiel 6

Die Zahlen \displaystyle \pi und \displaystyle \sqrt{2} sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

  1. \displaystyle \pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots
  2. \displaystyle \sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \, 688\,\ldots

Beispiel 7

  1. \displaystyle 0{,}600\,\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
  2. \displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}
  3. \displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400}

Beispiel 8

Die Zahl \displaystyle x=0{,}215151515\,\ldots ist rational, weil sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als Bruch in der Form \displaystyle x= \frac{m}{n} mit \displaystyle m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 zu schreiben, machen wir folgendes:

Wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10 multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts.

\displaystyle \quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots

Genauso verschiebt sich das Komma \displaystyle 3 Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10\cdot 10\cdot 10 = 1000 multiplizieren.

\displaystyle \quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots

Die Zahlen \displaystyle 1000\,x und \displaystyle 10\,x haben nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen,

\displaystyle \quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots

muss eine ganze Zahl sein, weil die Dezimalen nach dem Komma einander aufheben.

\displaystyle \quad 990x = 213\mathrm{.}

also ist

\displaystyle \quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}

F - Rundung

Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern \displaystyle 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4 werden abgerundet, während die Ziffern \displaystyle 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9 aufgerundet werden.


Das Symbol \displaystyle \approx (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.

Beispiel 9

Rundung auf 3 Dezimalstellen genau:

  1. \displaystyle 1{,}0004 \approx 1,000
  2. \displaystyle 0{,}9999 \approx 1{,}000
  3. \displaystyle 2{,}9994999 \approx 2{,}999
  4. \displaystyle 2{,}99950 \approx 3{,}000

Beispiel 10

Rundung auf 4 Dezimalstellen nach genau:

  1. \displaystyle \pi \approx 3{,}1416
  2. \displaystyle \frac{2}{3} \approx 0{,}6667

G - Zahlen vergleichen

Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen > (größer als), < (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit dem selben Nenner schreibt.

Beispiel 11

  1. Welche der beiden Zahlen \displaystyle x=\frac{1}{3} und \displaystyle y=0{,}33 ist die größere?

    Folgendes gilt: \displaystyle x =\frac{1}{3} \text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} haben den gemeinsamen Nenner \displaystyle 3 \cdot 100 = 300 , sodass
    \displaystyle x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}

    Weil \displaystyle 100 > 99 gilt für die Brüche mit dem selben Nenner 300, dass \displaystyle \frac{100}{300} > \frac{99}{300} und darum ist \displaystyle x>y.

    Oder man schreibt beide Zahlen als Dezimalzahlen und sieht, dass \displaystyle \frac{1}{3}>0{,}33 weil \displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33.
  2. Welche Zahl ist größer: \displaystyle \frac{2}{5} oder \displaystyle \frac{3}{7}?

    Wir schreiben die Zahlen mit dem gemeinsamen Nenner \displaystyle 5 \cdot 7 = 35
    \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}
    Also ist \displaystyle \frac{3}{7}>\frac{2}{5} , weil \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}.

Beispiel 12

  1. Gegeben sind die reellen Zahlen \displaystyle x,y,z also \displaystyle x,y,z \in \Bbb{R}, für die gilt \displaystyle x < y.
    Frage: Welche der beiden Zahlen ist grösser \displaystyle x+z oder \displaystyle y+z?

    Antwort:
    Wegen \displaystyle x < y liegt \displaystyle x links von \displaystyle y auf der Zahlengeraden.
    Die Addition von \displaystyle z verschiebt die Zahlen \displaystyle x und \displaystyle y auf der Zahlengeraden auf die gleiche Weise: Für \displaystyle z > 0 werden \displaystyle x und \displaystyle y um \displaystyle |z| nach rechts verschoben, für \displaystyle z < 0 werden \displaystyle x und \displaystyle y um \displaystyle |z| nach links verschoben. Da beide Zahlen gleich weit verschoben werden, ändert sich nicht, dass \displaystyle x links von \displaystyle y liegt und \displaystyle x+z liegt weiterhin links von \displaystyle y+z.
    Also ist \displaystyle y+z die größere Zahl.

  2. Es sind \displaystyle x,y \in \Bbb{R} und \displaystyle x < y. Frage: welche der beiden Zahlen \displaystyle -x , -y ist größter als die andere?

    Antwort:
    Wegen \displaystyle x < y liegt \displaystyle x links von \displaystyle y auf der Zahlengeraden.
    \displaystyle -x ist die Gegenzahl von \displaystyle x: Wenn \displaystyle x > 0 ist, also rechts von 0 liegt, so liegt \displaystyle -x links von der Null und \displaystyle -x < 0. Wenn aber \displaystyle x < 0 ist, also links von 0 liegt, dann liegt \displaystyle -x rechts von der Null und \displaystyle -x > 0. Ebenso ist \displaystyle -y die Gegenzahl von \displaystyle y.
    Wenn wir statt \displaystyle x und \displaystyle y die Gegenzahlen \displaystyle -x und \displaystyle -y betrachten, ist es dasselbe als wenn wir \displaystyle x und \displaystyle y an \displaystyle 0 spiegeln: Wenn \displaystyle x links von \displaystyle y liegt, dann liegt \displaystyle -x rechts von \displaystyle -y und \displaystyle -y < -x.
    Also ist \displaystyle -x die größere der beiden Zahlen.

    Dies ist eine bekannte Rechenregel: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl (z.B. -1) verändert die Ungleichung ihre Richtung: \displaystyle x < y gilt dann und nur dann, wenn \displaystyle -y < -x gilt.



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Tipps fürs Lernen


Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in deiner "Student Lounge"


Vorsicht

Sei so genau und exakt, wie es geht, beim Rechnen und beim Eingeben deiner Ergebnisse. So vermeidest du auch Fehler auf Grund von Tippfehlern.


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Mehr über die Grundrechenarten in der Wikipedia

Wer hat die Null entdeckt ? Eine Antwort findest Du im "The MacTutor History of Mathematics archive" (engl.)

Schriftliche Division (engl.)

Wisst Ihr, dass 0,999... = 1 gilt?


Nützliche Websites

Wieviele Farben werden gebraucht um eine Karte einzufärben? Wie oft sollten Karten gemischt werden? Welche Primzahl ist die Größte? Gibt es "Glückszahlen"? Höre dem berühmten Autor und Mathematiker Simon Singh zu, wenn er von Primzahlen, den magischen Zahlen 4 und 7 und dem Konzept der Null erzählt.

Hör Dir die BBC Sendung "5 Numbers" an (engl.)

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