Lösung 1.3:5f - Online Mathematik Brückenkurs 1

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                      1. Numerische Berechnungen
                       
                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 1.3:5f
			
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- {{NAVCONTENT_START}} + Der ganze Ausdruck ist relativ umständlich zu berechnen. Daher berechnen wir die Faktoren <math>\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}</math> und <math>\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}</math> je für sich
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  + \bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt]
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  + Danach schreiben wir 27 und 9 als Potenzen mit der Basis 3 und 125 als Potenz mit der Basis 5:
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  + Und zuletzt vereinfachen wir den Ausdruck mit den Rechenregeln für Potenzen
  +  
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  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Der ganze Ausdruck ist relativ umständlich zu berechnen. Daher berechnen wir die Faktoren \displaystyle \bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} und \displaystyle \bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} je für sich





\displaystyle \begin{align}
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt]
\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} &= 27^{\frac{1}{3}\cdot (-2)} = 27^{-\frac{2}{3}}\,\textrm{.}\end{align}



Danach schreiben wir 27 und 9 als Potenzen mit der Basis 3 und 125 als Potenz mit der Basis 5:





\displaystyle \begin{align}
27 &= 3\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^{3},\\
9 &= 3\cdot 3 = 3^{2},\\
125 &= 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3} \textrm{.}
\end{align}



Und zuletzt vereinfachen wir den Ausdruck mit den Rechenregeln für Potenzen





\displaystyle \begin{align}
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} &= 125^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
&= \bigl(5^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{3}\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
&= 5^{3\cdot\frac{2}{3}}\cdot 3^{3\cdot (-\frac{2}{3})}\cdot 3^{2\cdot\frac{1}{2}}\\[5pt]
&= 5^{2}\cdot 3^{-2}\cdot 3^{1}\\[5pt]
&= 5^{2}\cdot 3^{-2+1}\\[5pt]
&= 5^{2}\cdot 3^{-1}\\[5pt]
&= 5\cdot 5\cdot \frac{1}{3}\\[5pt]
&= \frac{25}{3}\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:5f“
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-{{NAVCONTENT_START}}
+Der ganze Ausdruck ist relativ umständlich zu berechnen. Daher berechnen wir die Faktoren <math>\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}</math> und <math>\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}</math> je für sich
-<center> [[Image:1_3_5f.gif]] </center>
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt]
+\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} &= 27^{\frac{1}{3}\cdot (-2)} = 27^{-\frac{2}{3}}\,\textrm{.}\end{align}</math>}}
+Danach schreiben wir 27 und 9 als Potenzen mit der Basis 3 und 125 als Potenz mit der Basis 5:
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+&= 3\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^{3},\\
+&= 3\cdot 3 = 3^{2},\\
+&= 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3} \textrm{.}
+\end{align}</math>}}
+Und zuletzt vereinfachen wir den Ausdruck mit den Rechenregeln für Potenzen
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} &= 125^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
+&= \bigl(5^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{3}\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
+&= 5^{3\cdot\frac{2}{3}}\cdot 3^{3\cdot (-\frac{2}{3})}\cdot 3^{2\cdot\frac{1}{2}}\\[5pt]
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+&= 5^{2}\cdot 3^{-2+1}\\[5pt]
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+&= \frac{25}{3}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt]
\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} &= 27^{\frac{1}{3}\cdot (-2)} = 27^{-\frac{2}{3}}\,\textrm{.}\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
27 &= 3\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^{3},\\
9 &= 3\cdot 3 = 3^{2},\\
125 &= 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3} \textrm{.}
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} &= 125^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
&= \bigl(5^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{3}\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
&= 5^{3\cdot\frac{2}{3}}\cdot 3^{3\cdot (-\frac{2}{3})}\cdot 3^{2\cdot\frac{1}{2}}\\[5pt]
&= 5^{2}\cdot 3^{-2}\cdot 3^{1}\\[5pt]
&= 5^{2}\cdot 3^{-2+1}\\[5pt]
&= 5^{2}\cdot 3^{-1}\\[5pt]
&= 5\cdot 5\cdot \frac{1}{3}\\[5pt]
&= \frac{25}{3}\,\textrm{.}
\end{align}