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Beispiel 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Objekte \displaystyle \star \diamond \bigcirc
in verschiedenen Reihenfolgen an zu ordnen?

\displaystyle \star \ \ \diamond \ \ \bigcirc
\displaystyle \star \ \ \bigcirc \ \ \diamond
\displaystyle \diamond \ \ \bigcirc \ \ \star
\displaystyle \diamond \ \ \star \ \ \bigcirc
\displaystyle \bigcirc \ \ \star \ \ \diamond
\displaystyle \bigcirc \ \ \diamond \ \ \star

Es gibt \displaystyle 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, f&uume;r den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&uume;r den dritten Gegenstand.

Beispiel 2

1. Möglichkeiten der Anordnung von \displaystyle a, m, b, u ? \displaystyle 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
2. \displaystyle \dfrac{5!}{3!} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 4
3. \displaystyle \dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} = \dfrac {(n+1) n (n-1) (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{(n-1)(n-2) \cdot …. \cdot 2 \cdot 1} = (n+1) n
4. \displaystyle 2n! = 2 \cdot n \cdot (n-1) \cdot … \cdot 2 \cdot 1 \displaystyle (2n)! = 2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

Beispiel 3

Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann man mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung)
1. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
2. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
3. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
4. Buchstabe: 6 Möglichkeiten

Also gibt es \displaystyle 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 Möglichkeiten.

Beispiel 4

Wie zuvor bei Beispiel 3 nur ohne Doppelbenutzung der Buchstaben.

1.Ziehen : 6 Möglichkeiten
2.Ziehen : 5 Möglichkeiten
3.Ziehen : 4 Möglichkeiten
4.Ziehen : 3 Möglichkeiten
insgesamt: \displaystyle 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 Möglichkeiten. \displaystyle 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = \dfrac{6!}{2!} = \dfrac{6!}{(6-4)!}

Beispiel 5

„Lotto“ mit Reihenfolge

Anzahl der Möglichkeiten: \displaystyle \dfrac{49!}{(49-6)!} = 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \approx 10 \cdot 10^9 (*)

Aber: Die Reihenfolge ist bei echtem Lotto unwichtig. Für sechs feste Zahlen sind 6! Kombinationen in (*) enthalten.

Beispiel 6

Bei "echtem Lotto" ohne Reihenfolge wird also die Anzahl der Möglichkeiten mit Reihenfolge, durch die möglichen Permutationen der Elemente geteilt.

\displaystyle \dfrac{49!}{(49-6)!} \cdot \dfrac{1}{6!} = \dfrac{49!}{(49-6)!6!} = \binom{49}{6} \approx 13 \cdot 10^6 Möglichkeiten.

Auswahlmöglichkeiten für k aus n Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:

\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}

Hierfür benötigt man den Binomialkoeffizient der hier noch einmal ausfülicher erklärt wird.

mit \displaystyle n \in N , k \in N , n \ge k

Beispiel 7

Wähle 3 Personen aus 10 aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Nach Urnenmodell: Ziehe 3 aus 10, ohne Zurück legen und ohne Reihenfolge.

Es gilt \displaystyle \binom{10}{3} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 Möglichkeiten

Beispiel 8

Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Skat spielen 32 Karten auf 3 Spieler (10 Karten) zu und Skat (2 Karten) zu verteilen?

Kombinationen für den 1.Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen für den 2. Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen für den 3. Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen für den 4. Spieler \displaystyle = \binom{32}{10} \cdot \binom{22}{10} \cdot \binom{12}{10} \cdot \binom{2}{2} \displaystyle =\dfrac{32!}{22! \cdot 10!} \cdot \dfrac{22!}{12! \cdot 10!} \cdot \dfrac{12!}{2! \cdot 10!} \cdot \dfrac{2!}{2! \cdot 0!} \displaystyle =\dfrac{32!}{10! \cdot 10! \cdot 10! \cdot 2!}.

(Bemerkung: Es gibt auch noch andere Rechnungen, die auf das gleiche Ergebnis führen.)

Beispiel 1
"7 ist gerade" f
"7 ist eine Primzahl" w
"7 teilt 42" w
"7 < 3" f

Beispiel 2
Aussagen können mit A, B, C, ... bezeichnet werden.
z.B. A: "3 < 7"

Beispiel 3
A : "\displaystyle 5 \le 7 " w
B : "\displaystyle 7 \ge 3 " w
\displaystyle A \wedge B : "5 \le 7" und "\displaystyle 7 \ge 3 " w

Beispiel 4
A: "\displaystyle \pi > 0 " w
B: "7 teilt 42 " w
A \displaystyle \vee B w

Beispiel 5
z.B.
A: "\displaystyle 3 < 7 "
\displaystyle \neg A: "\displaystyle 3 \ge 7 "

Beispiel 6
A: "Ich bin schlecht in Mathe."
B: "Ich bin schlecht in Deutsch."
\displaystyle \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B
Hier bedeutet \displaystyle \neg (A \wedge B) ich bin nicht schlecht in Mathe und Deutsch, \displaystyle \neg A \vee \neg B dass man entweder weder in Mathe noch in Deutsch schlecht ist, nur in einem von beiden, allerdings nicht in beiden auf einmal.

Beispiel 7
A: "Ich bin besoffen."
B: "Ich bin müde."
\displaystyle \neg (A \vee B) =\parallel = \neg A \wedge \neg B
Hier bedeutet \displaystyle \neg (A \vee B) ich bin nicht besoffen oder müde, \displaystyle \neg A \wedge \neg B dass man nicht besoffen und nicht müde ist.

Beipiel 8
"Wenn x \displaystyle \in N durch 4 teilbar isr, dann auch durch 2."
"Wenn x \displaystyle \in N nicht durch 2 teilbar isr, dann auch nicht durch 4."

Beipiel 9
A(x) : "x gerade"
B(x,y): "x ist kleiner als y"
C(x,y): "x+y=1"
D(x): "x<9"

Beispiel 1

1. \displaystyle \exists x \in N: x \ge 5
   Beweis: Wähle \displaystyle x=5
2. \displaystyle \exists x \in R: x^2 =2
   Beweis: Wähle \displaystyle x=\sqrt{2}

Beispiel 2
\displaystyle \forall a,b \in R :(a,b \ge 0) \Rightarrow \dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{a \cdot b}

Seien \displaystyle a, b \in R . Dann gilt
\displaystyle (a-b)^2 \ge 0 (man beginnt mit einer wahre Aussage (*))
\displaystyle a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 |+4ab
\displaystyle a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab
\displaystyle (a+b)^2 \ge 4ab |\sqrt{\ \ }
\displaystyle a+b \ge 2\sqrt{ab}
\displaystyle \dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}

Auf (*) zu kommen ist nicht immer ganz leicht. Man kann durch probieren darauf kommen oder weiss es aus Erfahrung.

Beispiel 3
\displaystyle \forall x \in N: (x \ge 5) (*)
Verneinung:
\displaystyle \neg (\forall x \in N: (x \ge 5)) \ \ \ =\parallel = \ \ \ \exists x \in N: \neg(x\ge 5) \ \ \ =\parallel = \ \ \exists x \in N: x<5
Dieses stimmt, zum Beispiel für x=3. (*) ist daher faslch. Man muss nur ein Gegenbeispiel nennen.

Beispiel 4
\displaystyle \exists x \in N: x^2=2
Verneinung:
\displaystyle \exists x \in N: x^2=2 \ \ =\parallel = \ \ \forall x \in N: \neg (x^2=2) \ \ =\parallel = \ \ \forall x \in N: x^2 \ne 2

Beispiel 5
\displaystyle \forall n \in N: n^2\ne 2
\displaystyle \forall n \in N_{\ge 1} : 2^n >n
\displaystyle \forall n \in N_{\ge 1} : 1+3+5+...+(2n-1)= n^2

Beispiel 6
Induktion für \displaystyle \forall n \in N_{\ge 1} : 2^n >n
(IA) Für n=1 ist \displaystyle 2^1>n
(IV) Wir nehmen für ein festes n an: Die Aussage gilt für \displaystyle 2^n>n
(IS) Zu zeigen ist die Aussage für n+1, d.h. zeige \displaystyle 2^{n+1}>n+1.
Benutze hier immer das die Induktionsvoraussetzung \displaystyle 2^1>n stimmt.
Es ist:
\displaystyle 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n >^{IV} 2 \cdot n = n+n \ge ^{\text{,da} n\ge 1} n+1
Also: \displaystyle 2^{n+1} > n+1

Beispiel 1

1. 
   Summe der ersten n natürlichen Zaheln:
   \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{i}={1+2+3+...+n}
2. 
   Summe der ersten n geraden Zahelen:
   \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{2i}={2+4+6+...+2n}
3. 
   Summe der ersten n ungeraden Zahlen:
   \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{2i-1}={1+3+5+...+(2n-1)}
4. 
   Summe von n Einsen:
   \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{1}={1+1+...+1}=n (n-mal 1)
5. 
   Summe von der 10. bis zur 20. geraden Zahl:
   \displaystyle \sum^{20}_{i=10}{2i}={20+22+...+40} (11 Summanden)

Beispiel 2
\displaystyle \prod^{3}_{k=1}{2k+1}=3\cdot 5\cdot 7=105
\displaystyle n!=\prod^{n}_{i=1}{i}

Beispiel 1
]a,b]=[a,b] \ {a}
A\displaystyle \cap \not \circ = \not \circ
B\displaystyle \subseteq A \displaystyle \Rightarrow (A \displaystyle \cap B=B)