Lösung 2.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We solve the second order equation by combining together the ''x''²- and ''x''-terms by completing the square to obtain a quadratic term, and then solve the resulting equation by taking the root.
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Eine quadratische Gleichung lösen wir, indem wir die quadratischen und linearen Glieder quadratisch ergänzen. Wir ergänzen also die linke Seite der Gleichung
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By completing the square, the left-hand side becomes
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{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{x^{2}-4x\vphantom{()}}+3 = \underline{(x-2)^{2}-2^{2}}+3 = (x-2)^{2}-1\,\textrm{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{x^{2}-4x\vphantom{()}}+3 = \underline{(x-2)^{2}-2^{2}}+3 = (x-2)^{2}-1\,\textrm{,}</math>}}
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where the underlined part on the right-hand side is the actual completed square. The equation can therefore be written as
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Die unterstrichenen Terme sind die Terme, die wir quadratisch ergänzt haben. Die Gleichung können wir als
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-2)^{2}-1 = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-2)^{2}-1 = 0</math>}}
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which we solve by moving the "1" on the right-hand side and taking the square root. This gives the solutions:
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schreiben. Diese Gleichung lösen wir, indem wir 1 zu beiden Seiten addieren und die Wurzel beider Seiten berechnen.
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:*<math>x-2=\sqrt{1}=1\,,\ </math> i.e. <math>x=2+1=3\,,</math>
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:*<math>x-2=\sqrt{1}=1\,,\ </math>, also <math>x=2+1=3\,,</math>
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:*<math>x-2=-\sqrt{1}=-1\,,\ </math> i.e. <math>x=2-1=1\,\textrm{.}</math>
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:*<math>x-2=-\sqrt{1}=-1\,,\ </math>, also <math>x=2-1=1\,\textrm{.}</math>
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Wir kontrollieren unsere Antwort, indem wir kontrollieren, ob die Wurzeln 1 und 3 die ursprüngliche Gleichung lösen.
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Because it is easy to make a mistake, we check the answer by substituting <math>x=1</math> and <math>x=3</math> into the original equation:
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = 1^{2}-4\cdot 1+3 = 1-4+3 = 0 = \text{Rechte Seite,}</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{LHS} = 1^{2}-4\cdot 1+3 = 1-4+3 = 0 = \text{RHS,}</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;3: <math>\ \text{Linke Seite} = 3^{2}-4\cdot 3+3 = 9-12+3 = 0 = \text{Rechte Seite.}</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;3: <math>\ \text{LHS} = 3^{2}-4\cdot 3+3 = 9-12+3 = 0 = \text{RHS.}</math>
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Alternativer Lösungsweg mit der [[2.3:2a_alt1|''p''-''q''-Formel]].

Aktuelle Version

Eine quadratische Gleichung lösen wir, indem wir die quadratischen und linearen Glieder quadratisch ergänzen. Wir ergänzen also die linke Seite der Gleichung

\displaystyle \underline{x^{2}-4x\vphantom{()}}+3 = \underline{(x-2)^{2}-2^{2}}+3 = (x-2)^{2}-1\,\textrm{,}

Die unterstrichenen Terme sind die Terme, die wir quadratisch ergänzt haben. Die Gleichung können wir als

\displaystyle (x-2)^{2}-1 = 0

schreiben. Diese Gleichung lösen wir, indem wir 1 zu beiden Seiten addieren und die Wurzel beider Seiten berechnen.

  • \displaystyle x-2=\sqrt{1}=1\,,\ , also \displaystyle x=2+1=3\,,
  • \displaystyle x-2=-\sqrt{1}=-1\,,\ , also \displaystyle x=2-1=1\,\textrm{.}

Wir kontrollieren unsere Antwort, indem wir kontrollieren, ob die Wurzeln 1 und 3 die ursprüngliche Gleichung lösen.

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 1^{2}-4\cdot 1+3 = 1-4+3 = 0 = \text{Rechte Seite,}
  • x = 3: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3^{2}-4\cdot 3+3 = 9-12+3 = 0 = \text{Rechte Seite.}

Alternativer Lösungsweg mit der p-q-Formel.

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