Lösung 2.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
The equation can be written in normalized form (i.e. the coefficient in front of
+
Wir normalisieren die Gleichung, indem wir alle Terme durch 4 dividieren:
-
<math>x^{\text{2}}</math>
+
-
is
+
-
<math>1</math>
+
-
) by dividing both sides by
+
-
<math>4</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+\frac{13}{4}=0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>x^{2}-7x+\frac{13}{4}=0</math>
+
Quadratische Ergänzung ergibt
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
x^{2}-7x+\frac{13}{4}
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^{2} + \frac{13}{4}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \frac{49}{4} + \frac{13}{4}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \frac{36}{4}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
Completing the square on the left-hand side,
+
Die Gleichung kann daher als
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9 = 0\,,</math>}}
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<math>\begin{align}
+
-
& x^{2}-7x+\frac{13}{4}=\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\left( \frac{7}{2} \right)^{2}+\frac{13}{4}=\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\frac{49}{4}+\frac{13}{4} \\
+
-
& =\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\frac{36}{4}=\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-9 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
The equation can therefore be written as
+
-
 
+
-
 
+
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<math>\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-9=0</math>
+
-
and taking the square root gives the solutions as
+
geschrieben werden, und wir erhalten die Wurzeln
-
 
+
-
 
+
-
<math>x-\frac{7}{2}=\sqrt{9}=3</math>
+
-
i.e.
+
-
<math>x=\frac{7}{2}+3=\frac{13}{2},</math>
+
 +
:*<math>x-\frac{7}{2}=\sqrt{9}=3\,,\quad</math>, also <math>x=\frac{7}{2}+3=\frac{13}{2},</math>
-
<math>x-\frac{7}{2}=-\sqrt{9}=-3</math>
+
:*<math>x-\frac{7}{2}=-\sqrt{9}=-3\,,\quad</math>, also <math>x=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}.</math>
-
i.e.
+
-
<math>x=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}.</math>
+
 +
Ersetzen wir ''x'' mit 1/2 und 13/2 in der ursprünglichen Gleichung, erhalten wir
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As an extra check, we substitute x=1/2 and x=13/2 into the equation:
+
:*''x''&nbsp;=&nbsp;1/2: <math>\ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{1}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{1}{4}-14+13 = \text{Rechte Seite,}</math>
 +
:*''x''&nbsp;=&nbsp;13/2: <math>\ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{13}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{13}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{169}{4} - 14\cdot 13 + 13 = \text{Rechte Seite.}</math>
-
<math>x=\text{1}/\text{2}</math>: LHS
+
Also sind die Lösungen richtig.
-
<math>=4\centerdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2}-28\centerdot \frac{1}{2}+13=4\centerdot \frac{1}{4}-14+13=1-14+13=</math>
+
-
RHS
+
-
<math>x=\text{13}/\text{2}</math>: LHS
+
Alternativer Lösungsweg: [[2.3:2d_alt4|p-q_Formel]]
-
<math>=4\centerdot \left( \frac{13}{2} \right)^{2}-28\centerdot \frac{13}{2}+13=4\centerdot \frac{169}{4}-14\centerdot 13+13=169-182+13=</math>
+
-
RHS
+

Aktuelle Version

Wir normalisieren die Gleichung, indem wir alle Terme durch 4 dividieren:

\displaystyle x^{2}-7x+\frac{13}{4}=0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle \begin{align}

x^{2}-7x+\frac{13}{4} &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^{2} + \frac{13}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \frac{49}{4} + \frac{13}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \frac{36}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann daher als

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9 = 0\,,

geschrieben werden, und wir erhalten die Wurzeln

  • \displaystyle x-\frac{7}{2}=\sqrt{9}=3\,,\quad, also \displaystyle x=\frac{7}{2}+3=\frac{13}{2},
  • \displaystyle x-\frac{7}{2}=-\sqrt{9}=-3\,,\quad, also \displaystyle x=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}.

Ersetzen wir x mit 1/2 und 13/2 in der ursprünglichen Gleichung, erhalten wir

  • x = 1/2: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{1}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{1}{4}-14+13 = \text{Rechte Seite,}
  • x = 13/2: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{13}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{13}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{169}{4} - 14\cdot 13 + 13 = \text{Rechte Seite.}

Also sind die Lösungen richtig.

Alternativer Lösungsweg: p-q_Formel

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