Lösung 4.2:9

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we introduce the dashed triangle below, the distance as the crow flies between A and B is equal to the triangle's hypotenuse, ''c''.
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Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse ''c''.
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[[Image:4_2_9_1.gif|center]]
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<center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to B}}</center>
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One way to determine the hypotenuse is to know the triangle's opposite and adjacent sides, since the Pythagorean theorem then gives
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Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen
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{{Displayed math||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}}
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In turn, we can determine the opposite and adjacent by introducing another triangle APR, where R is the point on the line PQ which the dashed triangle's side of length ''a'' cuts the line.
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Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.
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[[Image:4_2_9_2.gif|center]]
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<center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to P}}</center>
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Because we know that <math>\text{AP}=4</math> and the angle at P, simple trigonometry shows that ''x'' and ''y'' are given by
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Nachdem <math>\text{AP}=4</math>, erhalten wir einfach ''x'' und ''y'':
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt]
x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt]
y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.}
y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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We can now start to look for the solution. Since ''x'' and ''y'' have been calculated, we can determine ''a'' and ''b'' by considering the horizontal and vertical distances in the figure.
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Mit ''x'' und ''y'' erhalten wir die Katheten ''a'' und ''b'', indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.
{| align="center"
{| align="center"
-
| align="center" |[[Image:4_2_9_3-1.gif]]
+
| align="center" valign="center"|<math>\begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align}</math>
| width="20px"|&nbsp;
| width="20px"|&nbsp;
-
| align="center" |[[Image:4_2_9_3-2.gif]]
+
| align="center" valign="center"|{{:4.2.9 - Solution - A figure with horizontal distances a, x and 5, and vertical distances 12, b and y}}
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|-
+
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| align="center" valign="top"|<math>\begin{align}a &= x+5\\ &= 2+5 = 7\end{align}</math>
+
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||
+
-
| align="center" valign="top"|<math>\begin{align}b &= 12-y\\ &= 12-2\sqrt{3}\end{align}</math>
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|}
|}
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 +
Mit ''a'' und ''b'' erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras
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With ''a'' and ''b'' given, the Pythagorean theorem leads to
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt]
c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt]
&= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt]
&= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt]
&= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt]
&= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt]
-
&= \sqrt{205-38\sqrt{3}}\\[5pt]
+
&= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt]
&\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.}
&\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse c.

[Image]

Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}

Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.

[Image]

Nachdem \displaystyle \text{AP}=4, erhalten wir einfach x und y:

\displaystyle \begin{align}

x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Mit x und y erhalten wir die Katheten a und b, indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.

\displaystyle \begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align}  

[Image]

Mit a und b erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras

\displaystyle \begin{align}

c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] &= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] &= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt] &\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} \end{align}

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