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Lösung 4.4:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Betrachten wir die Gleichung
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<center> [[Image:4_4_5a-1(2).gif]] </center>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v,</math>|(*)}}
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wobei ''u'' eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}}
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<center>{{:4.4.5a - Solution - Two unit circles with angles v = u and v = π - u}}</center>
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(Die einzige Ausnahme ist, wenn <math>u = \pi/2</math> oder <math>u=3\pi/2</math>, da in diesen Fällen <math>u</math> und <math>\pi-u</math> dieselben Winkel sind)
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Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zur Lösung addieren:
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{{Abgesetzte Formel||<math>v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.</math>}}
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Für unsere Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 3x = \sin x</math>}}
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erhalten wir die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
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Lösen wir ''x'', erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= 0+n\pi\,,\\[5pt]
 +
x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Betrachten wir die Gleichung

sinu=sinv (*)

wobei u eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich

v=uundv=−u.

[Image]

(Die einzige Ausnahme ist, wenn u=2 oder u=32, da in diesen Fällen u und −u dieselben Winkel sind)

Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von 2 zur Lösung addieren:

v=u+2nundv=−u+2n

Für unsere Gleichung

sin3x=sinx

erhalten wir die Lösungen

3x=x+2noder3x=−x+2n.

Lösen wir x, erhalten wir

xx=0+n=4+2n.
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