Lösung 4.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
The idea is first to find the general solution to the equation and then to see which angles lie between
+
Wir finden zuerst die allgemeine Lösung der Gleichung und prüfen anschließend, welche der Winkel im Intervall zwischen <math>0^{\circ}</math> und <math>360^{\circ}\,</math> liegen.
-
<math>0^{\circ }</math>
+
-
and
+
-
<math>360^{\circ }</math>.
+
-
If we start by considering the expression
+
Wir betrachten zuerst den Ausdruck <math>2v+10^{\circ}</math> und erhalten die Lösung
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }\text{ }</math>
+
-
as an unknown, then we have a usual basic trigonometric equation. One solution which we can see directly is
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2v + 10^{\circ} = 110^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }=110^{\circ }</math>
+
Es gibt noch eine weitere Lösung im Einheitskreis mit demselben Winkel zur negativen ''y''-Achse wie der Winkel <math>110^{\circ}</math> zur positiven ''y''-Achse hat, nämlich im dritten Quadranten, und zwar mit umgekehrtem Vorzeichen. Daher erhalten wir die zweite Lösung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2v + 10^{\circ} = 270^{\circ} - 20^{\circ} = 250^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
-
There is then a further solution which satisfies
+
<center>{{:4.4.4 - Solution - Two unit circles with angles 110° and 250°, respectively}}</center>
-
<math>0^{\circ }\le \text{2}v+\text{1}0^{\circ }\le \text{36}0^{\circ }</math>, where
+
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }\text{ }</math>
+
-
lies in the third quadrant and makes the same angle with the negative y-axis as
+
-
<math>\text{1}00^{\circ }</math>
+
-
makes with the positive
+
-
<math>y</math>
+
-
-axis, i.e.
+
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }\text{ }</math>
+
-
makes an angle
+
-
<math>\text{11}0^{\circ }-\text{9}0^{\circ }=\text{2}0^{\circ }~\text{ }</math>
+
-
with the negative
+
-
<math>y</math>
+
-
-axis and consequently
+
 +
Die allgemeine Lösung ist
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }=270^{\circ }-20^{\circ }=250^{\circ }</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2v + 10^{\circ} &= 110^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] 2v + 10^{\circ} &= 250^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,.\end{align}\right.</math>}}
 +
Lösen wir nach ''w'' auf, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} v &= 50^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] v &= 120^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\end{align}\right.</math>}}
-
[[Image:4_4_4.gif|center]]
+
Für verschiedene ''n'' erhalten wir unter anderem die Lösungen
-
There is then a further solution which satisfies
+
{| align="center"
-
<math>0^{\circ }\le \text{2}v+\text{1}0^{\circ }\le \text{36}0^{\circ }</math>, where
+
|align="center"|<math>\cdots\cdots</math>
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }\text{ }</math>
+
||
-
lies in the third quadrant and makes the same angle with the negative y-axis as
+
|align="center"|<math>\cdots\cdots</math>
-
<math>\text{1}00^{\circ }</math>
+
||
-
makes with the positive
+
|align="center"|<math>\cdots\cdots</math>
-
<math>y</math>
+
|-
-
-axis, i.e.
+
|align="left"|<math>n=-2:</math>
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }\text{ }</math>
+
|width="20px"|&nbsp;
-
makes an angle
+
|align="left"|<math>v = 50^{\circ} - 2\cdot 180^{\circ} = -310^{\circ}</math>
-
<math>\text{11}0^{\circ }-\text{9}0^{\circ }=\text{2}0^{\circ }~\text{ }</math>
+
|width="20px"|&nbsp;
-
with the negative
+
|align="left"|<math>v = 120^{\circ } - 2\cdot 180^{\circ} = -240^{\circ}</math>
-
<math>y</math>
+
|-
-
-axis and consequently
+
|align="left"|<math>n=-1:</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 50^{\circ} - 1\cdot 180^{\circ} = -130^{\circ}</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 120^{\circ} - 1\cdot 180^{\circ} = -60^{\circ}</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>n=0:</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 50^{\circ} + 0\cdot 180^{\circ} = 50^{\circ}</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 120^{\circ} + 0\cdot 180^{\circ} = 120^{\circ}</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>n=1:</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 50^{\circ} + 1\cdot 180^{\circ} = 230^{\circ}</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 120^{\circ} + 1\cdot 180^{\circ} = 300^{\circ}</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>n=2:</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 50^{\circ} + 2\cdot 180^{\circ} = 410^{\circ}</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 120^{\circ} + 2\cdot 180^{\circ} = 480^{\circ}</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>n=3:</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 50^{\circ} + 3\cdot 180^{\circ} = 590^{\circ}</math>
 +
||
 +
|align="left"|<math>v = 120^{\circ} + 3\cdot 180^{\circ} = 660^{\circ}</math>
 +
|-
 +
|align="center"|<math>\cdots\cdots</math>
 +
||
 +
|align="center"|<math>\cdots\cdots</math>
 +
||
 +
|align="center"|<math>\cdots\cdots</math>
 +
|}
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }=270^{\circ }-20^{\circ }=250^{\circ }</math>
+
Hieraus erkennen wir die Lösungen, die im Intervall von <math>0^{\circ}</math> bis <math>360^{\circ}</math> liegen:
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>v = 50^{\circ},\quad v=120^{\circ },\quad v=230^{\circ}\quad\text{und}\quad v=300^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
-
FIGURE1 FIGURE2
+
-
 
+
-
Now it is easy to write down the general solution,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }=110^{\circ }+n\centerdot 360^{\circ }</math>
+
-
and
+
-
 
+
-
<math>\text{2}v+\text{1}0^{\circ }=250^{\circ }+n\centerdot 360^{\circ }</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and if we make
+
-
<math>v</math>
+
-
the subject, we get
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>v=50^{\circ }+n\centerdot 180^{\circ }</math>
+
-
and
+
-
 
+
-
<math>v=120^{\circ }+n\centerdot 180^{\circ }</math>
+
-
EQ6
+
-
 
+
-
For different values of the integers
+
-
<math>n</math>, we see that the corresponding solutions are:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{array}{*{35}l}
+
-
\cdots \cdots & \cdots \cdots & \cdots \cdots \\
+
-
n=-2 & v=50^{\circ }-2\centerdot 180^{\circ }=-310^{\circ } & v=120^{\circ }-2\centerdot 180^{\circ }=-240^{\circ } \\
+
-
n=-1 & v=50^{\circ }-1\centerdot 180^{\circ }=-130^{\circ } & v=120^{\circ }-1\centerdot 180^{\circ }=-60^{\circ } \\
+
-
n=0 & v=50^{\circ }+0\centerdot 180^{\circ }=50^{\circ } & v=120^{\circ }+0\centerdot 180^{\circ }=120^{\circ } \\
+
-
n=1 & v=50^{\circ }+1\centerdot 180^{\circ }=230^{\circ } & v=120^{\circ }+1\centerdot 180^{\circ }=300^{\circ } \\
+
-
n=2 & v=50^{\circ }+2\centerdot 180^{\circ }=410^{\circ } & v=120^{\circ }+2\centerdot 180^{\circ }=480^{\circ } \\
+
-
n=3 & v=50^{\circ }+3\centerdot 180^{\circ }=590^{\circ } & v=120^{\circ }+3\centerdot 180^{\circ }=660^{\circ } \\
+
-
\cdots \cdots & \cdots \cdots & \cdots \cdots \\
+
-
\end{array}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
From the table, we see that the solutions that are between
+
-
<math>0^{\circ }</math>
+
-
and
+
-
<math>360^{\circ }</math>
+
-
are
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>v=50,\quad v=120^{\circ },\quad v=230^{\circ }</math>
+
-
and
+
-
<math>v=300^{\circ }</math>
+

Aktuelle Version

Wir finden zuerst die allgemeine Lösung der Gleichung und prüfen anschließend, welche der Winkel im Intervall zwischen \displaystyle 0^{\circ} und \displaystyle 360^{\circ}\, liegen.

Wir betrachten zuerst den Ausdruck \displaystyle 2v+10^{\circ} und erhalten die Lösung

\displaystyle 2v + 10^{\circ} = 110^{\circ}\,\textrm{.}

Es gibt noch eine weitere Lösung im Einheitskreis mit demselben Winkel zur negativen y-Achse wie der Winkel \displaystyle 110^{\circ} zur positiven y-Achse hat, nämlich im dritten Quadranten, und zwar mit umgekehrtem Vorzeichen. Daher erhalten wir die zweite Lösung

\displaystyle 2v + 10^{\circ} = 270^{\circ} - 20^{\circ} = 250^{\circ}\,\textrm{.}

[Image]

Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle \left\{\begin{align} 2v + 10^{\circ} &= 110^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] 2v + 10^{\circ} &= 250^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,.\end{align}\right.

Lösen wir nach w auf, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align} v &= 50^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] v &= 120^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\end{align}\right.

Für verschiedene n erhalten wir unter anderem die Lösungen


\displaystyle \cdots\cdots \displaystyle \cdots\cdots \displaystyle \cdots\cdots
\displaystyle n=-2:   \displaystyle v = 50^{\circ} - 2\cdot 180^{\circ} = -310^{\circ}   \displaystyle v = 120^{\circ } - 2\cdot 180^{\circ} = -240^{\circ}
\displaystyle n=-1: \displaystyle v = 50^{\circ} - 1\cdot 180^{\circ} = -130^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} - 1\cdot 180^{\circ} = -60^{\circ}
\displaystyle n=0: \displaystyle v = 50^{\circ} + 0\cdot 180^{\circ} = 50^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} + 0\cdot 180^{\circ} = 120^{\circ}
\displaystyle n=1: \displaystyle v = 50^{\circ} + 1\cdot 180^{\circ} = 230^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} + 1\cdot 180^{\circ} = 300^{\circ}
\displaystyle n=2: \displaystyle v = 50^{\circ} + 2\cdot 180^{\circ} = 410^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} + 2\cdot 180^{\circ} = 480^{\circ}
\displaystyle n=3: \displaystyle v = 50^{\circ} + 3\cdot 180^{\circ} = 590^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} + 3\cdot 180^{\circ} = 660^{\circ}
\displaystyle \cdots\cdots \displaystyle \cdots\cdots \displaystyle \cdots\cdots


Hieraus erkennen wir die Lösungen, die im Intervall von \displaystyle 0^{\circ} bis \displaystyle 360^{\circ} liegen:

\displaystyle v = 50^{\circ},\quad v=120^{\circ },\quad v=230^{\circ}\quad\text{und}\quad v=300^{\circ}\,\textrm{.}
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