Lösung 4.4:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Using the unit circle shows that the equation <math>\cos 3x = -1/\!\sqrt{2}</math>
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Durch den Einheitskreis sehen wir, dass die Gleichung <math>\cos 3x = -1/\!\sqrt{2}</math> zwei Lösungen im Intervall <math>0\le 3x\le 2\pi\,</math> hat:
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has two solutions for <math>0\le 3x\le 2\pi\,</math>,
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{{Displayed math||<math>3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\qquad\text{and}\qquad 3x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\qquad\text{und}\qquad 3x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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[[Image:4_4_2_f.gif|center]]
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<center>{{:4.4.2f - Solution - Two unit circles with angles π/2 + π/4 and π + π/4, respectively}}</center>
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We obtain the other solutions by adding multiples of <math>2\pi</math>,
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Wir addieren ein Vielfaches von <math>2\pi</math>, um die allgemeine Lösung zu erhalten:
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{{Displayed math||<math>3x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{and}\qquad 3x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{und}\qquad 3x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,</math>}}
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i.e.
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und nach Division durch 3:
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{{Displayed math||<math>x = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2}{3}n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2}{3}n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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Aktuelle Version

Durch den Einheitskreis sehen wir, dass die Gleichung \displaystyle \cos 3x = -1/\!\sqrt{2} zwei Lösungen im Intervall \displaystyle 0\le 3x\le 2\pi\, hat:

\displaystyle 3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\qquad\text{und}\qquad 3x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\,\textrm{.}

[Image]

Wir addieren ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi, um die allgemeine Lösung zu erhalten:

\displaystyle 3x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{und}\qquad 3x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,

und nach Division durch 3:

\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2}{3}n\pi\,,
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