Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	We draw a unit circle and mark those angles on the circle which have a ''y''-coordinate of <math>\sqrt{3}/2</math>, in order to see which solutions lie between	+	Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die ''y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.
-	<math>0</math> and <math>2\pi</math>.	+
-	[[Image:4_4_2_a.gif|center]]	+	<center>{{:4.4.2a - Solution - Two unit circles with angles π/3 and 2π/3, respectively}}</center>
-	In the first quadrant, we recognize <math>x = \pi/3</math> as the angle which has a sine value of <math>\sqrt{3}/2</math> and then we have the reflectionally symmetric solution <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> in the second quadrant.	+	Im ersten Quadranten wissen wir, dass <math>x = \pi/3</math> den Sinus <math>\sqrt{3}/2</math> hat. Noch dazu hat die Spiegelung an der ''y''-Achse denselben Sinus, also ist <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> auch eine Lösung.
-	Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of <math>2\pi</math>	+	Addieren wir einen Vielfaches von <math>2\pi</math> zu irgendeiner dieser Winkel, ändert sich deren Sinus nicht.
-	{{Displayed math||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}
-	where ''n'' is an arbitrary integer.	+	wobei ''n'' eine beliebige ganze Zahl ist.
		+	Hinweis: Schreiben wir
-	Note: When we write that the complete solution is given by	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}
-	{{Displayed math||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}	+	heißt dies, dass die Gleichung für jedes ''n'' erfüllt ist, also für die Winkel
-	this means that for every integer ''n'', we obtain a solution to the equation:	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{array}{llll}
-		+
-	{{Displayed math||<math>\begin{array}{llll}	+
	&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt]		&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt]
	&n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt]		&n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt]

---

Aktuelle Version

Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die y-Koordinate \displaystyle \sqrt{3}/2 haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi.

Im ersten Quadranten wissen wir, dass \displaystyle x = \pi/3 den Sinus \displaystyle \sqrt{3}/2 hat. Noch dazu hat die Spiegelung an der y-Achse denselben Sinus, also ist \displaystyle x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3 auch eine Lösung.

Addieren wir einen Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu irgendeiner dieser Winkel, ändert sich deren Sinus nicht.

\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,

wobei n eine beliebige ganze Zahl ist.

Hinweis: Schreiben wir

\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}

heißt dies, dass die Gleichung für jedes n erfüllt ist, also für die Winkel

\displaystyle \begin{array}{llll} &n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt] &n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt] &n=1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+1\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+1\cdot 2\pi\\[5pt] &n=-2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\\[5pt] &n=2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+2\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\pi\\[5pt] &\phantom{n}\vdots &\phantom{x}\vdots &\phantom{x}\vdots \end{array}