Lösung 4.4:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
We draw a unit circle and mark on those angles on the circle which have a
+
Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die ''y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.
-
<math>y</math>
+
-
-coordinate of
+
-
<math>{\sqrt{3}}/{2}\;</math>, in order to see which solutions lie between
+
-
<math>0</math>
+
-
and
+
-
<math>2\pi </math>.
+
 +
<center>{{:4.4.2a - Solution - Two unit circles with angles π/3 and 2π/3, respectively}}</center>
 +
Im ersten Quadranten wissen wir, dass <math>x = \pi/3</math> den Sinus <math>\sqrt{3}/2</math> hat. Noch dazu hat die Spiegelung an der ''y''-Achse denselben Sinus, also ist <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> auch eine Lösung.
-
[[Image:4_4_2_a.gif|center]]
+
Addieren wir einen Vielfaches von <math>2\pi</math> zu irgendeiner dieser Winkel, ändert sich deren Sinus nicht.
-
In the first quadrant, we recognize
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}
-
<math>x={\pi }/{3}\;</math>
+
-
as the angle which has a sine value of
+
-
<math>{\sqrt{3}}/{2}\;</math>
+
-
and then we have the reflectionally symmetric solution
+
-
<math>x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}</math>
+
-
in the second quadrant.
+
-
Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of
+
wobei ''n'' eine beliebige ganze Zahl ist.
-
<math>2\pi </math>
+
 +
Hinweis: Schreiben wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}
-
<math>x=\frac{\pi }{3}+2n\pi </math>
+
heißt dies, dass die Gleichung für jedes ''n'' erfüllt ist, also für die Winkel
-
and
+
-
<math>x=\frac{2\pi }{3}+2n\pi </math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{array}{llll}
-
where
+
&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt]
-
<math>n</math>
+
&n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt]
-
is an arbitrary integer.
+
&n=1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+1\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+1\cdot 2\pi\\[5pt]
-
 
+
&n=-2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\\[5pt]
-
NOTE: when we write that the complete solution is given by
+
&n=2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+2\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\pi\\[5pt]
-
 
+
&\phantom{n}\vdots &\phantom{x}\vdots &\phantom{x}\vdots
-
 
+
\end{array}</math>}}
-
<math>x=\frac{\pi }{3}+2n\pi </math>
+
-
and
+
-
<math>x=\frac{2\pi }{3}+2n\pi </math>,
+
-
 
+
-
this means that for every integer
+
-
<math>n</math>, we obtain a solution to the equation:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{array}{*{35}l}
+
-
n=0 & x=\frac{\pi }{3} & x=\frac{2\pi }{3} \\
+
-
n=-1 & x=\frac{\pi }{3}+\left( -1 \right)\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+\left( -1 \right)\centerdot 2\pi \\
+
-
n=1 & x=\frac{\pi }{3}+1\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+1\centerdot 2\pi \\
+
-
n=-2 & x=\frac{\pi }{3}+\left( -2 \right)\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+\left( -2 \right)\centerdot 2\pi \\
+
-
n=2 & x=\frac{\pi }{3}+2\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+2\centerdot 2\pi \\
+
-
\end{array}</math>
+
-
 
+
-
and so on.
+

Aktuelle Version

Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die y-Koordinate \displaystyle \sqrt{3}/2 haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi.

[Image]

Im ersten Quadranten wissen wir, dass \displaystyle x = \pi/3 den Sinus \displaystyle \sqrt{3}/2 hat. Noch dazu hat die Spiegelung an der y-Achse denselben Sinus, also ist \displaystyle x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3 auch eine Lösung.

Addieren wir einen Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu irgendeiner dieser Winkel, ändert sich deren Sinus nicht.

\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,

wobei n eine beliebige ganze Zahl ist.

Hinweis: Schreiben wir

\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}

heißt dies, dass die Gleichung für jedes n erfüllt ist, also für die Winkel

\displaystyle \begin{array}{llll}

&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt] &n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt] &n=1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+1\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+1\cdot 2\pi\\[5pt] &n=-2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\\[5pt] &n=2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+2\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\pi\\[5pt] &\phantom{n}\vdots &\phantom{x}\vdots &\phantom{x}\vdots \end{array}

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